Dans ce contenu, vous trouverez l’étude complète du cas d’égalité de l’inégalité triangulaire généralisée, dans le prolongement d’un autre article consacré au cas de deux nombres complexes.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 318.
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2.$
Supposez qu’il existe $n$ nombres complexes $z_1,\dots, z_n\comma$ avec $z_1\neq 0\comma$ qui vérifient l’égalité :
\vert z_1+\dots+z_n \vert = \vert z_1\vert+\cdots+\vert z_n\vert.
Pour en savoir plus, il semble logique d’élever au carré, exactement comme dans le cas où $n=2$ traité dans l’article cité ci-dessus.
Élevez au carré le membre de gauche
En utilisant le conjugué de nombres complexes, vous établissez successivement :
\begin{align*}
\vert z_1+\dots+z_n \vert^2 &= (z_1+\dots+z_n)(\overline{z_1+\dots+z_n})\\
&= (z_1+\dots+z_n)(\overline{z_1}+\dots+\overline{z_n})\\
&=\left(\sum_{i=1}^n z_i\right)\left(\sum_{j=1}^n \overline{z_j}\right)\\
&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n z_i\overline{z_j}\\
&=\sum_{\substack{1\leq i \leq n \\1\leq j \leq n}} z_i\overline{z_j}\\
&=\sum_{\substack{1\leq i \leq n \\1\leq j \leq n\\ i=j}} z_i\overline{z_j}+\sum_{\substack{1\leq i \leq n \\1\leq j \leq n\\ i\lt j}} z_i\overline{z_j}+\sum_{\substack{1\leq i \leq n \\1\leq j \leq n\\ j\lt i}} z_i\overline{z_j}\\
&=\sum_{i=1}^n z_i\overline{z_i}+\sum_{1\leq i \lt j \leq n } z_i\overline{z_j}+\sum_{1\leq j \lt i \leq n} z_i\overline{z_j}\\
&=\sum_{i=1}^n z_i\overline{z_i}+\sum_{1\leq i \lt j \leq n } z_i\overline{z_j}+\sum_{1\leq i \lt j \leq n} z_j\overline{z_i}\\
&=\sum_{i=1}^n z_i\overline{z_i}+\sum_{1\leq i \lt j \leq n } (z_i\overline{z_j}+ z_j\overline{z_i})\\
&=\sum_{i=1}^n z_i\overline{z_i}+\sum_{1\leq i \lt j \leq n } (z_i\overline{z_j}+ \overline{z_i \overline{z_j}})\\
&=\sum_{i=1}^n z_i\overline{z_i}+\sum_{1\leq i \lt j \leq n } 2\mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}).
\end{align*}
Ainsi :
\boxed{\vert z_1+\dots+z_n \vert^2 =\sum_{i=1}^n \vert z_i \vert^2+2 \sum_{1\leq i \lt j \leq n } \mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}).}
Élevez au carré le membre de droite
Les calculs sont similaires.
\begin{align*}
(\vert z_1\vert+\cdots+\vert z_n\vert)^2 &= (\vert z_1\vert+\cdots+\vert z_n\vert)(\vert z_1\vert+\cdots+\vert z_n\vert)\\
&= \left(\sum_{i=1}^n \vert z_i \vert\right) \left(\sum_{j=1}^n \vert z_j \vert\right)\\
&= \sum_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1\leq j \leq n}} \vert z_i\vert \vert z_j \vert\\
&= \sum_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1\leq j \leq n \\ i = j}} \vert z_i\vert \vert z_j \vert+ \sum_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1\leq j \leq n \\ i \lt j}} \vert z_i\vert \vert z_j \vert+ \sum_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1\leq j \leq n \\ j \lt i}} \vert z_i\vert \vert z_j \vert\\
&= \sum_{i=1}^n \vert z_i\vert^2 + \sum_{1 \leq i \lt j \leq n } \vert z_i\vert \vert z_j \vert+ \sum_{1 \leq j \lt i \leq n } \vert z_i\vert \vert z_j \vert\\
&= \sum_{i=1}^n \vert z_i\vert^2 + \sum_{1 \leq i \lt j \leq n } \vert z_i\vert \vert z_j \vert+ \sum_{1 \leq i \lt j \leq n } \vert z_j\vert \vert z_i \vert\\
&= \sum_{i=1}^n \vert z_i\vert^2 + 2\sum_{1 \leq i \lt j \leq n } \vert z_i\vert \vert z_j \vert\\
&= \sum_{i=1}^n \vert z_i\vert^2 + 2\sum_{1 \leq i \lt j \leq n } \vert z_i\vert \vert \overline{z_j} \vert.
\end{align*}
Finalement :
\boxed{(\vert z_1\vert+\cdots+\vert z_n\vert)^2 = \sum_{i=1}^n \vert z_i\vert^2 + 2\sum_{1 \leq i \lt j \leq n } \vert z_i \overline{z_j} \vert.}
Déduisez-en une propriété vérifiée par les nombres complexes $z_1\overline{z_k}$ pour $2\leq k \leq n$
L’égalité :
\vert z_1+\dots+z_n \vert = \vert z_1\vert+\cdots+\vert z_n\vert
fournit, après élévation au carré :
\sum_{i=1}^n \vert z_i \vert^2+2 \sum_{1\leq i \lt j \leq n } \mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}) = \sum_{i=1}^n \vert z_i\vert^2 + 2\sum_{1 \leq i \lt j \leq n } \vert z_i \overline{z_j} \vert.
Du coup :
\sum_{1\leq i \lt j \leq n } \mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}) =\sum_{1 \leq i \lt j \leq n } \vert z_i \overline{z_j} \vert.
Maintenant vous allez raisonner par l’absurde.
Supposez qu’il existe un entier $k\in\llbracket 2, n\rrbracket$ tel que :
\mathrm{Re}(z_1\overline{z_k}) \neq \vert z_1\overline{z_k}\vert.
Comme la partie réelle d’un nombre complexe est toujours inférieure ou égale à son module, vous déduisez que :
\mathrm{Re}(z_1\overline{z_k}) \lt \vert z_1\overline{z_k}\vert.
D’autre part, pour tout $j\in\llbracket 2, n\rrbracket \setminus \{k\}$ vous avez :
\mathrm{Re}(z_1\overline{z_j}) \leq \vert z_1\overline{z_j}\vert.
Par somme, vous avez l’inégalité stricte :
\mathrm{Re}(z_1\overline{z_k}) + \sum_{\substack{2\leq j \leq n \\ j\neq k}} \mathrm{Re}(z_1\overline{z_j}) \lt \vert z_1\overline{z_k}\vert + \sum_{\substack{2\leq j \leq n \\ j\neq k}} \vert z_1\overline{z_j}\vert.
Ainsi :
\sum_{2\leq j \leq n } \mathrm{Re}(z_1\overline{z_j}) \lt \sum_{2\leq j \leq n } \vert z_1\overline{z_j}\vert.
D’autre part, pour la même raison, en sommant sur les couples d’indices ne contenant pas $1\comma$ vous avez :
\sum_{2\leq i \lt j \leq n } \mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}) \leq \sum_{2 \leq i \lt j \leq n } \vert z_i \overline{z_j} \vert.
Cette dernière somme est vide lorsque $n=2.$ Par sommation des deux dernières inégalités, vous obtenez l’inégalité stricte :
\sum_{1\leq i \lt j \leq n } \mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}) \lt \sum_{1 \leq i \lt j \leq n } \vert z_i \overline{z_j} \vert.
Cela contredit l’égalité $\sum_{1\leq i \lt j \leq n } \mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}) =\sum_{1 \leq i \lt j \leq n } \vert z_i \overline{z_j} \vert.$
Il est ainsi établi le résultat suivant, valable pour tout entier $k$ compris entre $2$ et $n$ au sens large :
\boxed{ \mathrm{Re}(z_1\overline{z_k}) = \vert z_1\overline{z_k}\vert.}
Déterminez les nombres complexes $z$ dont la partie réelle est égale au module
Cette section est un aparté.
Soit $z$ un nombre complexe tel que :
\mathrm{Re}(z) = \vert z \vert.
Écrivez $z$ sous forme algébrique. Il existe deux réels $x$ et $y$ tels que :
z = x+iy.
Comme :
x = \sqrt{x^2+y^2}
vous déduisez immédiatement que $x$ est un réel positif.
Maintenant, en élevant au carré :
x^2 = x^2+y^2
donc $y^2=0$ puis $y=0$ et $z = x.$
Vous avez ainsi établi ce résultat :
\boxed{\forall z\in\C, \mathrm{Re}(z) = \vert z \vert \implies z\in\R_{+}.}
Concluez
Soit $k$ un entier compris entre $2$ et $n.$
Puisque $\mathrm{Re}(z_1\overline{z_k}) = \vert z_1\overline{z_k}\vert\comma$ vous déduisez que $z_1\overline{z_k}\in\R_{+}.$
Il existe donc un réel positif $t_k$ tel que :
z_1\overline{z_k} = t_k.
Comme $z_1$ est supposé non nul, vous avez :
\overline{z_k} = \frac{t_k}{z_1}.
Comme les nombres $\overline{z_1}$ et $\vert z_1 \vert$ sont non nuls, vous obtenez :
\begin{align*}
\overline{z_k} &= \frac{t_k}{z_1\overline{z_1}}\overline{z_1}\\
&= \frac{t_k}{\vert z_1\vert ^2}\overline{z_1}.
\end{align*}
Vous conjuguez cette égalité, en tenant compte du fait que le nombre $t_k$ est réel, et vous obtenez :
z_k = \frac{t_k}{ \vert z_1 \vert ^2}z_1.
Vous posez maintenant $u_k = \frac{t_k}{\vert z_1 \vert^2}.$ Alors $u_k \in\R_{+}$ et :
z_k = u_k z_1.
En définitive :
\boxed{\forall k\in \llbracket 2, n\rrbracket, \exists u_k\in\R_{+}, z_k = u_k z_1.}
En d’autres termes, les nombres complexes non nuls parmi $z_1,\dots, z_n$ ont tous le même argument modulo $2\pi.$
Prolongement
Étudiez la réciproque. Si $n$ est un entier naturel non nul et si $z_1,\dots, z_n$ sont des nombres complexes tels que $z_1$ n’est pas nul et $\forall k\in \llbracket 2, n\rrbracket, \exists u_k\in\R_{+}, z_k = u_k z_1\comma$ montrez alors que :
\vert z_1+\dots+z_n \vert = \vert z_1\vert+\cdots+\vert z_n\vert.
