Dans ce document, vous trouverez l’étude complète du cas d’égalité de l’inégalité triangulaire généralisée qui arrive que le prolongement du contenu rédigé de l'article 318.
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$.
Supposez qu’il existe $n$ nombres complexes $z_1,\dots, z_n$, avec $z_1\neq 0$, qui vérifient l’égalité :
\vert z_1+\dots+z_n \vert = \vert z_1\vert+\cdots+\vert z_n\vert.
Pour en savoir plus, il semble logique d’élever au carré, exactement comme dans le cas où $n=2$, décrit dans l'article 318.
Elevez au carré le membre de gauche
En utilisant le conjugué de nombres complexes, vous établissez successivement :
\begin{align*}
\vert z_1+\dots+z_n \vert^2 &= (z_1+\dots+z_n)(\overline{z_1+\dots+z_n})\\
&= (z_1+\dots+z_n)(\overline{z_1}+\dots+\overline{z_n})\\
&=\left(\sum_{i=1}^n z_i\right)\left(\sum_{j=1}^n \overline{z_j}\right)\\
&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n z_i\overline{z_j}\\
&=\sum_{\substack{1\leq i \leq n \\1\leq j \leq n}} z_i\overline{z_j}\\
&=\sum_{\substack{1\leq i \leq n \\1\leq j \leq n\\ i=j}} z_i\overline{z_j}+\sum_{\substack{1\leq i \leq n \\1\leq j \leq n\\ i< j}} z_i\overline{z_j}+\sum_{\substack{1\leq i \leq n \\1\leq j \leq n\\ j< i}} z_i\overline{z_j}\\
&=\sum_{i=1}^n z_i\overline{z_i}+\sum_{1\leq i < j \leq n } z_i\overline{z_j}+\sum_{1\leq j < i \leq n} z_i\overline{z_j}\\
&=\sum_{i=1}^n z_i\overline{z_i}+\sum_{1\leq i < j \leq n } z_i\overline{z_j}+\sum_{1\leq i < j \leq n} z_j\overline{z_i}\\
&=\sum_{i=1}^n z_i\overline{z_i}+\sum_{1\leq i < j \leq n } (z_i\overline{z_j}+ z_j\overline{z_i})\\
&=\sum_{i=1}^n z_i\overline{z_i}+\sum_{1\leq i < j \leq n } (z_i\overline{z_j}+ \overline{z_i \overline{z_j}})\\
&=\sum_{i=1}^n z_i\overline{z_i}+\sum_{1\leq i < j \leq n } 2\mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}).
\end{align*}Ainsi :
\boxed{\vert z_1+\dots+z_n \vert^2 =\sum_{i=1}^n \vert z_i \vert^2+2 \sum_{1\leq i < j \leq n } \mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}).}Elevez au carré le membre de droite
Les calculs sont similaires.
\begin{align*}
(\vert z_1\vert+\cdots+\vert z_n\vert)^2 &= (\vert z_1\vert+\cdots+\vert z_n\vert)(\vert z_1\vert+\cdots+\vert z_n\vert)\\
&= \left(\sum_{i=1}^n \vert z_i \vert\right) \left(\sum_{j=1}^n \vert z_j \vert\right)\\
&= \sum_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1\leq j \leq n}} \vert z_i\vert \vert z_j \vert\\
&= \sum_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1\leq j \leq n \\ i = j}} \vert z_i\vert \vert z_j \vert+ \sum_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1\leq j \leq n \\ i < j}} \vert z_i\vert \vert z_j \vert+ \sum_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1\leq j \leq n \\ j < i}} \vert z_i\vert \vert z_j \vert\\
&= \sum_{i=1}^n \vert z_i\vert^2 + \sum_{1 \leq i < j \leq n } \vert z_i\vert \vert z_j \vert+ \sum_{1 \leq j < i \leq n } \vert z_i\vert \vert z_j \vert\\
&= \sum_{i=1}^n \vert z_i\vert^2 + \sum_{1 \leq i < j \leq n } \vert z_i\vert \vert z_j \vert+ \sum_{1 \leq i < j \leq n } \vert z_j\vert \vert z_i \vert\\
&= \sum_{i=1}^n \vert z_i\vert^2 + 2\sum_{1 \leq i < j \leq n } \vert z_i\vert \vert z_j \vert\\
&= \sum_{i=1}^n \vert z_i\vert^2 + 2\sum_{1 \leq i < j \leq n } \vert z_i\vert \vert \overline{z_j} \vert.
\end{align*}Finalement :
\boxed{(\vert z_1\vert+\cdots+\vert z_n\vert)^2 = \sum_{i=1}^n \vert z_i\vert^2 + 2\sum_{1 \leq i < j \leq n } \vert z_i \overline{z_j} \vert.}Déduisez-en une propriété vérifiée par les nombres complexes $z_1\overline{z_k}$, pour $2\leq k \leq n$
L’égalité :
\vert z_1+\dots+z_n \vert = \vert z_1\vert+\cdots+\vert z_n\vert
fournit, après élévation au carré :
\sum_{i=1}^n \vert z_i \vert^2+2 \sum_{1\leq i < j \leq n } \mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}) = \sum_{i=1}^n \vert z_i\vert^2 + 2\sum_{1 \leq i < j \leq n } \vert z_i \overline{z_j} \vert.Du coup :
\sum_{1\leq i < j \leq n } \mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}) =\sum_{1 \leq i < j \leq n } \vert z_i \overline{z_j} \vert.Maintenant vous allez raisonner par l’absurde.
Supposez qu’il existe un entier $k\in\llbracket 2, n\rrbracket$ tel que :
\mathrm{Re}(z_1\overline{z_k}) \neq \vert z_1\overline{z_k}\vert.Comme la partie réelle d’un nombre complexe est toujours inférieure à son module, vous déduisez que :
\mathrm{Re}(z_1\overline{z_k}) < \vert z_1\overline{z_k}\vert.D’autre part, pour tout $j\in\llbracket 2, n\rrbracket \setminus \{k\}$ vous avez :
\mathrm{Re}(z_1\overline{z_j}) \leq \vert z_1\overline{z_j}\vert.Par somme, vous avez l’inégalité stricte :
\mathrm{Re}(z_1\overline{z_k}) + \sum_{\substack{2\leq j \leq n \\ j\neq k}} \mathrm{Re}(z_1\overline{z_j}) < \vert z_1\overline{z_k}\vert + \sum_{\substack{2\leq j \leq n \\ j\neq k}} \vert z_1\overline{z_j}\vert.Ainsi :
\sum_{2\leq j \leq n } \mathrm{Re}(z_1\overline{z_j}) < \sum_{2\leq j \leq n } \vert z_1\overline{z_j}\vert.D’autre part :
\sum_{2\leq i < j \leq n } \mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}) \leq \sum_{2 \leq i < j \leq n } \vert z_i \overline{z_j} \vert.Par sommation des deux dernières inégalités, vous obtenez l’inégalité stricte :
\sum_{1\leq i < j \leq n } \mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}) < \sum_{1 \leq i < j \leq n } \vert z_i \overline{z_j} \vert.Cela contredit l’égalité $\sum_{1\leq i < j \leq n } \mathrm{Re}(z_i\overline{z_j}) =\sum_{1 \leq i < j \leq n } \vert z_i \overline{z_j} \vert.$
Il est ainsi établi le résultat suivant. Pour tout entier $k$ compris entre $2$ et $n$ :
\boxed{ \mathrm{Re}(z_1\overline{z_k}) = \vert z_1\overline{z_k}\vert.}Déterminez les nombres complexes $z$ dont la partie réelle est égale au module
Cette section est un aparté.
Soit $z$ un nombre complexe tel que :
\mathrm{Re}(z) = \vert z \vert.Ecrivez $z$ sous forme algébrique. Il existe deux réels $x$ et $y$ tels que :
z = x+iy.
Comme :
x = \sqrt{x^2+y^2}vous déduisez immédiatement que $x$ est un réel positif.
Maintenant, en élevant au carré :
x^2 = x^2+y^2
donc $y^2=0$ puis $y=0$ et $z = x.$
Vous avez ainsi établi ce résultat :
\boxed{\forall z\in\C, \mathrm{Re}(z) = \vert z \vert \implies z\in\R_{+}.}Concluez
Soit $k$ un entier compris entre $2$ et $n.$
Puisque $ \mathrm{Re}(z_1\overline{z_k}) = \vert z_1\overline{z_k}\vert$, vous déduisez que $z_1\overline{z_k}\in\R_{+}.$
Il existe donc un réel positif $t_k$ tel que :
z_1\overline{z_k} = t_k.Comme $z_1$ est supposé non nul :
\overline{z_k} = \frac{t_k}{z_1}.$\overline{z_1}$, $\vert z_1 \vert $ étant non nuls :
\begin{align*}
\overline{z_k} &= \frac{t_k}{z_1\overline{z_1}}\overline{z_1}\\
&= \frac{t_k}{\vert z_1\vert ^2}\overline{z_1}.
\end{align*}
Vous conjuguez cette égalité et tenez compte du fait que $t_k$ est réel :
z_k = \frac{t_k}{ \vert z_1 \vert ^2}z_1.Vous posez maintenant $u_k = \frac{t_k}{\vert z_1 \vert^2}.$ Alors $u_k \in\R_{+}$ et :
z_k = u_k z_1.
En définitive :
\boxed{\forall k\in \llbracket 2, n\rrbracket, \exists u_k\in\R_{+}, z_k = u_k z_1.}En d’autres termes, les nombres complexes non nuls parmi $z_1,\dots, z_n$ ont tous le même argument modulo $2\pi.$
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