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320. Le théorème de Gauss-Lucas

17/07/2020 - 0063

Considérez un entier $n$ supérieur ou égal à $2$ et fixez un polynôme, noté $P$, à coefficients complexes, de degré $n.$

Le théorème de Gauss-Lucas fournit une information sur la localisation des racines du polynôme dérivé $P’$ à partir des racines de $P.$

Note. Pour avoir $P’$ non constant (et donc scindé sur $\C[X]$) l’hypothèse $n\geq 2$ s’avère pertinente. Le cas où $P$ est constant conduit à $P’ = 0$ et $P’$ est constant. Le cas où $P$ est de degré $1$ amène à avoir $P’$ constant aussi.

Grâce au théorème de d’Alembert, le polynôme $P$ est scindé sur $\C[X]$. Autrement dit, il existe un nombre complexe $a$ non nul et $n$ nombres complexes $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ pas nécessairement distincts, tels que :

\boxed{P(X) = a(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_n).}

Remarque. Toujours grâce au théorème de d’Alembert, $P’$ qui est non constant est scindé sur $\C[X]$ et il admet au moins une racine complexe.

Calculez le polynôme dérivé $P’$

Quand on dérive un produit, on ne dérive qu’un seul facteur à la fois, puis on fait la somme. Ceci peut être illustré avec $2$ ou $3$ facteurs, quels que soient les polynômes complexes $F$, $G$ et $H$ vous avez :

\begin{align*}
(FG)' &= F'G+FG'\\
(FGH)' &= F'GH+FG'H+FGH'.
\end{align*}

Vous écrivez $P(X)$ comme le produit suivant :

P(X)= a\prod_{i=1}^n (X-\lambda_i).

En dérivant cette expression, vous déduisez :

\boxed{P'(X) = a\sum_{j=1}^n \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (X-\lambda_i).}

Exemple. Avec $n=3$, vous avez :

P(X) =a(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)(X-\lambda_3).

En dérivant, il vient :

P'(X) = a(X-\lambda_2)(X-\lambda_3)+a(X-\lambda_1)(X-\lambda_3)+a(X-\lambda_1)(X-\lambda_2).

Trouvez une égalité satisfaite pour une racine de $P’$

Soit maintenant $z$ un nombre complexe qui soit une racine du polynôme dérivé $P’.$

Le cas le plus rapide est celui où $z\in\{ \lambda_i, 1\leq i\leq n\}.$

Supposez dans la suite que :

z\notin\{ \lambda_i, 1\leq i\leq n\}.

Comme $P'(z) =0$, il vient :

a\sum_{j=1}^n \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i) = 0.

En divisant par $a$ qui est non nul, vous avez :

\sum_{j=1}^n \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i) = 0.

D’autre part, pour tout entier $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$, $z-\lambda_i\neq 0.$

Du coup, le produit suivant est non nul :

\prod_{i=1}^n (z-\lambda_i)\neq 0.

Fixez maintenant un entier $j\in\llbracket 1, n\rrbracket.$

Le quotient suivant se simplifie :

\begin{align*}
\frac{ \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i) }{\prod_{i=1}^n (z-\lambda_i)}
&=\frac{ \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i) }{(z-\lambda_j)\prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i)} \\
&= \frac{1}{z-\lambda_j}.
\end{align*}

Ainsi :

\boxed{\forall j\in\llbracket 1,n\rrbracket, \frac{ \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i) }{\prod_{i=1}^n (z-\lambda_i)} = \frac{1}{z-\lambda_j}.}

En divisant $\sum_{j=1}^n \prod_{\substack{1\leq i \leq n\ i\neq j}} (z-\lambda_i) = 0$ par le produit $\prod_{i=1}^n (z-\lambda_i)$ vous déduisez :

\sum_{j=1}^n \frac{ \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i)  }{\prod_{i=1}^n (z-\lambda_i)}= 0.

Finalement, pour tout nombre complexe $z$ qui est racine de $P’$ :

\boxed{\sum_{j=1}^n \frac{1}{z-\lambda_j} = 0 \text{ ou } z\in\{\lambda_i, 1\leq i\leq n\}.}

Exemple. Avec $n=3$, si $z$ est une racine de $P’$ telle que $z\notin\{\lambda_i, 1\leq i\leq 3\}$, vous avez :

\frac{1}{z-\lambda_1}+\frac{1}{z-\lambda_2}+\frac{1}{z-\lambda_3} = 0.

L’enveloppe convexe des racines de $P$

Cet ensemble est défini comme étant l’ensemble des nombres complexes qui peuvent s’écrire comme un barycentre des nombres $\lambda_1,\dots,\lambda_n.$

Formellement, l’enveloppe convexe des racines de $P$ est défini par :

\boxed{C = \{u\in\C, \exists (t_1,\dots,t_n)\in\R_{+}^n \setminus (0,\dots,0),\quad t_1\lambda_1+\cdots t_n\lambda_n =(t_1+\cdots+t_n)u \}.}

Montrez que toute racine de $P’$ appartient à l’enveloppe convexe des racines de $P$

Soit $z$ une racine de $P’.$

Traitez le cas où $z$ est racine de $P$

Si $z\in\{ \lambda_i, 1\leq i\leq n\}$, il existe $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$ tel que $z = \lambda_k.$

Pour tout $i\in\llbracket 1,n \rrbracket \setminus \{k\}$ vous posez $t_i = 0.$ Vous posez $t_k = 1.$

D’une part :

t_1\lambda_1+\cdots+t_n\lambda_n = t_k\lambda_k = \lambda_k.

D’autre part :

(t_1+\cdots+t_n) z = 1\times \lambda_k.

Ainsi :

t_1\lambda_1+\cdots+t_n\lambda_n = (t_1+\cdots+t_n) z.

Pour tout $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$, $t_i\in\R_{+}$ et comme $t_k\neq 0$ vous avez $(t_1,\dots,t_n)\neq (0,\dots,0).$

Donc $\boxed{z\in C.}$

Traitez le cas où $z$ n’est pas racine de $P$

Vous avez l’égalité :

\sum_{j=1}^n \frac{1}{z-\lambda_j} = 0.

Afin de faire apparaître des nombres réels positifs, vous multipliez les $n$ fractions par le conjugué de leur dénominateur. Cela est rendu possible puisque, pour tout $j\in\llbracket 1, n\rrbracket$, $\overline{z} \neq \overline{\lambda_j}.$

\sum_{j=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{\lambda_j}}{(z-\lambda_j)(\overline{z}-\overline{\lambda_j})} = 0.

Cela s’écrit, avec le module :

\sum_{j=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{\lambda_j}}{\vert z-\lambda_j\vert^2} = 0.

Vous conjuguez encore cette égalité :

\sum_{j=1}^n \frac{z-\lambda_j}{\vert z-\lambda_j\vert^2} = 0.

Ainsi :

\begin{align*}
\sum_{j=1}^n \frac{z}{\vert z-\lambda_j\vert^2} &= \sum_{j=1}^n \frac{\lambda_j}{\vert z-\lambda_j\vert^2}\\
\left(\sum_{j=1}^n \frac{1}{\vert z-\lambda_j\vert^2}\right)z &= \sum_{j=1}^n \frac{1}{\vert z-\lambda_j\vert^2}\lambda_j.
\end{align*}

Pour tout $j\in\llbracket 1, n\rrbracket$, vous posez $t_j = \frac{1}{\vert z-\lambda_j\vert^2}$ qui est un réel strictement positif.

Vous avez obtenu :

\left(\sum_{j=1}^n t_j\right) z = \sum_{j=1}^n t_j\lambda_j.

Comme $t_1\neq 0$, $(t_1,\dots,t_n)\in\R_{+}\setminus \{0,\dots,0\}.$

Ainsi vous avez encore $\boxed{z\in C.}$

Le théorème de Gauss-Lucas est démontré et il s’énonce ainsi : pour tout polynôme $P\in\C[X]$ de degré supérieur ou égal à $2$, toute racine de $P’$ appartient à l’enveloppe convexe des racines de $P.$

Prolongement

Soit $P$ un polynôme réel scindé de degré supérieur ou égal à $2$. Autrement dit, il existe un entier $m$ supérieur ou égal à $2$, un nombre $a\in\R$ non nul et des réels $r_1,\dots,r_m$ avec $r_1\leq \cdots \leq r_m$ tels que :

P(X) = a(X-r_1)\cdots(X-r_m).

Pourriez-vous démontrer, à l’aide du théorème de Gauss-Lucas, que $P’$ est scindé sur $\R[X]$ et que toute racine de $P’$ appartient à l’intervalle $[r_1,r_m]$ ?

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