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320. Le théorème de Gauss-Lucas

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Considérez un entier $n$ supérieur ou égal à $2$ et fixez un polynôme, noté $P\comma$ à coefficients complexes, de degré $n.$

Le théorème de Gauss-Lucas fournit une information sur la localisation des racines du polynôme dérivé $P’$ à partir des racines de $P.$

Note. Pour avoir $P’$ non constant, et donc scindé sur $\C[X]\comma$ l’hypothèse $n\geq 2$ s’avère pertinente. Le cas où $P$ est constant conduit à $P’ = 0$ et $P’$ est constant. Le cas où $P$ est de degré $1$ amène à avoir $P’$ constant aussi.

D’après le théorème de d’Alembert-Gauss, le polynôme $P$ est scindé sur $\C[X]$. Autrement dit, il existe un nombre complexe $a$ non nul et $n$ nombres complexes $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ pas nécessairement distincts, tels que :

\boxed{P(X) = a(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_n).}

Remarque. Toujours d’après le théorème de d’Alembert-Gauss, le polynôme $P’\comma$ qui est non constant, est scindé sur $\C[X]$ et il admet au moins une racine complexe.

Calculez le polynôme dérivé $P’$

Quand vous dérivez un produit, vous ne dérivez qu’un seul facteur à la fois, puis vous faites la somme. Ceci peut être illustré avec deux ou trois facteurs : quels que soient les polynômes complexes $F\comma$ $G$ et $H\comma$ vous avez :

\begin{align*} (FG)' &= F'G+FG'\\ (FGH)' &= F'GH+FG'H+FGH'. \end{align*}

Vous écrivez $P(X)$ comme le produit suivant :

P(X)= a\prod_{i=1}^n (X-\lambda_i).

En dérivant cette expression, vous déduisez :

\boxed{P'(X) = a\sum_{j=1}^n \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (X-\lambda_i).}

Exemple. Avec $n=3\comma$ vous avez :

P(X) =a(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)(X-\lambda_3).

En dérivant, il vient :

P'(X) = a(X-\lambda_2)(X-\lambda_3)+a(X-\lambda_1)(X-\lambda_3)+a(X-\lambda_1)(X-\lambda_2).

Trouvez une égalité satisfaite par une racine de $P’$

Soit maintenant $z$ un nombre complexe qui soit une racine du polynôme dérivé $P’.$

Le cas le plus rapide est celui où $z\in\{ \lambda_i, 1\leq i\leq n\}.$ Il sera traité plus loin.

Supposez dans la suite que :

z\notin\{ \lambda_i, 1\leq i\leq n\}.

Comme $P'(z) =0\comma$ il vient :

a\sum_{j=1}^n \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i) = 0.

En divisant par $a$ qui est non nul, vous avez :

\sum_{j=1}^n \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i) = 0.

D’autre part, pour tout entier $i\in\llbracket 1, n\rrbracket\comma$ vous avez $z-\lambda_i\neq 0.$

Du coup, le produit suivant est non nul :

\prod_{i=1}^n (z-\lambda_i)\neq 0.

Fixez maintenant un entier $j\in\llbracket 1, n\rrbracket.$

Le quotient suivant se simplifie :

\begin{align*} \frac{ \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i) }{\prod_{i=1}^n (z-\lambda_i)} &=\frac{ \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i) }{(z-\lambda_j)\prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i)} \\ &= \frac{1}{z-\lambda_j}. \end{align*}

Ainsi :

\boxed{\forall j\in\llbracket 1,n\rrbracket, \frac{ \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i) }{\prod_{i=1}^n (z-\lambda_i)} = \frac{1}{z-\lambda_j}.}

En divisant l’égalité $\sum_{j=1}^n \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i) = 0$ par le produit $\prod_{i=1}^n (z-\lambda_i)$ vous déduisez :

\sum_{j=1}^n \frac{ \prod_{\substack{1\leq i \leq n\\ i\neq j}} (z-\lambda_i) }{\prod_{i=1}^n (z-\lambda_i)}= 0.

Finalement, tout nombre complexe $z$ racine de $P’$ vérifie l’alternative suivante :

\boxed{\sum_{j=1}^n \frac{1}{z-\lambda_j} = 0 \text{ ou } z\in\{\lambda_i, 1\leq i\leq n\}.}

Exemple. Avec $n=3\comma$ si $z$ est une racine de $P’$ telle que $z\notin\{\lambda_i, 1\leq i\leq 3\}\comma$ vous avez :

\frac{1}{z-\lambda_1}+\frac{1}{z-\lambda_2}+\frac{1}{z-\lambda_3} = 0.

L’enveloppe convexe des racines de $P$

Cet ensemble est défini comme étant l’ensemble des nombres complexes qui peuvent s’écrire comme un barycentre à coefficients positifs des nombres $\lambda_1,\dots,\lambda_n.$

Formellement, l’enveloppe convexe des racines de $P$ est définie par :

\boxed{C = \{u\in\C, \exists (t_1,\dots,t_n)\in\R_{+}^n \setminus \{(0,\dots,0)\},\quad t_1\lambda_1+\cdots+ t_n\lambda_n =(t_1+\cdots+t_n)u \}.}

Montrez que toute racine de $P’$ appartient à l’enveloppe convexe des racines de $P$

Soit $z$ une racine de $P’.$

Traitez le cas où $z$ est racine de $P$

Si $z\in\{ \lambda_i, 1\leq i\leq n\}\comma$ il existe $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$ tel que $z = \lambda_k.$

Pour tout $i\in\llbracket 1,n \rrbracket \setminus \{k\}$ vous posez $t_i = 0.$ Vous posez $t_k = 1.$

D’une part :

t_1\lambda_1+\cdots+t_n\lambda_n = t_k\lambda_k = \lambda_k.

D’autre part :

(t_1+\cdots+t_n) z = 1\times \lambda_k.

Ainsi :

t_1\lambda_1+\cdots+t_n\lambda_n = (t_1+\cdots+t_n) z.

Pour tout $i\in\llbracket 1, n\rrbracket\comma$ vous avez $t_i\in\R_{+}$ et comme $t_k\neq 0$ vous avez $(t_1,\dots,t_n)\neq (0,\dots,0).$

Donc $\boxed{z\in C.}$

Traitez le cas où $z$ n’est pas racine de $P$

Vous avez l’égalité :

\sum_{j=1}^n \frac{1}{z-\lambda_j} = 0.

Afin de faire apparaître des nombres réels positifs, vous multipliez le numérateur et le dénominateur de chacune des $n$ fractions par le conjugué de son dénominateur. Cela est rendu possible puisque, pour tout $j\in\llbracket 1, n\rrbracket\comma$ vous avez $\overline{z} \neq \overline{\lambda_j}.$

\sum_{j=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{\lambda_j}}{(z-\lambda_j)(\overline{z}-\overline{\lambda_j})} = 0.

Cela s’écrit, avec le module :

\sum_{j=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{\lambda_j}}{\vert z-\lambda_j\vert^2} = 0.

Vous conjuguez cette égalité, les dénominateurs étant réels :

\sum_{j=1}^n \frac{z-\lambda_j}{\vert z-\lambda_j\vert^2} = 0.

Ainsi :

\begin{align*} \sum_{j=1}^n \frac{z}{\vert z-\lambda_j\vert^2} &= \sum_{j=1}^n \frac{\lambda_j}{\vert z-\lambda_j\vert^2}\\ \left(\sum_{j=1}^n \frac{1}{\vert z-\lambda_j\vert^2}\right)z &= \sum_{j=1}^n \frac{1}{\vert z-\lambda_j\vert^2}\lambda_j. \end{align*}

Pour tout $j\in\llbracket 1, n\rrbracket\comma$ vous posez $t_j = \frac{1}{\vert z-\lambda_j\vert^2}$ qui est un réel strictement positif.

Vous avez obtenu :

\left(\sum_{j=1}^n t_j\right) z = \sum_{j=1}^n t_j\lambda_j.

Comme $t_1\neq 0\comma$ vous avez $(t_1,\dots,t_n)\in\R_{+}^n\setminus \{(0,\dots,0)\}.$

Ainsi vous avez encore $\boxed{z\in C.}$

Le théorème de Gauss-Lucas est démontré et il s’énonce ainsi : pour tout polynôme $P\in\C[X]$ de degré supérieur ou égal à $2\comma$ toute racine de $P’$ appartient à l’enveloppe convexe des racines de $P.$

Premier prolongement

Soit $P$ un polynôme réel scindé de degré supérieur ou égal à $2$. Autrement dit, il existe un entier $m$ supérieur ou égal à $2\comma$ un nombre $a\in\R$ non nul et des réels $r_1,\dots,r_m$ avec $r_1\leq \cdots \leq r_m$ tels que :

P(X) = a(X-r_1)\cdots(X-r_m).

Pourriez-vous démontrer, à l’aide du théorème de Gauss-Lucas, que $P’$ est scindé sur $\R[X]$ et que toute racine de $P’$ appartient à l’intervalle $[r_1,r_m]$ délimité par la plus petite et la plus grande racine de ce polynôme ?

Autre prolongement

Si $P$ est un polynôme réel de degré supérieur ou égal à $2$ qui admet au moins deux racines réelles distinctes, notées $r_1 \lt \dots \lt r_q\comma$ est-il vrai que toutes les racines réelles de $P’$ sont situées dans l’intervalle $[r_1,r_q]$ délimité par ces racines ? Pour en savoir davantage, allez lire un autre article qui traite cette question.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 336.