Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2.$ Dans l’anneau $\Z[X,Y,Z]$ vous considérez le polynôme suivant :
P_n(X,Y,Z)=XY^n+YZ^n+ZX^n-X^nY-Y^nZ-Z^nX.
Dans ce contenu, vous allez démontrer que le polynôme $P_n$ est divisible par $(X-Y)(Y-Z)(Z-X)$ dans l’anneau $\Z[X,Y,Z].$
Explicitez la situation lorsque $n=2$
Vous avez :
\boxed{P_2(X,Y,Z)=XY^2+YZ^2+ZX^2-X^2 Y-Y^2Z-Z^2X.}
Vous réordonnez la somme précédente suivant les puissances décroissantes de $X\comma$ ce qui donne :
P_2(X,Y,Z)=(Z-Y)X^2+(Y^2-Z^2)X+YZ^2-Y^2Z.
Puis vous factorisez :
\begin{align*}
P_2(X,Y,Z)&=(Z-Y)X^2+(Y^2-Z^2)X+YZ(Z-Y)\\
&=(Z-Y)X^2+(Y-Z)(Y+Z)X+YZ(Z-Y)\\
&=(Z-Y)X^2+(Z-Y)(-XY-XZ)+YZ(Z-Y)\\
&=(Z-Y)(X^2-XY-XZ+YZ)\\
&=(Y-Z)(-X^2+XY+XZ-YZ)\\
&=(Y-Z)(-X^2+XY+(X-Y)Z)\\
&=(Y-Z)((X-Y)(-X)+(X-Y)Z)\\
&=(Y-Z)(X-Y)(-X+Z)\\
&=(Y-Z)(X-Y)(Z-X).
\end{align*}
Le résultat annoncé est valable lorsque $n=2.$
Afin de mieux comprendre ce qui se passe en allant plus loin, vous détaillez le processus lorsque $n=4.$
Explicitez la situation lorsque $n=4$
Vous avez :
\boxed{P_4(X,Y,Z)=XY^4+YZ^4+ZX^4-X^4 Y-Y^4Z-Z^4X.}
Vous réordonnez la somme précédente suivant les puissances décroissantes de $X\comma$ ce qui donne :
P_4(X,Y,Z)=(Z-Y)X^4+(Y^4-Z^4)X+YZ^4-Y^4Z.
Afin de comprendre la structure du polynôme $P_4\comma$ vous effectuez la division euclidienne de ce dernier par $X-Y\comma$ vu comme polynôme en la variable $X$ dont les coefficients sont des polynômes en $Y$ et $Z.$ Le divisé est placé à gauche, le diviseur en haut à droite et le quotient en dessous.
\begin{array}{lllll | l}
(Z-Y)X^4& & & +(Y^4-Z^4)X &+YZ^4-Y^4Z &X-Y \\
\hline
&&&&& (Z-Y)X^3 + (YZ-Y^2)X^2 \\
(Z-Y)X^4&+(Y^2-YZ)X^3&&&& \quad+ (Y^2Z-Y^3)X + (Y^3Z-Z^4)\\
&+(YZ-Y^2)X^3&&+(Y^4-Z^4)X&+YZ^4-Y^4Z \\ \hline
& \hphantom{+}(YZ-Y^2)X^3&+(Y^3-Y^2Z)X^2 \\
&& \hphantom{+}(Y^2Z-Y^3)X^2&+(Y^4-Z^4)X&+YZ^4-Y^4Z \\ \hline
&& \hphantom{+}(Y^2Z-Y^3)X^2 & +(Y^4-Y^3Z)X\\
&&&\hphantom{+}(Y^3Z-Z^4)X & +YZ^4-Y^4Z \\ \hline
&&&\hphantom{+}(Y^3Z-Z^4)X & +YZ^4-Y^4Z \\ \hline
&&&&\hphantom{+}0
\end{array}
Vous posez :
\boxed{Q_4(X,Y,Z) = (Z-Y)X^3 + (YZ-Y^2)X^2+ (Y^2Z-Y^3)X + (Y^3Z-Z^4).}
Le reste étant nul, il vient :
P_4(X,Y,Z) = (X-Y)Q_4(X,Y,Z).
Or :
\begin{align*}
Q_4(X,Y,Z) &= (Z-Y)X^3 + (Z-Y)YX^2+ (Z-Y)Y^2X + (Y^3-Z^3)Z\\
&= (Z-Y)(X^3+YX^2+Y^2X)+ (Y^3-Z^3)Z\\
&=(Y-Z)(-X^3-YX^2-Y^2X)+ (Y^3-Z^3)Z\\
&=(Y-Z)(-X^3-YX^2-Y^2X)+ (Y-Z)(Y^2+YZ+Z^2)Z\\
&=(Y-Z)(-X^3-YX^2-Y^2X)+ (Y-Z)(Y^2Z+YZ^2+Z^3)\\
&=(Y-Z)( Y^2Z+YZ^2+Z^3-X^3-YX^2-Y^2X)\\
&=(Y-Z)( Z^3-X^3 +Y(Z^2-X^2) + Y^2(Z-X)).
\end{align*}
Vous posez :
\boxed{R_4(X,Y,Z) = Z^3-X^3 +Y(Z^2-X^2) + Y^2(Z-X).}
D’après ce qui précède :
Q_4(X,Y,Z) = (Y-Z)R_4(X,Y,Z).
Enfin :
\begin{align*}
R_4(X,Y,Z) &= (Z-X)(Z^2+ZX+X^2)+Y(Z-X)(Z+X)+Y^2(Z-X)\\
&= (Z-X)(Z^2+ZX+X^2 + Y(Z+X) + Y^2)\\
&= (Z-X)(X^2 + Y^2 + Z^2+ XY+XZ+YZ ).
\end{align*}
Vous posez :
\boxed{S_4(X,Y,Z) = X^2+Y^2+Z^2+XY+XZ+YZ.}
Ainsi :
R_4(X,Y,Z) = (Z-X)S_4(X,Y,Z).
En définitive, le polynôme $P_4$ s’écrit ainsi :
\begin{align*}
P_4(X,Y,Z) &=(X-Y)Q_4(X,Y,Z)\\
&=(X-Y)(Y-Z)R_4(X,Y,Z)\\
&=(X-Y)(Y-Z)(Z-X)S_4(X,Y,Z).
\end{align*}
Il est ainsi prouvé que, dans l’anneau $\Z[X,Y,Z]\comma$ vous avez :
\boxed{(X-Y)(Y-Z)(Z-X) \mid P_4(X,Y,Z).}
Passez à la démonstration dans le cas général
Il a déjà été établi que le résultat annoncé était valable lorsque $n=2.$
Vous revenez à un entier naturel $n$ supérieur ou égal à $3.$
En vous inspirant du cas $n=4\comma$ vous posez :
\begin{align*}
Q_n(X,Y,Z) &= (Z-Y)X^{n-1} + (YZ-Y^2)X^{n-2}+ \cdots+(Y^{n-2}Z-Y^{n-1})X + (Y^{n-1}Z-Z^n) \\
&=\sum_{i=1}^{n-1} (Y^{n-1-i}Z-Y^{n-i})X^i + (Y^{n-1}Z-Z^n).
\end{align*}
Vous effectuez le développement du produit $(X-Y)Q_n(X,Y,Z)$ en utilisant des changements d’indice :
\begin{align*}
(X-Y)Q_n(X,Y,Z) &= \sum_{i=1}^{n-1} (X-Y)(Y^{n-1-i}Z-Y^{n-i})X^i +(X-Y) (Y^{n-1}Z-Z^n) \\
&= \sum_{i=1}^{n-1} (X^{i+1}Y^{n-1-i}Z-X^{i+1}Y^{n-i}-X^{i}Y^{n-i}Z+X^{i}Y^{n+1-i}) \\
&\qquad+ XY^{n-1}Z-XZ^n-Y^{n}Z+YZ^n \\
&= \sum_{i=1}^{n-1} X^{i+1}Y^{n-1-i}Z-\sum_{i=1}^{n-1}X^{i+1}Y^{n-i}-\sum_{i=1}^{n-1}X^{i}Y^{n-i}Z+\sum_{i=1}^{n-1}X^{i}Y^{n+1-i}\\
&\qquad + XY^{n-1}Z-XZ^n-Y^{n}Z+YZ^n \\
&= \sum_{i=2}^{n} X^{i}Y^{n-i}Z-\sum_{i=2}^{n}X^{i}Y^{n+1-i}-\sum_{i=1}^{n-1}X^{i}Y^{n-i}Z+\sum_{i=1}^{n-1}X^{i}Y^{n+1-i} \\
&\qquad+ XY^{n-1}Z-XZ^n-Y^{n}Z+YZ^n \\
&= X^nZ+\sum_{i=2}^{n-1} X^{i}Y^{n-i}Z-X^nY-\sum_{i=2}^{n-1}X^{i}Y^{n+1-i}\\
&\qquad-XY^{n-1}Z-\sum_{i=2}^{n-1}X^{i}Y^{n-i}Z+XY^n+\sum_{i=2}^{n-1}X^{i}Y^{n+1-i}\\
&\qquad + XY^{n-1}Z-XZ^n-Y^{n}Z+YZ^n \\
&=X^nZ-X^nY+XY^n-XZ^n-Y^nZ+YZ^n\\
&=XY^n+YZ^n+ZX^n-X^nY-Y^nZ-Z^nX.
\end{align*}
Vous déduisez :
\boxed{P_n(X,Y,Z) = (X-Y)Q_n(X,Y,Z).}
Vous factorisez $Q_n$ grâce aux facteurs communs, en utilisant l’identité $Y^{n-1}-Z^{n-1} = (Y-Z)\sum_{i=0}^{n-2}Y^{n-2-i}Z^{i}\comma$ ce qui conduit au calcul suivant :
\begin{align*}
Q_n(X,Y,Z) &=\sum_{i=1}^{n-1} (Y^{n-1-i}Z-Y^{n-i})X^i + (Y^{n-1}Z-Z^n) \\
&=\sum_{i=1}^{n-1} (Y^{n-i-1}Z-Y^{n-i-1}Y)X^i + (Y^{n-1}-Z^{n-1})Z \\
&=\sum_{i=1}^{n-1} (Z-Y)Y^{n-i-1}X^i + (Y^{n-1}-Z^{n-1})Z \\
&=(Z-Y) \sum_{i=1}^{n-1} Y^{n-i-1}X^i + (Y^{n-1}-Z^{n-1})Z \\
&=(Y-Z) \sum_{i=1}^{n-1} \left(-Y^{n-i-1}X^i\right) + Z(Y-Z)\sum_{i=0}^{n-2}Y^{n-2-i}Z^{i} \\
&=(Y-Z) \sum_{i=1}^{n-1} \left(-Y^{n-i-1}X^i\right) + (Y-Z)\sum_{i=0}^{n-2}Y^{n-2-i}Z^{i+1} \\
&=(Y-Z) \sum_{i=1}^{n-1} \left(-Y^{n-i-1}X^i\right) + (Y-Z)\sum_{i=1}^{n-1}Y^{n-1-i}Z^{i} \\
&=(Y-Z) \sum_{i=1}^{n-1} (Y^{n-1-i}Z^{i} -Y^{n-i-1}X^i)\\
&=(Y-Z) \sum_{i=1}^{n-1} Y^{n-1-i}(Z^{i} -X^i).
\end{align*}
Vous posez :
\boxed{R_n(X,Y,Z) = \sum_{i=1}^{n-1} Y^{n-1-i}(Z^{i} -X^i).}
Ainsi :
\boxed{P_n(X,Y,Z) = (X-Y)(Y-Z)R_n(X,Y,Z).}
Or, pour tout $i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket\comma$ vous avez :
Z^i-X^i = (Z-X)\sum_{j=0}^{i-1} Z^{i-1-j}X^j.
Pour tout $i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket\comma$ vous posez :
F_i(X,Y,Z) = \sum_{j=0}^{i-1} Z^{i-1-j}X^j.
Ainsi, pour tout $i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket$ vous avez $F_i\in\Z[X,Y,Z]$ et :
Z^i-X^i = (Z-X)F_i(X,Y,Z).
Par suite :
\begin{align*}
R_n(X,Y,Z) &= \sum_{i=1}^{n-1} Y^{n-1-i}(Z^{i} -X^i) \\
&= \sum_{i=1}^{n-1} Y^{n-1-i}(Z-X)F_i(X,Y,Z) \\
&=(Z-X) \sum_{i=1}^{n-1} Y^{n-1-i}F_i(X,Y,Z).
\end{align*}
En posant $S_n(X,Y,Z) = \sum_{i=1}^{n-1} Y^{n-1-i}F_i(X,Y,Z)$ vous avez obtenu $S_n\in\Z[X,Y,Z]$ et :
R_n(X,Y,Z) = (Z-X)S_n(X,Y,Z).
Pour récapituler, il est démontré que :
\boxed{
\begin{align*}
&P_n(X,Y,Z) = (X-Y)(Y-Z)(Z-X)S_n(X,Y,Z)\\
&S_n\in\Z[X,Y,Z].
\end{align*}
}
Concluez
Il est ainsi établi que, pour tout entier naturel $n\geq 2\comma$ le polynôme $(X-Y)(Y-Z)(Z-X)$ divise le polynôme $P_n$ dans l’anneau $\Z[X,Y,Z]\comma$ ce qui s’écrit :
\boxed{(X-Y)(Y-Z)(Z-X) \mid XY^n+YZ^n+ZX^n-X^nY-Y^nZ-Z^nX.}
