Dans cet article, vous vous focalisez sur le polynôme $P$ à coefficients entiers défini par $X^4+1.$ Vous étudiez sa factorisation éventuelle comme produit de deux polynômes de degré $2$ ayant leurs coefficients dans un sous-corps donné de $\C$.
Ramenez-vous à des polynômes unitaires
Soit $\K$ un sous-corps de $\C.$
Ecrire $X^4+1$ comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K$ signifie qu’il existe $(u,v,w,r,s,t)\in\K^6$ avec $u\neq 0$ et $v\neq 0$ tels que :
X^4+1 = (uX^2+vX+w)(rX^2+sX+t).
En divisant le premier polynôme du second degré par $u$ et en multipliant celui de droite par $u$, vous obtenez :
X^4+1 = \left(X^2+\frac{v}{u}X+\frac{w}{u}\right)(urX^2+usX+ut).Après développement et identification du coefficient de $X^4$, il vient $ur = 1$ et par suite :
X^4+1 = \left(X^2+\frac{v}{u}X+\frac{w}{u}\right)(X^2+usX+ut).Ainsi, vous cherchez à savoir s’il existe des coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$ à valeurs dans $\K$ tels que :
X^4+1 = (X^2+aX+b)(X^2+cX+d).
Formez un système d’équations
Supposez qu’il existe quatre coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$ à valeurs dans $\K$ tels que :
X^4+1 = (X^2+aX+b)(X^2+cX+d).
Vous développez le produit :
\begin{align*}
(X^2+aX+b)(X^2+cX+d) &=X^4+cX^3+dX\\
&\quad +aX^3+acX^2+adX\\
&\quad +bX^2+bcX+bd\\
&=X^4+(a+c)X^3+(d+ac+b)X^2+(ad+bc)X+bd.
\end{align*}Par identification des coefficients il vient :
\left\{\begin{align*}
&a+c=0\\
&d+ac+b=0\\
&ad+bc=0\\
&bd=1.
\end{align*}
\right.Vous utilisez la relation $c=-a$ pour effectuer des substitutions dans les équations obtenues. Du coup :
\left\{\begin{align*}
&c=-a\\
&d-a^2+b=0\\
&ad-ab=0\\
&bd=1.
\end{align*}
\right.Terminez l’analyse avec le système précédent
Premier cas : $a=0$
Les coefficients $b$ et $d$ vérifient le système suivant :
\left\{\begin{align*}
&d+b=0\\
&bd=1.
\end{align*}
\right.Vous multipliez la première équation par $b$ :
bd+b^2=0.
En remplaçant $bd$ par $1$ il vient :
\begin{align*}
b^2+1 &= 0\\
(b+i)(b-i)&=0.
\end{align*}Du coup :
b\in\{i, -i\}.Comme $\K$ est un corps, vous déduisez que :
\boxed{i\in\K.}Second cas : $a\neq 0$
La troisième équation du système suivant
\left\{\begin{align*}
&c=-a\\
&d-a^2+b=0\\
&ad-ab=0\\
&bd=1
\end{align*}
\right.après division par $a$, fournit :
\begin{align*}
&d-b=0\\
&d=b.
\end{align*} Du coup, avec la quatrième équation du système :
\begin{align*}
b^2&=1\\
b^2-1&=0\\
(b-1)(b+1)&=0.
\end{align*} Ainsi :
b\in\{-1,1\}.La deuxième équation du système fournit :
\begin{align*}
a^2=b+d\\
a^2 =2b.
\end{align*}Si $b=1$, alors $a^2=2$ donc :
\begin{align*}
a^2-(\sqrt{2})^2 &= 0\\
(a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})&=0.
\end{align*}
Du coup, $a\in\{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\}.$ Comme $\K$ est un corps, il en résulte que :
\boxed{\sqrt{2}\in\K.}Si $b=-1$, alors $a^2=-2$ donc :
\begin{align*}
a^2-(i\sqrt{2})^2 &= 0\\
(a-i\sqrt{2})(a+i\sqrt{2})&=0.
\end{align*}Du coup, $a\in\{i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}\}.$ Comme $\K$ est un corps, il en résulte que :
\boxed{i\sqrt{2}\in\K.}Concluez sur l’analyse
S’il existe un sous-corps $\K$ de $\C$ et s’il existe quatre coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$ à valeurs dans $\K$ tels que :
X^4+1 = (X^2+aX+b)(X^2+cX+d)
alors au moins un des complexes parmi $i$, $\sqrt{2}$ et $i\sqrt{2}$ appartient à $\K.$
Effectuez la synthèse
Premier cas
Soit $\K$ un sous-corps de $\C$ tel que $i\in\K.$
Alors :
\begin{align*}
X^4+1 &= X^4 - i^2\\
&=(X^2+i)(X^2-i).
\end{align*} Le polynôme $X^4+1$ s’écrit comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K.$
Deuxième cas
Soit $\K$ un sous-corps de $\C$ tel que $\sqrt{2}\in\K.$
Alors :
\begin{align*}
X^4+1 &= X^4+2X^2+1-2X^2\\
&= (X^2+1)^2-(\sqrt{2}X)^2\\
&=(X^2+\sqrt{2}X+1)(X^2-\sqrt{2}X+1).
\end{align*}Le polynôme $X^4+1$ s’écrit à nouveau comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K.$
Troisième cas
Soit $\K$ un sous-corps de $\C$ tel que $i\sqrt{2}\in\K.$
Alors :
\begin{align*}
X^4+1 &= X^4-2X^2+1+2X^2\\
&= (X^2-1)^2-(i\sqrt{2}X)^2\\
&=(X^2+i\sqrt{2}X-1)(X^2-i\sqrt{2}X-1).
\end{align*}Le polynôme $X^4+1$ s’écrit encore comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K.$
Concluez sur le problème initial
Pour tout sous-corps $\K$ de $\C$, le polynôme $X^4+1$ se décompose comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K$, si et seulement si, au moins un des trois nombres parmi $i$, $\sqrt{2}$, $i\sqrt{2}$ appartient à $\K.$
Prolongement
Utilisez le contenu de cet article pour justifier que la notion de décomposition d’un polynôme en produit de polynômes irréductibles dépend du corps dans lequel les coefficients sont contenus.
Partagez !
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !