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329. Décomposition d’un polynôme du quatrième degré en produit de deux polynômes de degré 2 à coefficients dans un corps donné

Yannis TRIANTAPHYLIDES

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Dans ce contenu, vous vous focalisez sur le polynôme $P$ à coefficients entiers défini par $X^4+1.$ Vous étudiez sa factorisation éventuelle comme produit de deux polynômes de degré $2$ ayant leurs coefficients dans un sous-corps donné de $\C$.

Ramenez-vous à des polynômes unitaires

Soit $\K$ un sous-corps de $\C.$

Écrire $X^4+1$ comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K$ signifie qu’il existe $(u,v,w,r,s,t)\in\K^6$ avec $u\neq 0$ et $r\neq 0$ tels que :

X^4+1 = (uX^2+vX+w)(rX^2+sX+t).

En divisant le premier polynôme du second degré par $u$ et en multipliant celui de droite par $u\comma$ vous obtenez :

X^4+1 = \left(X^2+\frac{v}{u}X+\frac{w}{u}\right)(urX^2+usX+ut).

Après développement et identification du coefficient de $X^4\comma$ il vient $ur = 1$ et par suite :

X^4+1 = \left(X^2+\frac{v}{u}X+\frac{w}{u}\right)(X^2+usX+ut).

Comme $\K$ est un corps, les nombres $\frac{v}{u}\comma$ $\frac{w}{u}\comma$ $us$ et $ut$ appartiennent à $\K.$ Ainsi, vous cherchez à savoir s’il existe des coefficients $a\comma$ $b\comma$ $c$ et $d$ appartenant à $\K$ tels que :

X^4+1 = (X^2+aX+b)(X^2+cX+d).

Formez un système d’équations

Supposez qu’il existe quatre coefficients $a\comma$ $b\comma$ $c$ et $d$ appartenant à $\K$ tels que :

X^4+1 = (X^2+aX+b)(X^2+cX+d).

Vous développez le produit :

\begin{align*} (X^2+aX+b)(X^2+cX+d) &=X^4+cX^3+dX^2\\ &\quad +aX^3+acX^2+adX\\ &\quad +bX^2+bcX+bd\\ &=X^4+(a+c)X^3+(d+ac+b)X^2+(ad+bc)X+bd. \end{align*}

Par identification des coefficients il vient :

\left\{\begin{align*} &a+c=0\\ &d+ac+b=0\\ &ad+bc=0\\ &bd=1. \end{align*} \right.

Vous utilisez la relation $c=-a$ pour effectuer des substitutions dans les équations obtenues. Du coup :

\left\{\begin{align*} &c=-a\\ &d-a^2+b=0\\ &ad-ab=0\\ &bd=1. \end{align*} \right.

Terminez l’analyse avec le système précédent

Premier cas : $a=0$

Les coefficients $b$ et $d$ vérifient le système suivant :

\left\{\begin{align*} &d+b=0\\ &bd=1. \end{align*} \right.

Vous multipliez la première équation par $b\comma$ ce qui donne :

bd+b^2=0.

En remplaçant $bd$ par $1$ il vient :

\begin{align*} b^2+1 &= 0\\ (b+i)(b-i)&=0. \end{align*}

Du coup :

b\in\{i, -i\}.

Comme $b\in\K$ et que $\K$ est un corps, donc stable par passage à l’opposé, vous déduisez que :

\boxed{i\in\K.}

Second cas : $a\neq 0$

La troisième équation du système suivant

\left\{\begin{align*} &c=-a\\ &d-a^2+b=0\\ &ad-ab=0\\ &bd=1 \end{align*} \right.

fournit, après division par $a$ qui est non nul :

\begin{align*} &d-b=0\\ &d=b. \end{align*}

Du coup, avec la quatrième équation du système :

\begin{align*} b^2&=1\\ b^2-1&=0\\ (b-1)(b+1)&=0. \end{align*}

Ainsi :

b\in\{-1,1\}.

La deuxième équation du système fournit :

\begin{align*} a^2&=b+d\\ a^2 &=2b. \end{align*}

Si $b=1\comma$ alors $a^2=2$ donc :

\begin{align*} a^2-(\sqrt{2})^2 &= 0\\ (a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})&=0. \end{align*}

Du coup, $a\in\{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\}.$ Comme $a\in\K$ et que $\K$ est un corps, il en résulte que :

\boxed{\sqrt{2}\in\K.}

Si $b=-1\comma$ alors $a^2=-2$ donc :

\begin{align*} a^2-(i\sqrt{2})^2 &= 0\\ (a-i\sqrt{2})(a+i\sqrt{2})&=0. \end{align*}

Du coup, $a\in\{i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}\}.$ Comme $a\in\K$ et que $\K$ est un corps, il en résulte que :

\boxed{i\sqrt{2}\in\K.}

Concluez sur l’analyse

S’il existe un sous-corps $\K$ de $\C$ et s’il existe quatre coefficients $a\comma$ $b\comma$ $c$ et $d$ appartenant à $\K$ tels que :

X^4+1 = (X^2+aX+b)(X^2+cX+d)

alors au moins un des complexes parmi $i\comma$ $\sqrt{2}$ et $i\sqrt{2}$ appartient à $\K.$

Effectuez la synthèse

Premier cas

Soit $\K$ un sous-corps de $\C$ tel que $i\in\K.$

Alors :

\begin{align*} X^4+1 &= X^4 – i^2\\ &=(X^2+i)(X^2-i). \end{align*}

Le polynôme $X^4+1$ s’écrit comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K.$

Deuxième cas

Soit $\K$ un sous-corps de $\C$ tel que $\sqrt{2}\in\K.$

Alors :

\begin{align*} X^4+1 &= X^4+2X^2+1-2X^2\\ &= (X^2+1)^2-(\sqrt{2}X)^2\\ &=(X^2+\sqrt{2}X+1)(X^2-\sqrt{2}X+1). \end{align*}

Le polynôme $X^4+1$ s’écrit à nouveau comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K.$

Troisième cas

Soit $\K$ un sous-corps de $\C$ tel que $i\sqrt{2}\in\K.$

Alors :

\begin{align*} X^4+1 &= X^4-2X^2+1+2X^2\\ &= (X^2-1)^2-(i\sqrt{2}X)^2\\ &=(X^2+i\sqrt{2}X-1)(X^2-i\sqrt{2}X-1). \end{align*}

Le polynôme $X^4+1$ s’écrit encore comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K.$

Concluez sur le problème initial

Pour tout sous-corps $\K$ de $\C\comma$ le polynôme $X^4+1$ se décompose comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K\comma$ si et seulement si, au moins un des trois nombres parmi $i\comma$ $\sqrt{2}\comma$ $i\sqrt{2}$ appartient à $\K.$

Prolongement

Utilisez le contenu de cette page pour justifier que la notion de décomposition d’un polynôme en produit de polynômes irréductibles dépend du corps dans lequel les coefficients sont contenus.