Dans cet article, vous vous focalisez sur le polynôme $P$ à coefficients entiers défini par $X^4+1.$ Vous étudiez sa factorisation éventuelle comme produit de deux polynômes de degré $2$ ayant leurs coefficients dans un sous-corps donné de $\C$.

Ramenez-vous à des polynômes unitaires

Soit $\K$ un sous-corps de $\C.$

Ecrire $X^4+1$ comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K$ signifie qu’il existe $(u,v,w,r,s,t)\in\K^6$ avec $u\neq 0$ et $v\neq 0$ tels que :

X^4+1 = (uX^2+vX+w)(rX^2+sX+t).

En divisant le premier polynôme du second degré par $u$ et en multipliant celui de droite par $u$, vous obtenez :

X^4+1 = \left(X^2+\frac{v}{u}X+\frac{w}{u}\right)(urX^2+usX+ut).

Après développement et identification du coefficient de $X^4$, il vient $ur = 1$ et par suite :

X^4+1 = \left(X^2+\frac{v}{u}X+\frac{w}{u}\right)(X^2+usX+ut).

Ainsi, vous cherchez à savoir s’il existe des coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$ à valeurs dans $\K$ tels que :

X^4+1 = (X^2+aX+b)(X^2+cX+d).

Formez un système d’équations

Supposez qu’il existe quatre coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$ à valeurs dans $\K$ tels que :

X^4+1 = (X^2+aX+b)(X^2+cX+d).

Vous développez le produit :

\begin{align*}
(X^2+aX+b)(X^2+cX+d) &=X^4+cX^3+dX\\
&\quad +aX^3+acX^2+adX\\
&\quad +bX^2+bcX+bd\\
&=X^4+(a+c)X^3+(d+ac+b)X^2+(ad+bc)X+bd.
\end{align*}

Par identification des coefficients il vient :

\left\{\begin{align*}
&a+c=0\\
&d+ac+b=0\\
&ad+bc=0\\
&bd=1.
\end{align*}
\right.

Vous utilisez la relation $c=-a$ pour effectuer des substitutions dans les équations obtenues. Du coup :

\left\{\begin{align*}
&c=-a\\
&d-a^2+b=0\\
&ad-ab=0\\
&bd=1.
\end{align*}
\right.

Terminez l’analyse avec le système précédent

Premier cas : $a=0$

Les coefficients $b$ et $d$ vérifient le système suivant :

\left\{\begin{align*}
&d+b=0\\
&bd=1.
\end{align*}
\right.

Vous multipliez la première équation par $b$ :

bd+b^2=0.

En remplaçant $bd$ par $1$ il vient :

\begin{align*}
b^2+1 &= 0\\
(b+i)(b-i)&=0.
\end{align*}

Du coup :

b\in\{i, -i\}.

Comme $\K$ est un corps, vous déduisez que :

 \boxed{i\in\K.}

Second cas : $a\neq 0$

La troisième équation du système suivant

\left\{\begin{align*}
&c=-a\\
&d-a^2+b=0\\
&ad-ab=0\\
&bd=1
\end{align*}
\right.

après division par $a$, fournit :

\begin{align*}
&d-b=0\\
&d=b.
\end{align*} 

Du coup, avec la quatrième équation du système :

\begin{align*}
b^2&=1\\
b^2-1&=0\\
(b-1)(b+1)&=0.
\end{align*} 

Ainsi :

b\in\{-1,1\}.

La deuxième équation du système fournit :

\begin{align*}
a^2=b+d\\
a^2 =2b.
\end{align*}

Si $b=1$, alors $a^2=2$ donc :

\begin{align*}
a^2-(\sqrt{2})^2 &= 0\\
(a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})&=0.
\end{align*}

Du coup, $a\in\{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\}.$ Comme $\K$ est un corps, il en résulte que :

\boxed{\sqrt{2}\in\K.}

Si $b=-1$, alors $a^2=-2$ donc :

\begin{align*}
a^2-(i\sqrt{2})^2 &= 0\\
(a-i\sqrt{2})(a+i\sqrt{2})&=0.
\end{align*}

Du coup, $a\in\{i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}\}.$ Comme $\K$ est un corps, il en résulte que :

\boxed{i\sqrt{2}\in\K.}

Concluez sur l’analyse

S’il existe un sous-corps $\K$ de $\C$ et s’il existe quatre coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$ à valeurs dans $\K$ tels que :

X^4+1 = (X^2+aX+b)(X^2+cX+d)

alors au moins un des complexes parmi $i$, $\sqrt{2}$ et $i\sqrt{2}$ appartient à $\K.$

Effectuez la synthèse

Premier cas

Soit $\K$ un sous-corps de $\C$ tel que $i\in\K.$

Alors :

\begin{align*}
X^4+1 &= X^4 - i^2\\
&=(X^2+i)(X^2-i).
\end{align*} 

Le polynôme $X^4+1$ s’écrit comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K.$

Deuxième cas

Soit $\K$ un sous-corps de $\C$ tel que $\sqrt{2}\in\K.$

Alors :

\begin{align*}
X^4+1 &= X^4+2X^2+1-2X^2\\
&= (X^2+1)^2-(\sqrt{2}X)^2\\
&=(X^2+\sqrt{2}X+1)(X^2-\sqrt{2}X+1).
\end{align*}

Le polynôme $X^4+1$ s’écrit à nouveau comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K.$

Troisième cas

Soit $\K$ un sous-corps de $\C$ tel que $i\sqrt{2}\in\K.$

Alors :

\begin{align*}
X^4+1 &= X^4-2X^2+1+2X^2\\
&= (X^2-1)^2-(i\sqrt{2}X)^2\\
&=(X^2+i\sqrt{2}X-1)(X^2-i\sqrt{2}X-1).
\end{align*}

Le polynôme $X^4+1$ s’écrit encore comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K.$

Concluez sur le problème initial

Pour tout sous-corps $\K$ de $\C$, le polynôme $X^4+1$ se décompose comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\K$, si et seulement si, au moins un des trois nombres parmi $i$, $\sqrt{2}$, $i\sqrt{2}$ appartient à $\K.$

Prolongement

Utilisez le contenu de cet article pour justifier que la notion de décomposition d’un polynôme en produit de polynômes irréductibles dépend du corps dans lequel les coefficients sont contenus.