Soit $z$ un nombre complexe. Vous cherchez à déterminer un polynôme réel non constant $P$ tel que $P(z)=0.$
Le cas où $z$ est un nombre réel
Si $z\in\R$, alors le polynôme $P = X-z$ appartient à $\R[X]\setminus \R$ et $P(z)=0.$
Le cas où $z$ est un nombre complexe non réel
Si $z\notin\R$ vous écrivez $z$ sous forme algébrique. Il existe deux uniques réels $x$ et $y$ tels que :
z=x+iy.
Il est illusoire de chercher un polynôme réel $P$ de degré $1$ tel que $P(z)=0.$
En effet, si un tel polynôme existe, alors il existe un couple $(a,b)\in\R^2$ avec $a\neq 0$ tel que :
\begin{align*} P(X)&=aX+b\\ P(z)&=0. \end{align*}
Il vient $az+b=0$ et comme $a$ est non nul, vous avez $z=\frac{-b}{a}$ et par suite, $z\in\R$, ce qui est exclu.
Vous calculez donc le nombre complexe $z^2$ :
\begin{align*} z^2 &= (x+iy)^2\\ &=x^2-y^2+2ixy. \end{align*}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
\begin{align*} z^2+az+b &= x^2-y^2+2ixy+ax+iay+b\\ &=(x^2-y^2+ax+b)+iy(a+2x). \end{align*}
D’après ce calcul, vous posez :
\boxed{a= -2x.}
Puis vous posez $b = y^2-x^2-ax$ ce qui fournit :
\begin{align*} b=y^2-x^2+2x^2. \end{align*}
Ainsi :
\boxed{b=x^2+y^2.}
Pour ces choix de $a$ et de $b$, vous obtenez :
\left\{\begin{align*} &a+2x = 0\\ &x^2-y^2+ax+b=0. \end{align*} \right.
Du coup :
\begin{align*} &z^2+az+b=0\\ &z^2-2xz+x^2+y^2=0. \end{align*}
En posant :
\boxed{P(X) = X^2-2xX+x^2+y^2}
vous avez bien un polynôme réel de degré $2$ tel que $P(z)=0.$
Concluez
Pour tout nombre complexe $z$ s’écrivant sous forme algébrique $z=x+iy$ avec $(x,y)\in\R^2$ :
- soit $z\in\R$ et $z$ est annulé par le polynôme $P$ réel de degré $1$ défini par $P(X)=X-z$ ;
- soit $z\in\C\setminus\R$ et $z$ est annulé par le polynôme réel $P$ de degré $2$ défini par $P(X)=X^2-2xX+x^2+y^2.$
Retrouvez le dernier résultat à partir de l’inverse d’un nombre complexe
Soit $z$ un nombre complexe non réel. Notez que $z$ est non nul. En écrivant $z = x+iy$ avec $(x,y)\in\R^2$, vous souhaitez retrouver que le polynôme $X^2-2xX+x^2+y^2$ possède $z$ pour racine.
Vous avez :
\begin{align*} \frac{1}{z} &=\frac{\overline{z}}{z \overline{z}}\\ &= \frac{\overline{z}}{\vert z\vert ^2}. \end{align*}
Or, la partie réelle de $z$ est la demi-somme de $z$ avec son conjugué $\overline{z}$ d’où :
2\mathrm{Re}(z) -z = \overline{z}.
Ainsi :
\begin{align*} \frac{1}{z} &=\frac{\overline{z}}{z \overline{z}}\\ &= \frac{2\mathrm{Re}(z) -z}{\vert z\vert ^2}. \end{align*}
Après multiplication de cette égalité par $\vert z \vert^2$, il vient :
\frac{\vert z \vert^2}{z} = 2\mathrm{Re}(z)-z.
Après multiplication par $z$, vous obtenez :
\begin{align*} \vert z \vert^2 &= 2\mathrm{Re}(z)z-z^2\\ z^2-2\mathrm{Re}(z)z+\vert z\vert^2&=0. \end{align*}
Vous avez $\mathrm{Re}(z)=x$ et $\vert z\vert^2=x^2+y^2$ et vous retrouvez le résultat précédemment établi, à savoir :
z^2-2xz+x^2+y^2=0.
Prolongement
Soit $z$ un nombre complexe non réel. Pourriez-vous justifier que le polynôme de degré $2$ défini par :
P(X)=X^2-2\mathrm{Re}(z)X+\vert z\vert^2
est irréductible sur $\R[X]$ ?
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