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330. Polynômes annulateurs réels d’un nombre complexe

Soit $z$ un nombre complexe. Vous cherchez à déterminer un polynôme réel non constant $P$ tel que $P(z)=0.$

Le cas où $z$ est un nombre réel

Si $z\in\R$, alors le polynôme $P = X-z$ appartient à $\R[X]\setminus \R$ et $P(z)=0.$

Le cas où $z$ est un nombre complexe non réel

Si $z\notin\R$ vous écrivez $z$ sous forme algébrique. Il existe deux uniques réels $x$ et $y$ tels que :

z=x+iy.

Il est illusoire de chercher un polynôme réel $P$ de degré $1$ tel que $P(z)=0.$

En effet, si un tel polynôme existe, alors il existe un couple $(a,b)\in\R^2$ avec $a\neq 0$ tel que :

\begin{align*}
P(X)&=aX+b\\
P(z)&=0.
\end{align*}

Il vient $az+b=0$ et comme $a$ est non nul, vous avez $z=\frac{-b}{a}$ et par suite, $z\in\R$, ce qui est exclu.

Vous calculez donc le nombre complexe $z^2$ :

\begin{align*}
z^2 &= (x+iy)^2\\
&=x^2-y^2+2ixy.
\end{align*}

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

\begin{align*}
z^2+az+b &= x^2-y^2+2ixy+ax+iay+b\\
&=(x^2-y^2+ax+b)+iy(a+2x).
\end{align*}

D’après ce calcul, vous posez :

\boxed{a= -2x.}

Puis vous posez $b = y^2-x^2-ax$ ce qui fournit :

\begin{align*}
b=y^2-x^2+2x^2.
\end{align*}

Ainsi :

\boxed{b=x^2+y^2.}

Pour ces choix de $a$ et de $b$, vous obtenez :

\left\{\begin{align*}
&a+2x = 0\\
&x^2-y^2+ax+b=0.
\end{align*}
\right.

Du coup :

\begin{align*}
&z^2+az+b=0\\
&z^2-2xz+x^2+y^2=0.
\end{align*}

En posant :

\boxed{P(X) = X^2-2xX+x^2+y^2}

vous avez bien un polynôme réel de degré $2$ tel que $P(z)=0.$

Concluez

Pour tout nombre complexe $z$ s’écrivant sous forme algébrique $z=x+iy$ avec $(x,y)\in\R^2$ :

  • soit $z\in\R$ et $z$ est annulé par le polynôme $P$ réel de degré $1$ défini par $P(X)=X-z$ ;
  • soit $z\in\C\setminus\R$ et $z$ est annulé par le polynôme réel $P$ de degré $2$ défini par $P(X)=X^2-2xX+x^2+y^2.$

Retrouvez le dernier résultat à partir de l’inverse d’un nombre complexe

Soit $z$ un nombre complexe non réel. Notez que $z$ est non nul. En écrivant $z = x+iy$ avec $(x,y)\in\R^2$, vous souhaitez retrouver que le polynôme $X^2-2xX+x^2+y^2$ possède $z$ pour racine.

Vous avez :

\begin{align*}
\frac{1}{z} &=\frac{\overline{z}}{z \overline{z}}\\
&= \frac{\overline{z}}{\vert z\vert ^2}.
\end{align*}

Or, la partie réelle de $z$ est la demi-somme de $z$ avec son conjugué $\overline{z}$ d’où :

2\mathrm{Re}(z) -z = \overline{z}.

Ainsi :

\begin{align*}
\frac{1}{z} &=\frac{\overline{z}}{z \overline{z}}\\
&= \frac{2\mathrm{Re}(z) -z}{\vert z\vert ^2}.
\end{align*}

Après multiplication de cette égalité par $\vert z \vert^2$, il vient :

\frac{\vert z \vert^2}{z} = 2\mathrm{Re}(z)-z.

Après multiplication par $z$, vous obtenez :

\begin{align*}
\vert z \vert^2 &= 2\mathrm{Re}(z)z-z^2\\
z^2-2\mathrm{Re}(z)z+\vert z\vert^2&=0.
\end{align*}

Vous avez $\mathrm{Re}(z)=x$ et $\vert z\vert^2=x^2+y^2$ et vous retrouvez le résultat précédemment établi, à savoir :

z^2-2xz+x^2+y^2=0.

Prolongement

Soit $z$ un nombre complexe non réel. Pourriez-vous justifier que le polynôme de degré $2$ défini par :

P(X)=X^2-2\mathrm{Re}(z)X+\vert z\vert^2

est irréductible sur $\R[X]$ ?

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