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330. Polynômes annulateurs réels d’un nombre complexe

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Soit $z$ un nombre complexe. Vous cherchez à déterminer un polynôme réel non constant $P$ tel que $P(z)=0.$

Le cas où $z$ est un nombre réel

Si $z\in\R\comma$ alors le polynôme $P = X-z$ appartient à $\R[X]\setminus \R$ et $P(z)=0.$

Le cas où $z$ est un nombre complexe non réel

Si $z\notin\R$ vous écrivez $z$ sous forme algébrique. Il existe un unique couple de réels $(x,y)$ tel que :

z=x+iy.

Comme $z$ n’est pas réel, le réel $y$ est non nul.

Il est illusoire de chercher un polynôme réel $P$ de degré $1$ tel que $P(z)=0.$

En effet, si un tel polynôme existe, alors il existe un couple $(a,b)\in\R^2$ avec $a\neq 0$ tel que :

\begin{align*} P(X)&=aX+b\\ P(z)&=0. \end{align*}

Il vient $az+b=0$ et comme $a$ est non nul, vous avez $z=\frac{-b}{a}$ et par suite, $z\in\R\comma$ ce qui est exclu.

Vous cherchez donc un polynôme de degré $2$ et vous calculez le carré de $z$ comme suit :

\begin{align*} z^2 &= (x+iy)^2\\ &=x^2-y^2+2ixy. \end{align*}

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. Vous avez :

\begin{align*} z^2+az+b &= x^2-y^2+2ixy+ax+iay+b\\ &=(x^2-y^2+ax+b)+iy(a+2x). \end{align*}

D’après ce calcul, pour annuler la partie imaginaire, vous posez :

\boxed{a= -2x.}

Puis, pour annuler la partie réelle, vous posez $b = y^2-x^2-ax$ ce qui fournit :

b=y^2-x^2+2x^2.

Ainsi :

\boxed{b=x^2+y^2.}

Pour ces choix de $a$ et de $b\comma$ vous obtenez :

\left\{\begin{align*} &a+2x = 0\\ &x^2-y^2+ax+b=0. \end{align*} \right.

Du coup :

\begin{align*} &z^2+az+b=0\\ &z^2-2xz+x^2+y^2=0. \end{align*}

En posant :

\boxed{P(X) = X^2-2xX+x^2+y^2}

vous avez bien un polynôme réel de degré $2$ tel que $P(z)=0.$

Concluez

Pour tout nombre complexe $z$ s’écrivant sous forme algébrique $z=x+iy$ avec $(x,y)\in\R^2\comma$ deux cas se présentent :

  • soit $z\in\R\comma$ et le polynôme réel $X-z\comma$ de degré $1\comma$ admet $z$ pour racine ;
  • soit $z\in\C\setminus\R\comma$ et le polynôme réel $X^2-2xX+x^2+y^2\comma$ de degré $2\comma$ admet $z$ pour racine.

Retrouvez le dernier résultat à partir de l’inverse d’un nombre complexe

Soit $z$ un nombre complexe non réel. Notez que $z$ est non nul. En écrivant $z = x+iy$ avec $(x,y)\in\R^2\comma$ vous souhaitez retrouver que le polynôme $X^2-2xX+x^2+y^2$ possède $z$ pour racine.

Vous avez :

\begin{align*} \frac{1}{z} &=\frac{\overline{z}}{z \overline{z}}\\ &= \frac{\overline{z}}{\vert z\vert ^2}. \end{align*}

Or, la partie réelle de $z$ est la demi-somme de $z$ et de son conjugué $\overline{z}\comma$ d’où :

2\mathrm{Re}(z) -z = \overline{z}.

Ainsi :

\frac{1}{z} = \frac{2\mathrm{Re}(z) -z}{\vert z\vert ^2}.

Après multiplication de cette égalité par $\vert z \vert^2\comma$ il vient :

\frac{\vert z \vert^2}{z} = 2\mathrm{Re}(z)-z.

Après multiplication par $z\comma$ vous obtenez :

\begin{align*} \vert z \vert^2 &= 2\mathrm{Re}(z)z-z^2\\ z^2-2\mathrm{Re}(z)z+\vert z\vert^2&=0. \end{align*}

Vous avez $\mathrm{Re}(z)=x$ et $\vert z\vert^2=x^2+y^2$ et vous retrouvez le résultat précédemment établi, à savoir :

z^2-2xz+x^2+y^2=0.

Prolongement

Soit $z$ un nombre complexe non réel. Pourriez-vous justifier que le polynôme de degré $2$ défini par :

P(X)=X^2-2\mathrm{Re}(z)X+\vert z\vert^2

est irréductible dans l’anneau $\R[X]$ des polynômes réels ?