Le but de cet article est de présenter un calcul de $\cos(36^{\circ})$ et de $\cos(72^{\circ})$ à partir d’outils géométriques. Le nombre d’or fera une apparition qui sera soulignée.
Tout d’abord, construisez un triangle $BCD$ isocèle en $D$, de sorte que :
\left\{\begin{align*}
&BC = 1\\
&\widehat{BCD}=72^{\circ}\\
&\widehat{CBD}=72^{\circ}.
\end{align*}
\right.Ces deux angles égaux à $72^{\circ}$ seront marqués en vert sur la figure.
Remarquez alors que $\boxed{CD=BD.}$
Comme la somme des angles d’un triangle est égale à $180^{\circ}$, il vient :
\begin{align*}
\widehat{CDB} &= 180-72-72\\
&=180-144\\
&=36^{\circ}.
\end{align*}Cet angle sera marqué en violet.
Sur la demi-droite $[DC)$ vous placez le point $A$ tel que $AC = 1.$
Puisque $AC=BC$ le triangle $ACB$ est isocèle en $C.$ Vous avez obtenu la figure suivante, dans laquelle vous allez justifier de la présence de trois angles égaux à $36^{\circ}$, marqués en violet.
Comme l’angle $\widehat{DCA}$ est plat, il mesure $180^{\circ}.$ Du coup:
\begin{align*}
\widehat{ACB} &= 180-72\\
&=108^{\circ}.
\end{align*}La somme des mesures des angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{ABC}$ est égale à $72^{\circ}$ pour que la somme des trois angles du triangle $ACB$ soit égale à $180^{\circ}.$
Or, les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{ABC}$ ont la même mesure. Donc:
\widehat{CAB}= \widehat{ABC} = 36^{\circ}.Remarquez alors que le triangle $ABD$ possède aussi deux angles mesurant $36^{\circ}.$ Il est donc isocèle en $B$, du coup $\boxed{AB=BD.}$
Une mesure de l’angle $\widehat{ABD}$ est obtenue comme suit:
180 - 36-36 = 180-72 = 108.
D’où : $\widehat{ABD} = 108^{\circ}.$
Remarquez que deux triangles sont semblables
Vous construisez le tableau suivant à partir des triangles $ACB$ et $ABD$ et vous déduisez les sommets homologues:
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{valeurs des angles} & 36^{\circ} & 108^{\circ} & 36^{\circ}\\
\hline
\text{sommets du triangle }ACB & A & C & B\\
\hline
\text{sommets du triangle }ABD & A & B & D\\
\hline
\end{array}Notez que $A$ et $B$ ne sont pas confondus, sinon $B$ appartient à la demi-droite $[DC)$ et le triangle $BCD$ est plat, ce qui est absurde. Donc $AB$ est un réel strictement positif.
Les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés dans cet ordre, d’où $AD = AC+CD = 1+CD.$ Ainsi, $AD$ est strictement positif.
Du coup, par proportionnalité, il vient:
\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AD}.En tenant compte du fait que $AC=1$ il vient:
\frac{1}{AB} = \frac{AB}{AD}.Puis:
\frac{1}{AB} = \frac{AB}{1+CD}.Or, $CD = BD = AB$, d’où:
\frac{1}{AB} = \frac{AB}{1+AB}.Le réel $AB$ est une solution strictement positive de l’équation $\frac{1}{x} = \frac{x}{1+x}.$
Note. On pourrait résoudre cette équation avec le discriminant, mais le lien avec le nombre d’or mérite d’être souligné.
Le nombre d’or est l’unique solution strictement positive de l’équation $\frac{1}{x} = \frac{x}{1+x}$
Ce résultat sera démontré en deux temps.
Le nombre d’or est défini par:
\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.Il est strictement positif.
Le nombre d’or est bien une solution de cette équation
En calculant $\varphi^2$ il vient:
\begin{align*}
\varphi^2&=\frac{(1+\sqrt{5})^2}{4}\\
&= \frac{1+5+2\sqrt{5}}{4}\\
&=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}\\
&=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\
&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{2}\\
&=\varphi+1.
\end{align*}Ainsi:
\begin{align*}
\frac{\varphi}{1+\varphi}&=\frac{\varphi}{\varphi^2}\\
&=\frac{1}{\varphi}.
\end{align*}Donc le nombre d’or $\varphi$ est bien une solution strictement positive de l’équation $\frac{1}{x} = \frac{x}{1+x}.$
Il convient maintenant d’établir l’unicité d’une telle solution.
Il n’y a pas d’autre solution que le nombre d’or à cette équation
Soit $a$ un réel strictement positif tel que $\frac{1}{a} = \frac{a}{1+a}.$
Par produit en croix, il vient:
\begin{align*}
a^2=1+a\\
a^2-a-1 = 0.
\end{align*}Note. Cette équation peut être résolue avec le discriminant, mais un autre choix est effectué ici.
Donc $a$ est racine du trinôme $X^2-X-1.$
Or, il a été vu que $\varphi^2 = 1+\varphi$ donc $\varphi$ est une racine strictement positive du trinôme $X^2-X-1.$ Quand un trinôme a une racine connue, l’autre s’obtient rapidement, en utilisant la propriété suivante: le produit des racines d’un polynôme du second degré est égal au quotient du coefficient constant par le coefficient dominant. Comme $\varphi\times \frac{-1}{\varphi} = \frac{-1}{1}$ vous déduisez que l’autre racine est $-\frac{1}{\varphi}.$
Pour s’en convaincre, vous développez:
\begin{align*}
(X-\varphi)\left(X+\frac{1}{\varphi}\right) &= X^2+\left(\frac{1}{\varphi}-\varphi\right)X-1\\
&=X^2+\frac{1-\varphi^2}{\varphi}X-1\\
&=X^2+\frac{1-(1+\varphi)}{\varphi}X-1\\
&=X^2+\frac{-\varphi}{\varphi}X-1\\
&=X^2-X-1.
\end{align*}Vous retrouvez les deux racines $\varphi$ et $\frac{-1}{\varphi}.$
En évaluant en $a$, il vient:
\begin{align*}
0 &= a^2-a-1\\
&=(a-\varphi)\left(a+\frac{1}{\varphi}\right).
\end{align*}Comme $a$ et $\varphi$ sont strictement positifs, la somme $a+\frac{1}{\varphi}$ l’est aussi. Donc $a+\frac{1}{\varphi}\neq 0.$
Par suite, il vient $0=a-\varphi$ et donc $a=\varphi$ ce qui établit l’unicité annoncée.
Concluez sur la valeur exacte de la distance $AB$
Il a été vu que $AB$ est solution de l’équation $\frac{1}{x} = \frac{x}{1+x}$ avec $AB >0.$ D’après l’analyse précédente:
\boxed{AB = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.}Calculez la valeur exacte de $\cos(72^{\circ})$
Dans le triangle $BCD$, vous appelez $I$ le milieu du segment $[BC].$ Comme $BCD$ est isocèle en $D$, le triangle $CID$ est rectangle en $I.$
Du coup :
\begin{align*}
\cos(72^{\circ}) &= \frac{CI}{CD}\\
&=\frac{1/2}{\varphi}\\
&=\frac{1}{2\varphi}\\
&=\frac{1}{2}\times\frac{1}{\varphi}.
\end{align*}Comme $\varphi^2=1+\varphi$, en divisant par $\varphi$, il vient $\varphi = \frac{1}{\varphi}+1$ soit :
\begin{align*}
\frac{1}{\varphi} &= \varphi-1\\
&= \frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{2}{2}\\
&=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.
\end{align*}Par suite :
\boxed{\cos(72^{\circ}) = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}.}Calculez la valeur exacte de $\cos(36^{\circ})$
Dans le triangle $ACB$, vous appelez $J$ le milieu du segment $[AB].$ Comme $ACB$ est isocèle en $C$, le triangle $AJC$ est rectangle en $J.$
Du coup :
\begin{align*}
\cos(36^{\circ}) &= \frac{AJ}{AC}\\
&=\frac{\varphi/2}{1}\\
&=\frac{\varphi}{2}.
\end{align*}Compte tenu de la valeur du nombre d’or $\varphi$ vous déduisez :
\boxed{\cos(36^{\circ}) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}.}Prolongement
Vous souhaitez calculer les valeurs des deux cosinus susmentionnés en utilisant des résolutions algébriques ? Allez jeter un coup d’œil dans le contenu rédigé dans l'article 106.
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