331. Calcul géométrique du cosinus de 36° et du cosinus de 72°

Le but de ce contenu est de présenter un calcul de $\cos(36^{\circ})$ et de $\cos(72^{\circ})$ à partir d’outils géométriques. Le nombre d’or fera une apparition qui sera soulignée.

Tout d’abord, construisez un triangle $BCD$ isocèle en $D\comma$ de sorte que :

\left\{\begin{align*} &BC = 1\\ &\widehat{BCD}=72^{\circ}\\ &\widehat{CBD}=72^{\circ}. \end{align*} \right.

Ces deux angles égaux à $72^{\circ}$ seront marqués en vert sur la figure.

Le triangle étant isocèle en $D\comma$ remarquez que $\boxed{CD=BD.}$

Comme la somme des angles d’un triangle est égale à $180^{\circ}\comma$ il vient :

\begin{align*} \widehat{CDB} &= 180^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ}\\ &=180^{\circ}-144^{\circ}\\ &=36^{\circ}. \end{align*}

Cet angle sera marqué en violet.

Sur la demi-droite $[DC)\comma$ au-delà du point $C\comma$ vous placez le point $A$ tel que $AC = 1.$ Ainsi, le point $C$ appartient au segment $[AD].$

Puisque $AC=BC$ le triangle $ACB$ est isocèle en $C.$ Vous avez obtenu la figure suivante, dans laquelle vous allez justifier la présence de trois angles égaux à $36^{\circ}\comma$ marqués en violet.

Comme les points $D\comma$ $C$ et $A$ sont alignés dans cet ordre, l’angle $\widehat{DCA}$ est plat, il mesure $180^{\circ}.$ Du coup :

\begin{align*} \widehat{ACB} &= 180^{\circ}-\widehat{BCD}\\ &= 180^{\circ}-72^{\circ}\\ &=108^{\circ}. \end{align*}

La somme des mesures des angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{ABC}$ est égale à $72^{\circ}$ pour que la somme des trois angles du triangle $ACB$ soit égale à $180^{\circ}.$

Or, le triangle $ACB$ étant isocèle en $C\comma$ les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{ABC}$ ont la même mesure. Donc :

\widehat{CAB}= \widehat{ABC} = 36^{\circ}.

Remarquez alors que le triangle $ABD$ possède aussi deux angles mesurant $36^{\circ}\comma$ à savoir $\widehat{BAD} = \widehat{BAC}$ et $\widehat{ADB} = \widehat{CDB}.$ Il est donc isocèle en $B\comma$ du coup $\boxed{AB=BD.}$

Une mesure de l’angle $\widehat{ABD}$ est obtenue comme suit :

180^{\circ} – 36^{\circ}-36^{\circ} = 180^{\circ}-72^{\circ} = 108^{\circ}.

D’où : $\widehat{ABD} = 108^{\circ}.$

Remarquez que deux triangles sont semblables

Vous construisez le tableau suivant à partir des triangles $ACB$ et $ABD\comma$ qui ont les mêmes angles, et vous déduisez les sommets homologues :

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{mesures des angles} & 36^{\circ} & 108^{\circ} & 36^{\circ}\\ \hline \text{sommets du triangle }ACB & A & C & B\\ \hline \text{sommets du triangle }ABD & A & B & D\\ \hline \end{array}

Notez que $A$ et $B$ ne sont pas confondus, sinon $B$ appartiendrait à la demi-droite $[DC)$ et le triangle $BCD$ serait plat, ce qui est absurde. Donc $AB$ est un réel strictement positif.

Les points $A\comma$ $C$ et $D$ sont alignés dans cet ordre, d’où $AD = AC+CD = 1+CD.$ Ainsi, $AD$ est strictement positif.

Du coup, par proportionnalité des côtés homologues, il vient :

\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AD}.

En tenant compte du fait que $AC=1$ il vient :

\frac{1}{AB} = \frac{AB}{AD}.

Puis :

\frac{1}{AB} = \frac{AB}{1+CD}.

Or, $CD = BD = AB\comma$ d’où :

\frac{1}{AB} = \frac{AB}{1+AB}.

Le réel $AB$ est une solution strictement positive de l’équation $\frac{1}{x} = \frac{x}{1+x}.$

Note. Vous pourriez résoudre cette équation avec le discriminant, mais le lien avec le nombre d’or mérite d’être souligné.

Le nombre d’or est l’unique solution strictement positive de l’équation $\frac{1}{x} = \frac{x}{1+x}$

Ce résultat sera démontré en deux temps.

Le nombre d’or est défini par :

\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Il est strictement positif.

Le nombre d’or est bien une solution de cette équation

En calculant $\varphi^2$ il vient :

\begin{align*} \varphi^2&=\frac{(1+\sqrt{5})^2}{4}\\ &= \frac{1+5+2\sqrt{5}}{4}\\ &=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}\\ &=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ &=\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{2}\\ &=\varphi+1. \end{align*}

Ainsi :

\begin{align*} \frac{\varphi}{1+\varphi}&=\frac{\varphi}{\varphi^2}\\ &=\frac{1}{\varphi}. \end{align*}

Donc le nombre d’or $\varphi$ est bien une solution strictement positive de l’équation $\frac{1}{x} = \frac{x}{1+x}.$

Il convient maintenant d’établir l’unicité d’une telle solution.

Il n’y a pas d’autre solution que le nombre d’or à cette équation

Soit $a$ un réel strictement positif tel que $\frac{1}{a} = \frac{a}{1+a}.$

Par produit en croix, il vient :

\begin{align*} a^2&=1+a\\ a^2-a-1 &= 0. \end{align*}

Note. Cette équation peut être résolue avec le discriminant, mais un autre choix est effectué ici.

Donc $a$ est racine du trinôme $X^2-X-1.$

Or, il a été vu que $\varphi^2 = 1+\varphi$ donc $\varphi$ est une racine strictement positive du trinôme $X^2-X-1.$ Quand un trinôme a une racine connue, l’autre s’obtient rapidement, en utilisant la propriété suivante : le produit des racines d’un polynôme du second degré est égal au quotient du coefficient constant par le coefficient dominant. Comme $\varphi\times \frac{-1}{\varphi} = \frac{-1}{1}$ vous déduisez que l’autre racine est $-\frac{1}{\varphi}.$

Pour vous en convaincre, vous développez :

\begin{align*} (X-\varphi)\left(X+\frac{1}{\varphi}\right) &= X^2+\left(\frac{1}{\varphi}-\varphi\right)X-1\\ &=X^2+\frac{1-\varphi^2}{\varphi}X-1\\ &=X^2+\frac{1-(1+\varphi)}{\varphi}X-1\\ &=X^2+\frac{-\varphi}{\varphi}X-1\\ &=X^2-X-1. \end{align*}

Vous retrouvez les deux racines $\varphi$ et $\frac{-1}{\varphi}.$

En évaluant en $a\comma$ il vient :

\begin{align*} 0 &= a^2-a-1\\ &=(a-\varphi)\left(a+\frac{1}{\varphi}\right). \end{align*}

Comme $a$ et $\varphi$ sont strictement positifs, la somme $a+\frac{1}{\varphi}$ l’est aussi. Donc $a+\frac{1}{\varphi}\neq 0.$

Par suite, il vient $0=a-\varphi$ et donc $a=\varphi$ ce qui établit l’unicité annoncée.

Concluez sur la valeur exacte de la distance $AB$

Il a été vu que $AB$ est solution de l’équation $\frac{1}{x} = \frac{x}{1+x}$ avec $AB \gt0.$ D’après l’analyse précédente :

\boxed{AB = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.}

Calculez la valeur exacte de $\cos(72^{\circ})$

Dans le triangle $BCD\comma$ vous appelez $I$ le milieu du segment $[BC].$ Comme $BCD$ est isocèle en $D\comma$ le triangle $CID$ est rectangle en $I.$

Comme $CI = \frac{1}{2}$ et $CD = BD = AB = \varphi\comma$ vous obtenez :

\begin{align*} \cos(72^{\circ}) &= \frac{CI}{CD}\\ &=\frac{1/2}{\varphi}\\ &=\frac{1}{2\varphi}\\ &=\frac{1}{2}\times\frac{1}{\varphi}. \end{align*}

Comme $\varphi^2=1+\varphi\comma$ en divisant par $\varphi\comma$ il vient $\varphi = \frac{1}{\varphi}+1$ soit :

\begin{align*} \frac{1}{\varphi} &= \varphi-1\\ &= \frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{2}{2}\\ &=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}. \end{align*}

Par suite :

\boxed{\cos(72^{\circ}) = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}.}

Calculez la valeur exacte de $\cos(36^{\circ})$

Dans le triangle $ACB\comma$ vous appelez $J$ le milieu du segment $[AB].$ Comme $ACB$ est isocèle en $C\comma$ le triangle $AJC$ est rectangle en $J.$

Comme $AJ = \frac{AB}{2} = \frac{\varphi}{2}$ et $AC=1\comma$ vous obtenez :

\begin{align*} \cos(36^{\circ}) &= \frac{AJ}{AC}\\ &=\frac{\varphi/2}{1}\\ &=\frac{\varphi}{2}. \end{align*}

Compte tenu de la valeur du nombre d’or $\varphi$ vous déduisez :

\boxed{\cos(36^{\circ}) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}.}

Prolongement

Vous souhaitez calculer les valeurs des deux cosinus susmentionnés en utilisant des résolutions algébriques ? Allez jeter un coup d’œil à un autre article qui traite cette question.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 106.