Soit $n$ un entier naturel non nul.
Pour tout nombre complexe $z$, on dit que $z$ est une racine $n$-ième de l’unité, si et seulement si :
z^n=1.
Le but de cet article est de démontrer que les racines $n$-ièmes de l’unité sont au nombre de $n$ et de préciser leur forme.
Analysez la situation
Déterminez la forme de ces racines
Soit $z$ un nombre complexe tel que $z$ soit une racine $n$-ième de l’unité.
Notez déjà que $z^n = 1$ donc $z\neq 0.$
Vous écrivez $z$ sous forme trigonométrique. Il existe un réel strictement positif $r$ et un réel $\theta$ tels que :
z = r\e^{i\theta}.Alors $z^n=1$ fournit :
\begin{align*}
(r\e^{i\theta})^n =1\\
r^n \e^{in\theta}=1.
\end{align*}En conjuguant la dernière égalité, il vient :
r^n \e^{-in\theta}=1.Du coup, par produit :
r^{2n} = 1.La fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x) = x^{2n}$ est strictement croissante.
Comme $f(r)=1$ et comme $f(1)=1$ vous déduisez $f(r)=f(1)$ et donc $r=1.$
Vous obtenez donc :
\e^{in\theta} = 1 = \e^0.Il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
i n\theta = 0+2ik \pi\\
\theta = \frac{2k\pi}{n}.Pour plus de commodité, vous posez :
\boxed{\varepsilon = \e^{\frac{2i\pi}{n}}.}D’après ce qui précède :
\begin{align*}
z &= \e^{i\theta}\\
&=\e^{\frac{2ik\pi}{n}}\\
&=\left(\e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^k\\
&=\varepsilon^k.
\end{align*}Il est établi que pour toute racine $n$-ième de l’unité notée $z$, il existe un entier relatif $k$ tel que :
\boxed{z = \varepsilon^k.}Justifiez que $k$ peut être choisi dans l’intervalle $\llbracket 0, n-1\rrbracket$
Soit $z$ une racine $n$-ième de l’unité. D’après le paragraphe précédent, il existe un entier relatif $\ell$ tel que :
z = \varepsilon^{\ell}.Vous effectuez maintenant la division euclidienne de $\ell$ par l’entier naturel non nul $n.$
Il existe un entier relatif $q$ et un entier $k\in\llbracket 0, n-1\rrbracket$ tels que :
\ell = nq+k.
Alors :
\begin{align*}
z &= \varepsilon^{\ell}\\
&=\varepsilon^{nq+k}\\
&=\varepsilon^{nq}\times \varepsilon^k\\
&=(\varepsilon^n)^q \times \varepsilon^k.
\end{align*}Comme $\varepsilon = \e^{\frac{2i\pi}{n}}$ il vient :
\begin{align*}
\varepsilon^n &= \left(\e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^n\\
&=\e^{\frac{2i\pi}{n}\times n}\\
&=\e^{2i\pi}\\
&=1.
\end{align*}
Du coup, $(\varepsilon^n)^q = 1$ et par suite :
z = \varepsilon^k
avec $\boxed{0\leq k \leq n-1.}$
Il est établi que pour toute racine $n$-ième de l’unité notée $z$, il existe un entier $k$ compris entre $0$ et $n-1$ tel que :
\boxed{z = \varepsilon^k.}Synthèse
Soit $k$ un entier compris entre $0$ et $n-1.$
Vous calculez ceci :
\begin{align*}
(\varepsilon^k)^n &= \varepsilon^{nk}\\
&=(\varepsilon^n)^k.
\end{align*}Or il a été établi ci-dessus que $\varepsilon^n = 1.$ Du coup :
\begin{align*}
(\varepsilon^k)^n &=1^k\\
&=1.
\end{align*}Vous déduisez que, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n-1$, $\varepsilon^k$ est une racine $n$-ième de l’unité.
Les termes de la suite $(\varepsilon^k)_{0\leq k\leq n-1}$ sont deux à deux distincts
Soient $p$ et $q$ deux éléments de l’intervalle $\llbracket 0, n-1\rrbracket$ tels que $\varepsilon^p = \varepsilon^q.$
D’une part, vous remarquez que :
\begin{align*}
0&\leq p &&\leq n-1\\
1-n&\leq -q&&\leq 0
\end{align*}Ainsi :
-(n-1)\leq p-q\leq n-1.
Par suite :
\vert p-q \vert \leq n-1.
D’autre part, vous avez :
\begin{align*}
\e^{\frac{2ip\pi}{n}} &= \e^{\frac{2iq\pi}{n}}.
\end{align*}Il existe un entier $m$ tel que :
\begin{align*}
\frac{2ip\pi}{n} &= \frac{2iq\pi}{n}+ 2i\pi m \\
\frac{p}{n} &= \frac{q}{n}+ m\\
p-q &=nm\\
\vert p-q\vert &=n \vert m \vert\\
n \vert m \vert &\leq n-1.
\end{align*}
Si $m$ est non nul, alors $n\leq n-1$ ce qui est absurde, donc $m=0$ et donc $p=q.$
Par contraposée, vous déduisez que, quels que soient les entiers $p$ et $q$ appartenant à l’intervalle $\llbracket 0, n-1\rrbracket$ :
p\neq q \implies \varepsilon^p\neq \varepsilon^q.
Ainsi, les $n$ nombres complexes $\varepsilon^0, \dots, \varepsilon^{n-1}$ sont deux à deux distincts.
Concluez
Soit $n$ un entier naturel non nul fixé. Vous posez $\boxed{\varepsilon = \e^{\frac{2i\pi}{n}}.}$
Pour tout nombre complexe $z$, les propositions suivantes sont équivalentes :
- $z$ est une racine $n$-ième de l’unité ;
- $z^n =1$ ;
- il existe un entier $k$ compris entre $0$ et $n-1$ tel que $z = \varepsilon^k.$
Les solutions de l’équation $z^n=1$ d’inconnue $z\in\C$ sont les $n$ nombres complexes suivants qui sont deux à deux distincts : $\varepsilon^0, \dots, \varepsilon^{n-1}.$
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