332. Les racines n-ièmes de l’unité

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Un nombre complexe $z$ est appelé racine $n$-ième de l’unité, si et seulement si :

z^n=1.

Le but de ce contenu est de démontrer que les racines $n$-ièmes de l’unité sont au nombre de $n$ et de préciser leur forme.

Analysez la situation

Déterminez la forme de ces racines

Soit $z$ un nombre complexe tel que $z$ soit une racine $n$-ième de l’unité.

Notez déjà que $z^n = 1$ donc $z\neq 0.$

Vous écrivez $z$ sous forme exponentielle. Il existe un réel strictement positif $r$ et un réel $\theta$ tels que :

z = r\e^{i\theta}.

Alors l’égalité $z^n=1$ fournit :

\begin{align*} (r\e^{i\theta})^n &=1\\ r^n \e^{in\theta}&=1. \end{align*}

En conjuguant la dernière égalité, comme $r^n$ est réel, il vient :

r^n \e^{-in\theta}=1.

Du coup, par produit :

r^{2n} = 1.

La fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x) = x^{2n}$ est strictement croissante, donc injective.

Comme $f(r)=1$ et comme $f(1)=1$ vous déduisez $f(r)=f(1)$ et donc $r=1.$

Vous obtenez donc :

\e^{in\theta} = 1 = \e^0.

Il existe donc un entier relatif $k$ tel que :

\begin{align*} i n\theta &= 0+2ik \pi\\ \theta &= \frac{2k\pi}{n}. \end{align*}

Pour plus de commodité, vous posez :

\boxed{\varepsilon = \e^{\frac{2i\pi}{n}}.}

D’après ce qui précède, comme $r=1\comma$ vous avez :

\begin{align*} z &= \e^{i\theta}\\ &=\e^{\frac{2ik\pi}{n}}\\ &=\left(\e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^k\\ &=\varepsilon^k. \end{align*}

Il est établi que pour toute racine $n$-ième de l’unité notée $z\comma$ il existe un entier relatif $k$ tel que :

\boxed{z = \varepsilon^k.}

Justifiez que $k$ peut être choisi dans l’ensemble $\llbracket 0, n-1\rrbracket$

Soit $z$ une racine $n$-ième de l’unité. D’après le paragraphe précédent, il existe un entier relatif $\ell$ tel que :

z = \varepsilon^{\ell}.

Vous effectuez maintenant la division euclidienne de $\ell$ par l’entier naturel non nul $n.$

Il existe un entier relatif $q$ et un entier $k\in\llbracket 0, n-1\rrbracket$ tels que :

\ell = nq+k.

Alors :

\begin{align*} z &= \varepsilon^{\ell}\\ &=\varepsilon^{nq+k}\\ &=\varepsilon^{nq}\times \varepsilon^k\\ &=(\varepsilon^n)^q \times \varepsilon^k. \end{align*}

Comme $\varepsilon = \e^{\frac{2i\pi}{n}}$ il vient :

\begin{align*} \varepsilon^n &= \left(\e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^n\\ &=\e^{\frac{2i\pi}{n}\times n}\\ &=\e^{2i\pi}\\ &=1. \end{align*}

Du coup, $(\varepsilon^n)^q = 1$ et par suite :

z = \varepsilon^k

avec $\boxed{0\leq k \leq n-1.}$

Il est établi que pour toute racine $n$-ième de l’unité notée $z\comma$ il existe un entier $k$ compris entre $0$ et $n-1$ tel que :

\boxed{z = \varepsilon^k.}

Synthèse

Soit $k$ un entier compris entre $0$ et $n-1.$

Vous calculez ceci :

\begin{align*} (\varepsilon^k)^n &= \varepsilon^{nk}\\ &=(\varepsilon^n)^k. \end{align*}

Or il a été établi ci-dessus que $\varepsilon^n = 1.$ Du coup :

\begin{align*} (\varepsilon^k)^n &=1^k\\ &=1. \end{align*}

Vous déduisez que, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n-1\comma$ le nombre $\varepsilon^k$ est une racine $n$-ième de l’unité.

Les termes de la suite $(\varepsilon^k)_{0\leq k\leq n-1}$ sont deux à deux distincts

Soient $p$ et $q$ deux éléments de l’ensemble $\llbracket 0, n-1\rrbracket$ tels que $\varepsilon^p = \varepsilon^q.$

D’une part, vous remarquez que :

\begin{align*} 0&\leq p &&\leq n-1\\ 1-n&\leq -q&&\leq 0. \end{align*}

Ainsi, par somme :

-(n-1)\leq p-q\leq n-1.

Par suite :

\vert p-q \vert \leq n-1.

D’autre part, vous avez :

\e^{\frac{2ip\pi}{n}} = \e^{\frac{2iq\pi}{n}}.

Il existe un entier relatif $m$ tel que :

\begin{align*} \frac{2ip\pi}{n} &= \frac{2iq\pi}{n}+ 2i\pi m \\ \frac{p}{n} &= \frac{q}{n}+ m\\ p-q &=nm. \end{align*}

En passant aux valeurs absolues et en utilisant la majoration précédente, vous obtenez :

n \vert m \vert = \vert p-q\vert \leq n-1.

Si $m$ est non nul, alors $\vert m\vert \geq 1$ et $n\leq n \vert m \vert \leq n-1$ ce qui est absurde, donc $m=0$ et donc $p=q.$

Par contraposée, quels que soient les entiers $p$ et $q$ appartenant à l’ensemble $\llbracket 0, n-1\rrbracket\comma$ vous avez l’implication suivante :

p\neq q \implies \varepsilon^p\neq \varepsilon^q.

Ainsi, les $n$ nombres complexes $\varepsilon^0, \dots, \varepsilon^{n-1}$ sont deux à deux distincts.

Concluez

Soit $n$ un entier naturel non nul fixé. Vous posez $\boxed{\varepsilon = \e^{\frac{2i\pi}{n}}.}$

Pour tout nombre complexe $z\comma$ les propositions suivantes sont équivalentes :

le nombre $z$ est une racine $n$-ième de l’unité ;
l’égalité $z^n =1$ est satisfaite ;
il existe un entier $k$ compris entre $0$ et $n-1$ tel que $z = \varepsilon^k.$

Les solutions de l’équation $z^n=1$ d’inconnue $z\in\C$ sont les $n$ nombres complexes suivants, qui sont deux à deux distincts : $\varepsilon^0, \dots, \varepsilon^{n-1}.$