Soit $n$ un entier naturel non nul.
Par définition, un nombre complexe $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si :
\left\{\begin{align*}
&z^n = 1\\
&\forall m\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, z^m\neq 1.
\end{align*}\right.Vous allez dans cet article vérifier qu’il existe au moins une racine primitive $n$-ième de l’unité. Puis, vous allez l’utiliser pour démontrer des caractérisations générales des racines $n$-ièmes primitives de l’unité.
Un exemple important
Considérez le nombre complexe $\varepsilon$ défini par :
\boxed{\varepsilon = \e^{\frac{2i\pi}{n}}.}Note. Ce nombre $\varepsilon$ a été rencontré dans le contenu rédigé dans l'article 332 où il a été établi que toute racine $n$-ième de l’unité s’écrit comme une puissance entière de $\varepsilon.$
Vous calculez directement $\varepsilon^n$ :
\begin{align*}
\varepsilon^n &= \left(\e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^n\\
&=\e^{\frac{2i\pi}{n}\times n}\\
&=\e^{2i\pi}\\
&=1.
\end{align*}AInsi, le nombre $\varepsilon$ est une racine $n$-ième de l’unité.
Supposez maintenant qu’il existe un entier $m\in\llbracket 1, n-1\rrbracket$ tel que $\varepsilon^m=1.$
Vous déduisez :
\begin{align*}
1 &= \varepsilon^m\\
&=\left(\e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^m\\
&=\e^{\frac{2im\pi}{n}}.
\end{align*}De cette égalité, vous déduisez l’existence d’un entier $k\in\Z$ tel que :
\frac{2im\pi}{n}= 2ik\pi.Vous simplifiez par $2i\pi$ et obtenez :
\frac{m}{n} = k.Cela s’écrit $m = nk.$ Comme $m$ et $n$ sont strictement positifs, il en est de même pour $k.$
Donc $k\geq 1$ et par suite $nk\geq n$ et $m\geq n.$ Contradiction avec $m\leq n-1.$
Vous en désuisez : $\forall m\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, \varepsilon^m\neq 1.$
Le nombre $\varepsilon$ est une racine $n$-ième primitive de l’unité.
Une première caractérisation d’une racine primitive
Vous allez démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, le nombre $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si l’ensemble :
A_z=\{m\in\NN, z^m=1\}est non vide et admet $n$ pour plus petit élément.
Premier sens
Soit $z$ une racine primitive $n$-ième de l’unité. Vous posez $A_z=\{m\in\NN, z^m=1\}.$
Alors $z^n=1$ et comme $n\in\NN$, $n\in A_z$ donc $A_z$ est non vide.
Comme $A_z$ est une partie de $\N$, elle admet un plus petit élément noté $\alpha.$
Comme $\alpha \in A_z$, alors $\alpha \geq 1.$
Or, $n\in A_z$ et $\alpha$ est le plus petit élément de $A_z$, donc $\alpha\leq n.$
Supposez que $\alpha \neq n.$ Alors $1\leq \alpha\leq n-1.$ Comme $\alpha\in A_z$ il vient $z^{\alpha} = 1.$
Or $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité donc $\forall i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, z^i\neq 1.$ Alors $z^{\alpha}\neq 1.$ Contradiction.
Du coup, $\alpha = n$ est $n$ est le plus petit élément de $A_z.$
Second sens
Soit $z$ un nombre complexe tel que $A_z=\{m\in\NN, z^m=1\}$ soit non vide et $n = \min A_z.$
Comme $n\in A_z$, il vient $z^n=1.$
Soit maintenant $i$ un entier appartenant à l’intervalle $\llbracket 1, n-1 \rrbracket.$
Supposez $z^i = 1.$ Alors, comme $i\in\NN$ vous déduisez $i\in A_z.$ Comme $n$ est le plus petit élément de $A_z$ vous avez $n\leq i.$ Or $i\leq n-1.$ Du coup, $n\leq n-1$. Contradiction.
Donc $z^i\neq 1.$
Du coup, $\forall i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, z^i\neq 1.$
Le nombre $z$ est par conséquent une racine primitive $n$-ième de l’unité.
Une deuxième caractérisation
Vous allez démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, le nombre $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si l’ensemble :
B_z=\{m\in\Z, z^m=1\}est égal à l’ensemble noté $n\Z$ des multiples de $n.$
Premier sens
Soit $z$ une racine primitive $n$-ième de l’unité. Vous posez $B_z=\{m\in\Z, z^m=1\}.$
Soit $k\in\Z$ un multiple de $n.$ Il existe un entier $\ell\in\Z$ tel que $k = n\ell.$
Alors :
\begin{align*}
z^k &= z^{n\ell}\\
&= (z^n)^{\ell}\\
&= 1^{\ell}\\
&=1.
\end{align*}
Du coup $k\in B_z.$
Vous déduisez l’inclusion $n\Z \subset B_z.$
Réciproquement, soit $m\in B_z$ de sorte que $z^m=1.$
Vous effectuez la division euclidienne de $m$ par $n.$
Il existe un entier $q\in\Z$ et un entier $r\in\llbracket 0, n-1\rrbracket$ tels que $m = nq+r.$
Alors :
\begin{align*}
1 &= z^m\\
&=z^{nq+r}\\
&=z^{nq}\times z^r\\
&=(z^n)^q\times z^r\\
&=1^q \times z^r\\
&=z^r.
\end{align*}Comme $z$ est une racine $n$-ième primitive de l’unité, $\forall i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, z^i\neq 1.$ Comme $z^r=1$ vous déduisez $r\notin\llbracket 1, n-1\rrbracket.$ Cependant, $r\in\llbracket 0, n-1\rrbracket.$ Du coup $r=0$ et donc $m=nq$ donc $m$ est un multiple de $n.$
Vous déduisez l’autre inclusion : $B_z\subset n\Z.$
Du coup, $B_z = n\Z.$
Second sens
Soit $z$ un nombre complexe tel que l’ensemble $B_z=\{m\in\Z, z^m=1\}$ soit égal à $n\Z$, l’ensemble des multiples de $n.$
Tout d’abord, $n = n\times 1$ donc $n$ est un multiple de $n.$ Par suite, $n\in n\Z.$
Or, $B_z = n\Z$ donc $n\in B_z$ et il vient $z^n = 1.$
Soit maintenant un entier $i \in\llbracket 1, n-1\rrbracket.$
Supposez que $z^i = 1.$ Alors comme $i\in \Z$ il vient $i\in B_z.$ Comme $B_z = n\Z$ vous déduisez $i\in n\Z.$ Donc $i$ est un multiple de $n.$
Il existe un entier $k\in\Z$ tel que $i = nk.$
Si $k$ est négatif ou nul, par produit, $nk$ est négatif ou nul et $i$ aussi. Contradiction avec $i\geq 1.$
Donc $k$ est strictement positif. Or, $k$ est entier donc $k\geq 1.$ Par produit avec $n$, il vient $nk\geq n.$ Donc $i\geq n.$ Mais cela contredit l’inégalité $i\leq n-1.$
Vous déduisez que $z^i\neq 1.$
Ainsi, $\forall i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, z^i\neq 1.$
$z$ est ainsi une racine primitive $n$-ième de l’unité.
Une troisième caractérisation
Vous allez démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, le nombre $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si les conditions suivantes sont simultanément satisfaites :
- $z^n = 1$ (autrement dit, $z$ est une racine $n$-ième de l’unité) ;
- Toute racine $n$-ième de l’unité s’écrit comme une puissance entière de $z.$
Note. La seconde condition s’écrit formellement ainsi :
\forall u\in\C, u^n=1 \implies \left(\exists k\in\Z, u = z^k. \right)
Remarque. Cette seconde condition signifie que $z$ est un générateur de l’ensemble des racines $n$-ièmes de l’unité.
Premier sens
Soit $z$ un nombre complexe tel que $z^n=1.$
Vous supposez ce qui suit :
\forall u\in\C, u^n=1 \implies \left(\exists k\in\Z, u = z^k. \right)
D’une part, le nombre $z$, en tant que racine $n$-ième de l’unité, s’écrit comme une puissance entière de $\varepsilon.$
Il existe un entier $\ell \in\Z$ tel que :
z = \varepsilon^{\ell}.D’autre part, en choisissant $u=\varepsilon$, vous déduisez qu’il existe un entier $k\in\Z$ tel que :
\varepsilon = z^k.
Du coup, vous déduisez que :
\begin{align*}
\varepsilon &= z^k\\
&= (\varepsilon^{\ell})^k\\
&=\varepsilon^{k\ell}.
\end{align*}Or, $\varepsilon = \e^{\frac{2i\pi}{n}}$, en tant qu’exponentielle, est un nombre non nul.
En divisant l’égalité précédente par $\varepsilon$ il vient :
1 = \varepsilon^{k\ell-1}.Le nombre $\varepsilon$ est une racine $n$-ième primitive de l’unité. D’après la deuxième caractérisation, il vient :
k\ell -1 \in n\Z.
Autrement dit, $n$ divise $k\ell -1$ :
n\mid k\ell -1.
Il existe un entier $p\in\Z$ tel que :
k\ell-1 = np.
Cela s’écrit aussi sous la forme :
k\ell - np = 1.
D’après le théorème de Bézout, cette relation montre que les entiers $\ell$ et $n$ sont premiers entre eux.
Vous utilisez la deuxième caractérisation sur $z$ avec la série d’équivalences suivantes :
\begin{align*}
\forall m\in\Z, z^m=1 &\Longleftrightarrow (\varepsilon^{\ell})^m =1\\
&\Longleftrightarrow\varepsilon^{\ell m}=1\\
&\Longleftrightarrow \ell m\in n\Z\\
&\Longleftrightarrow n\mid \ell m\\
&\Longleftrightarrow \left\{\begin{align*}
&n\mid \ell m\\
&\mathrm{PGCD}(\ell, n)=1
\end{align*}\right.\\
&\Longleftrightarrow n\mid m \quad\text{(théorème de Gauss)}\\
&\Longleftrightarrow m \in n\Z.
\end{align*}Ainsi, $z$ est une racine $n$-ième primitive de l’unité.
Second sens
Soit $z\in\C$ une racine primitive $n$-ième de l’unité. Par définition, vous avez déjà $z^n=1.$
Comme $z$ est aussi une racine $n$-ième de l’unité, vous déduisez l’existence d’un entier $k\in\Z$ tel que :
z = \varepsilon^k.
Vous notez $d=\mathrm{PGCD}(n,k)$ qui est un entier non nul.
Il existe deux entiers $n’\in\N$ et $k’\in\Z$ tels que :
\left\{\begin{align*}
n &=dn'\\
k&=dk'.
\end{align*}\right.Les nombres entiers $n’$ et $k’$ sont alors premiers entre eux.
Vous utilisez la deuxième caractérisation avec $\varepsilon$ et $z$ qui sont deux racines primitives $n$-ième primitive de l’unité :
\begin{align*}
\forall m\in\Z, m \in n\Z &\Longleftrightarrow z^m=1\\
&\Longleftrightarrow (\varepsilon^{k})^m =1\\
&\Longleftrightarrow\varepsilon^{k m}=1\\
&\Longleftrightarrow k m\in n\Z\\
&\Longleftrightarrow n \mid k m\\
&\Longleftrightarrow dn' \mid dk' m\\
&\Longleftrightarrow n' \mid k' m\\
&\Longleftrightarrow \left\{\begin{align*}
&n'\mid k' m\\
&\mathrm{PGCD}(n', k')=1
\end{align*}\right.\\
&\Longleftrightarrow n' \mid m\\
&\Longleftrightarrow m\in n'\Z.
\end{align*}Comme $n\in n\Z$ il en résulte que $n \in n’\Z$ donc $n’\mid n.$
De même, $n’\in n’\Z$ il en résulte que $n’ \in n\Z$ donc $n \mid n’.$
Par conséquent il vient $n=n’$ donc $dn = dn’$ ce qui fournit $dn = n$ et donc $d=1.$
Comme $n$ et $k$ sont premiers entre eux, par le théorème de Bézout, il existe deux entiers $u\in \Z$ et $v\in \Z$ tels que :
an+bk=1.
Comme $z = \varepsilon^k$ vous déduisez ce qui suit :
\begin{align*}
z^b &= (\varepsilon^{k})^b\\
&=\varepsilon^{bk}\\
&=\varepsilon^{1-an}\\
&=\varepsilon\times \varepsilon^{-an}\\
&=\varepsilon\times (\varepsilon^{n})^{-a}\\
&=\varepsilon\times 1^{-a}\\
&=\varepsilon.
\end{align*}Soit maintenant $u$ un nombre complexe tel que $u^n=1.$
Comme $u$ est une racine $n$-ième de l’unité, il existe $\ell\in \Z$ tel que $u = \varepsilon^{\ell}.$
Du coup $u = (z^b)^{\ell}$ soit $u = z^{b\ell}.$
La propriété qui suit est bien vérifiée :
\forall u\in\C, u^n=1 \implies \left(\exists \alpha \in\Z,
u = z^{\alpha}.
\right)Une quatrième caractérisation
Soit $z$ une racine $n$-ième primitive de l’unité fixée. Vous allez démontrer que, pour tout nombre complexe $u$, $u$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si, il existe un entier $k\in\Z$ premier avec $n$, tel que $u = z^k.$
Premier sens
Soit $u$ une racine primitive $n$-ième de l’unité.
Comme $u^n=1$ et que $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, via la troisième caractérisation, il existe un entier $k\in\Z$ tel que $u = z^k.$
D’autre part, $z^n=1$ et $u$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité. Toujours via la troisième caractérisation, il existe un entier $\ell\in\Z$ tel que $z = u^{\ell}.$
Mis bout à bout, il vient :
\begin{align*}
u &= z^k\\
&= (u^{\ell})^k\\
&=u^{k\ell}.
\end{align*}Or, $u$ est non nul, donc en divisant par $u$, il vient $1 = u^{k\ell -1}.$
Comme $u$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, via la deuxième caractérisation, il vient :
n\mid k\ell -1.
Donc il existe un entier $m\in\Z$ tel que :
k\ell -1 = nm.
Autrement dit :
k\ell-mn = 1.
D’après le théorème de Bézout, il en résulte que $\mathrm{PGCD}(k,n)=1$ et les entiers $k$ et $n$ sont premiers entre eux.
Comme $u = z^k$ avec $k$ premier avec $n$, la démonstration du premier sens est acquise.
Second sens
Soit $u\in\C$ tel qu’il existe un entier $k\in\Z$ vérifiant :
\left\{\begin{align*}
&u = z^k\\
&\mathrm{PGCD}(k,n)=1.
\end{align*}\right.Tout d’abord :
\begin{align*}
u^n &= (z^k)^n\\
&= z^{kn}\\
&= (z^n)^k\\
&= 1^k\\
&=1.
\end{align*}Le nombre $u$ est une racine $n$-ième de l’unité.
D’après le théorème de Bézout, il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que :
ak+bn=1.
Alors :
\begin{align*}
u^a &= (z^k)^a\\
&= z^{ak}\\
&= z^{1-bn}\\
&=z\times z^{-bn}
&=z\times (z^n)^{-b}\\
&=z\times 1^{-b}\\
&=z.
\end{align*}Soit maintenant $y$ une racine $n$-ième de l’unité. Comme $z$ est une racine $n$-ième primitive de l’unité, il existe $\alpha \in\Z$ tel que $y = z^{\alpha}.$
Alors :
\begin{align*}
y &= (u^a)^{\alpha} \\
&=u^{a\alpha}.
\end{align*} Ainsi, toute racine $n$-ième de l’unité s’écrit comme une puissance entière de $u$, qui est lui-même une racine $n$-ième de l’unité. D’après la troisième caractérisation, il s’ensuit que $u$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité.
Prolongement
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $\varphi(n)$ le nombre d’éléments de l’ensemble suivant :
\{m\in \llbracket 0, n-1\rrbracket, \mathrm{PGCD}(m,n)=1\}.La fonction $\varphi$ ainsi définie s’appelle fonction indicatrice d’Euler : à tout entier naturel $n$ non nul, $\varphi$ associe le nombre d’entiers positifs inférieurs ou égaux à $n-1$ qui sont premiers avec $n.$
En utilisant le contenu de cet article, expliquez pourquoi le nombre de racines primitives $n$-ièmes de l’unité est précisément égal à $\varphi(n).$
Partagez !
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !