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333. Racines primitives n-ièmes de l’unité

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Par définition, un nombre complexe $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si :

\left\{\begin{align*} &z^n = 1\\ &\forall m\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, z^m\neq 1. \end{align*}\right.

Dans ce contenu, vous allez vérifier qu’il existe au moins une racine primitive $n$-ième de l’unité. Puis, vous allez l’utiliser pour démontrer des caractérisations générales des racines primitives $n$-ièmes de l’unité.

Un exemple important

Considérez le nombre complexe $\varepsilon$ défini par :

\boxed{\varepsilon = \e^{\frac{2i\pi}{n}}.}

Note. Ce nombre $\varepsilon$ a été rencontré dans un autre article, où il a été établi que toute racine $n$-ième de l’unité s’écrit comme une puissance entière de $\varepsilon.$ Ce résultat sera utilisé dans la suite.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 332.

Vous calculez directement la puissance $\varepsilon^n$ comme suit :

\begin{align*} \varepsilon^n &= \left(\e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^n\\ &=\e^{\frac{2i\pi}{n}\times n}\\ &=\e^{2i\pi}\\ &=1. \end{align*}

Ainsi, le nombre $\varepsilon$ est une racine $n$-ième de l’unité.

Supposez maintenant qu’il existe un entier $m\in\llbracket 1, n-1\rrbracket$ tel que $\varepsilon^m=1.$

Vous déduisez :

\begin{align*} 1 &= \varepsilon^m\\ &=\left(\e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^m\\ &=\e^{\frac{2im\pi}{n}}. \end{align*}

De cette égalité, vous déduisez l’existence d’un entier $k\in\Z$ tel que :

\frac{2im\pi}{n}= 2ik\pi.

Vous simplifiez par $2i\pi$ et obtenez :

\frac{m}{n} = k.

Cela s’écrit $m = nk.$ Comme $m$ et $n$ sont strictement positifs, il en est de même pour $k.$

Donc $k\geq 1$ et par suite $nk\geq n$ et $m\geq n\comma$ ce qui contredit $m\leq n-1.$

Vous en déduisez : $\forall m\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, \varepsilon^m\neq 1.$

Le nombre $\varepsilon$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité.

Une première caractérisation d’une racine primitive

Vous allez démontrer que, pour tout nombre complexe $z\comma$ le nombre $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si l’ensemble :

A_z=\{m\in\NN, z^m=1\}

est non vide et admet $n$ pour plus petit élément.

Premier sens

Soit $z$ une racine primitive $n$-ième de l’unité. Vous posez $A_z=\{m\in\NN, z^m=1\}.$

Alors $z^n=1$ et comme $n\in\NN\comma$ $n\in A_z$ donc $A_z$ est non vide.

Comme $A_z$ est une partie non vide de $\N\comma$ elle admet un plus petit élément noté $\alpha.$

Comme $\alpha \in A_z\comma$ alors $\alpha \geq 1.$

Or, $n\in A_z$ et $\alpha$ est le plus petit élément de $A_z\comma$ donc $\alpha\leq n.$

Supposez que $\alpha \neq n.$ Alors $1\leq \alpha\leq n-1.$ Comme $\alpha\in A_z$ il vient $z^{\alpha} = 1.$

Or $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité donc $\forall i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, z^i\neq 1.$ Alors $z^{\alpha}\neq 1\comma$ ce qui est une contradiction.

Du coup, $\alpha = n$ et $n$ est le plus petit élément de $A_z.$

Second sens

Soit $z$ un nombre complexe tel que $A_z=\{m\in\NN, z^m=1\}$ soit non vide et $n = \min A_z.$

Comme $n\in A_z\comma$ il vient $z^n=1.$

Soit maintenant $i$ un entier appartenant à l’ensemble $\llbracket 1, n-1 \rrbracket.$

Supposez $z^i = 1.$ Alors, comme $i\in\NN$ vous déduisez $i\in A_z.$ Comme $n$ est le plus petit élément de $A_z$ vous avez $n\leq i.$ Or $i\leq n-1.$ Du coup, $n\leq n-1\comma$ ce qui est une contradiction.

Donc $z^i\neq 1.$

Du coup, $\forall i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, z^i\neq 1.$

Le nombre $z$ est par conséquent une racine primitive $n$-ième de l’unité.

Une deuxième caractérisation

Vous allez démontrer que, pour tout nombre complexe $z\comma$ le nombre $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si l’ensemble :

B_z=\{m\in\Z, z^m=1\}

est égal à l’ensemble noté $n\Z$ des multiples de $n.$

Note. Dans les deux cas, $z$ est non nul puisque $z^n=1\comma$ si bien que les puissances $z^m$ ont un sens pour tout entier relatif $m.$

Premier sens

Soit $z$ une racine primitive $n$-ième de l’unité. Vous posez $B_z=\{m\in\Z, z^m=1\}.$

Soit $k\in\Z$ un multiple de $n.$ Il existe un entier $\ell\in\Z$ tel que $k = n\ell.$

Alors :

\begin{align*} z^k &= z^{n\ell}\\ &= (z^n)^{\ell}\\ &= 1^{\ell}\\ &=1. \end{align*}

Du coup $k\in B_z.$

Vous déduisez l’inclusion $n\Z \subset B_z.$

Réciproquement, soit $m\in B_z$ de sorte que $z^m=1.$

Vous effectuez la division euclidienne de $m$ par $n.$

Il existe un entier $q\in\Z$ et un entier $r\in\llbracket 0, n-1\rrbracket$ tels que $m = nq+r.$

Alors :

\begin{align*} 1 &= z^m\\ &=z^{nq+r}\\ &=z^{nq}\times z^r\\ &=(z^n)^q\times z^r\\ &=1^q \times z^r\\ &=z^r. \end{align*}

Comme $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, $\forall i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, z^i\neq 1.$ Comme $z^r=1$ vous déduisez $r\notin\llbracket 1, n-1\rrbracket.$ Cependant, $r\in\llbracket 0, n-1\rrbracket.$ Du coup $r=0$ et donc $m=nq$ donc $m$ est un multiple de $n.$

Vous déduisez l’autre inclusion : $B_z\subset n\Z.$

Du coup, $B_z = n\Z.$

Second sens

Soit $z$ un nombre complexe non nul tel que l’ensemble $B_z=\{m\in\Z, z^m=1\}$ soit égal à $n\Z\comma$ l’ensemble des multiples de $n.$

Tout d’abord, $n = n\times 1$ donc $n$ est un multiple de $n.$ Par suite, $n\in n\Z.$

Or, $B_z = n\Z$ donc $n\in B_z$ et il vient $z^n = 1.$

Soit maintenant un entier $i \in\llbracket 1, n-1\rrbracket.$

Supposez que $z^i = 1.$ Alors comme $i\in \Z$ il vient $i\in B_z.$ Comme $B_z = n\Z$ vous déduisez $i\in n\Z.$ Donc $i$ est un multiple de $n.$

Il existe un entier $k\in\Z$ tel que $i = nk.$

Si $k$ est négatif ou nul, par produit, $nk$ est négatif ou nul et $i$ aussi, ce qui contredit $i\geq 1.$

Donc $k$ est strictement positif. Or, $k$ est entier donc $k\geq 1.$ Par produit avec $n\comma$ il vient $nk\geq n.$ Donc $i\geq n.$ Mais cela contredit l’inégalité $i\leq n-1.$

Vous déduisez que $z^i\neq 1.$

Ainsi, $\forall i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket, z^i\neq 1.$

Le nombre $z$ est ainsi une racine primitive $n$-ième de l’unité.

Une troisième caractérisation

Vous allez démontrer que, pour tout nombre complexe $z\comma$ le nombre $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si les conditions suivantes sont simultanément satisfaites :

  • le nombre $z$ vérifie $z^n = 1\comma$ autrement dit $z$ est une racine $n$-ième de l’unité ;
  • toute racine $n$-ième de l’unité s’écrit comme une puissance entière de $z.$

Note. La seconde condition s’écrit formellement ainsi :

\forall u\in\C, u^n=1 \implies \left(\exists k\in\Z, u = z^k \right).

Remarque. Cette seconde condition signifie que $z$ est un générateur de l’ensemble des racines $n$-ièmes de l’unité.

Premier sens

Soit $z$ un nombre complexe tel que $z^n=1.$

Vous supposez ce qui suit :

\forall u\in\C, u^n=1 \implies \left(\exists k\in\Z, u = z^k \right).

D’une part, le nombre $z\comma$ en tant que racine $n$-ième de l’unité, s’écrit comme une puissance entière de $\varepsilon.$

Il existe un entier $\ell \in\Z$ tel que :

z = \varepsilon^{\ell}.

D’autre part, en choisissant $u=\varepsilon\comma$ vous déduisez qu’il existe un entier $k\in\Z$ tel que :

\varepsilon = z^k.

Du coup, vous déduisez que :

\begin{align*} \varepsilon &= z^k\\ &= (\varepsilon^{\ell})^k\\ &=\varepsilon^{k\ell}. \end{align*}

Or, $\varepsilon = \e^{\frac{2i\pi}{n}}\comma$ en tant qu’exponentielle, est un nombre non nul.

En divisant l’égalité précédente par $\varepsilon$ il vient :

1 = \varepsilon^{k\ell-1}.

Le nombre $\varepsilon$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité. D’après la deuxième caractérisation, il vient :

k\ell -1 \in n\Z.

Autrement dit, l’entier $n$ divise $k\ell -1\comma$ ce qui s’écrit :

n\mid k\ell -1.

Il existe un entier $p\in\Z$ tel que :

k\ell-1 = np.

Cela s’écrit aussi sous la forme :

k\ell – np = 1.

D’après le théorème de Bézout, cette relation montre que les entiers $\ell$ et $n$ sont premiers entre eux.

Vous déterminez maintenant l’ensemble $B_z$ grâce aux équivalences suivantes, valables pour tout entier relatif $m$ quelconque :

\begin{align*} z^m=1 &\Longleftrightarrow (\varepsilon^{\ell})^m =1\\ &\Longleftrightarrow\varepsilon^{\ell m}=1\\ &\Longleftrightarrow \ell m\in n\Z\\ &\Longleftrightarrow n\mid \ell m\\ &\Longleftrightarrow n\mid m \quad\text{(théorème de Gauss, car }\pgcd(\ell, n)=1\text{)}\\ &\Longleftrightarrow m \in n\Z. \end{align*}

Ainsi $B_z = n\Z$ et, d’après la deuxième caractérisation, $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité.

Second sens

Soit $z\in\C$ une racine primitive $n$-ième de l’unité. Par définition, vous avez déjà $z^n=1.$

Comme $z$ est une racine $n$-ième de l’unité, vous déduisez l’existence d’un entier $k\in\Z$ tel que :

z = \varepsilon^k.

Vous notez $d=\pgcd(n,k)$ qui est un entier naturel non nul puisque $n$ est non nul.

Il existe deux entiers $n’\in\NN$ et $k’\in\Z$ tels que :

\left\{\begin{align*} n &=dn'\\ k&=dk'. \end{align*}\right.

Les nombres entiers $n’$ et $k’$ sont alors premiers entre eux.

Vous utilisez la deuxième caractérisation avec $\varepsilon$ et $z$ qui sont deux racines primitives $n$-ièmes de l’unité. Pour tout $m\in\Z\comma$ vous avez :

\begin{align*} m \in n\Z &\Longleftrightarrow z^m=1\\ &\Longleftrightarrow (\varepsilon^{k})^m =1\\ &\Longleftrightarrow\varepsilon^{k m}=1\\ &\Longleftrightarrow k m\in n\Z\\ &\Longleftrightarrow n \mid k m\\ &\Longleftrightarrow dn' \mid dk' m\\ &\Longleftrightarrow n' \mid k' m\\ &\Longleftrightarrow n' \mid m \quad\text{(théorème de Gauss, car }\pgcd(n', k')=1\text{)}\\ &\Longleftrightarrow m\in n'\Z. \end{align*}

Comme $n\in n\Z$ il en résulte que $n \in n’\Z$ donc $n’\mid n.$
De même, comme $n’\in n’\Z$ il en résulte que $n’ \in n\Z$ donc $n \mid n’.$

Les entiers $n$ et $n’$ étant strictement positifs et se divisant mutuellement, il vient $n=n’.$ Alors $n = dn’ = dn\comma$ et comme $n$ est non nul, $d=1.$

Comme $n$ et $k$ sont premiers entre eux, par le théorème de Bézout, il existe deux entiers $a\in \Z$ et $b\in \Z$ tels que :

an+bk=1.

Comme $z = \varepsilon^k$ vous déduisez ce qui suit :

\begin{align*} z^b &= (\varepsilon^{k})^b\\ &=\varepsilon^{bk}\\ &=\varepsilon^{1-an}\\ &=\varepsilon\times \varepsilon^{-an}\\ &=\varepsilon\times (\varepsilon^{n})^{-a}\\ &=\varepsilon\times 1^{-a}\\ &=\varepsilon. \end{align*}

Soit maintenant $u$ un nombre complexe tel que $u^n=1.$

Comme $u$ est une racine $n$-ième de l’unité, il existe $\ell\in \Z$ tel que $u = \varepsilon^{\ell}.$

Du coup $u = (z^b)^{\ell}$ soit $u = z^{b\ell}.$

La propriété qui suit est bien vérifiée :

\forall u\in\C, u^n=1 \implies \left(\exists \alpha \in\Z, u = z^{\alpha} \right).

Une quatrième caractérisation

Soit $z$ une racine primitive $n$-ième de l’unité fixée. Vous allez démontrer que, pour tout nombre complexe $u\comma$ le nombre $u$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, si et seulement si, il existe un entier $k\in\Z$ premier avec $n\comma$ tel que $u = z^k.$

Premier sens

Soit $u$ une racine primitive $n$-ième de l’unité.

Comme $u^n=1$ et que $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, d’après la troisième caractérisation, il existe un entier $k\in\Z$ tel que $u = z^k.$

D’autre part, $z^n=1$ et $u$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité. Toujours d’après la troisième caractérisation, il existe un entier $\ell\in\Z$ tel que $z = u^{\ell}.$

Mis bout à bout, il vient :

\begin{align*} u &= z^k\\ &= (u^{\ell})^k\\ &=u^{k\ell}. \end{align*}

Or, $u$ est non nul puisque $u^n=1\comma$ donc en divisant par $u\comma$ il vient $1 = u^{k\ell -1}.$

Comme $u$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, d’après la deuxième caractérisation, il vient :

n\mid k\ell -1.

Donc il existe un entier $m\in\Z$ tel que :

k\ell -1 = nm.

Autrement dit :

k\ell-mn = 1.

D’après le théorème de Bézout, il en résulte que $\pgcd(k,n)=1$ et les entiers $k$ et $n$ sont premiers entre eux.

Comme $u = z^k$ avec $k$ premier avec $n\comma$ la démonstration du premier sens est acquise.

Second sens

Soit $u\in\C$ tel qu’il existe un entier $k\in\Z$ vérifiant :

\left\{\begin{align*} &u = z^k\\ &\pgcd(k,n)=1. \end{align*}\right.

Tout d’abord :

\begin{align*} u^n &= (z^k)^n\\ &= z^{kn}\\ &= (z^n)^k\\ &= 1^k\\ &=1. \end{align*}

Le nombre $u$ est une racine $n$-ième de l’unité.

D’après le théorème de Bézout, il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que :

ak+bn=1.

Alors :

\begin{align*} u^a &= (z^k)^a\\ &= z^{ak}\\ &= z^{1-bn}\\ &=z\times z^{-bn}\\ &=z\times (z^n)^{-b}\\ &=z\times 1^{-b}\\ &=z. \end{align*}

Soit maintenant $y$ une racine $n$-ième de l’unité. Comme $z$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, d’après la troisième caractérisation, il existe $\alpha \in\Z$ tel que $y = z^{\alpha}.$

Alors :

\begin{align*} y &= z^{\alpha}\\ &= (u^a)^{\alpha} \\ &=u^{a\alpha}. \end{align*}

Ainsi, toute racine $n$-ième de l’unité s’écrit comme une puissance entière de $u\comma$ qui est lui-même une racine $n$-ième de l’unité. D’après la troisième caractérisation, il s’ensuit que $u$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité.

Prolongement

Pour tout entier naturel $n$ non nul, vous notez $\varphi(n)$ le nombre d’éléments de l’ensemble suivant :

\{m\in \llbracket 0, n-1\rrbracket, \pgcd(m,n)=1\}.

La fonction $\varphi$ ainsi définie s’appelle fonction indicatrice d’Euler : à tout entier naturel $n$ non nul, elle associe le nombre d’entiers naturels inférieurs ou égaux à $n-1$ qui sont premiers avec $n.$

En utilisant le contenu de cette page, expliquez pourquoi le nombre de racines primitives $n$-ièmes de l’unité est précisément égal à $\varphi(n).$