Soit $A$ la matrice réelle définie par :
A= \begin{pmatrix}
3 & 0 & 1\\
1&-1&-2\\
-1&0&1
\end{pmatrix}.
Vous allez déterminer explicitement une matrice complexe $B$ telle que $B^2 = A.$
Une telle matrice $B$ est appelée une racine carrée de la matrice $A$.
Pour y parvenir, vous allez d’abord chercher une expression de $A^n$ lorsque $n$ est un entier naturel non nul.
Déterminez un polynôme annulateur de $A$
Vous notez $I$ la matrice identité d’ordre $3.$
Le calcul du polynôme caractéristique $P$ de la matrice $A$ conduit à ce qui suit, en factorisant $X+1$ dans la deuxième colonne, puis en développant selon cette colonne :
\begin{align*}
P(X)&=\det(XI-A)\\
&=\begin{vmatrix}
X-3 & 0 & -1\\
-1 & X+1 & 2\\
1 & 0 & X-1
\end{vmatrix}\\
&=(X+1)\begin{vmatrix}
X-3 & 0 & -1\\
-1 & 1 & 2\\
1 & 0 & X-1
\end{vmatrix}\\
&=(X+1)\begin{vmatrix}
X-3 & -1\\
1 & X-1
\end{vmatrix}\\
&=(X+1)\begin{vmatrix}
X-2 & X-2\\
1 & X-1
\end{vmatrix}\\
&=(X+1)(X-2)\begin{vmatrix}
1 & 1\\
1 & X-1
\end{vmatrix}\\
&=(X+1)(X-2)\begin{vmatrix}
1 & 1\\
0 & X-2
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Ainsi :
P(X) = (X+1)(X-2)^2.
D’après le théorème de Cayley-Hamilton, il en résulte que :
\boxed{P(A) = (A+I)(A-2I)^2 = 0.}
Déterminez le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $P$
Soit $n$ un entier naturel non nul fixé.
Formez un système d’équations
En effectuant la division euclidienne de $X^n$ par $P$ qui est un polynôme de degré $3\comma$ vous déduisez qu’il existe un polynôme quotient $Q\in\R[X]$ et un polynôme reste $R$ de degré au plus $2\comma$ tels que :
X^n = P(X)Q(X)+R(X).
Compte tenu du degré du polynôme $R\comma$ il existe un triplet $(a,b,c)\in\R^3$ tel que :
R(X)=aX^2+bX+c.
Comme $P(2)=0$ et comme $P(-1)=0\comma$ en évaluant en $2$ et en $-1\comma$ vous obtenez les deux égalités :
\boxed{\begin{align*}
2^n &= 4a+2b+c\\
(-1)^n &= a-b+c.
\end{align*}}
Pour déterminer une équation supplémentaire, vous allez utiliser le fait que $2$ est racine double de $P.$
En dérivant l’égalité $X^n = P(X)Q(X)+R(X)\comma$ il vient :
nX^{n-1} = P'(X)Q(X)+P(X)Q'(X)+R'(X).
Comme $2$ est racine double de $P\comma$ vous avez $P(2) = P'(2)=0.$ En évaluant en $2$ il vient :
n2^{n-1} = 4a+b.
En multipliant par $2\comma$ vous obtenez :
\boxed{n2^n = 8a+2b.}
Résolvez le système obtenu
Vous avez :
\begin{align*}
2^n &= 4a+2b+c\\
(-1)^n &= a-b+c.
\end{align*}
Par soustraction vous éliminez $c$ et obtenez :
2^n – (-1)^n = 3a+3b.
Après multiplication par $2\comma$ il vient :
2\times 2^n – 2(-1)^n = 6a+6b.
En multipliant par $3$ l’équation $n2^n = 8a+2b\comma$ vous faites apparaître encore $6b$ dans l’égalité suivante :
3n2^n = 24a+6b.
Par soustraction vous éliminez $6b$ et obtenez :
(3n-2)2^n+2(-1)^n = 18a.
Du coup :
\boxed{a = \frac{(3n-2)2^n+2(-1)^n}{18}.}
Pour trouver $b\comma$ vous utilisez la relation $2^n – (-1)^n = 3a+3b.$ Il en découle ce qui suit :
\begin{align*}
3b &= 2^n – (-1)^n – 3a\\
&=2^n – (-1)^n + \frac{(-9n+6)2^n-6(-1)^n}{18}\\
&=\frac{18\times 2^n – 18 (-1)^n}{18} + \frac{(-9n+6)2^n-6(-1)^n}{18}\\
&=\frac{(-9n+24)2^n – 24 (-1)^n}{18}.
\end{align*}
Après division par $3\comma$ vous obtenez :
\boxed{b = \frac{(-3n+8)2^n – 8 (-1)^n}{18}.}
Pour trouver $c\comma$ vous utilisez la relation $(-1)^n = a-b+c.$ Du coup :
\begin{align*}
c &= (-1)^n-a+b\\
&=\frac{18(-1)^n}{18}+ \frac{(-3n+2)2^n-2(-1)^n}{18} + \frac{(-3n+8)2^n – 8 (-1)^n}{18}.
\end{align*}
Ainsi :
\boxed{c=\frac{(-6n+10)2^n+8(-1)^n}{18}.}
Concluez
Le polynôme $P$ étant défini par $P(X) = (X+1)(X-2)^2$ vous avez obtenu :
\boxed{\begin{align*}
\forall n\in\NN, \exists Q\in\R[X], X^n &= P(X)Q(X) +\frac{(3n-2)2^n+2(-1)^n}{18}X^2\\
&\qquad+ \frac{(-3n+8)2^n – 8 (-1)^n}{18}X+\frac{(-6n+10)2^n+8(-1)^n}{18}.
\end{align*}}
Déterminez une expression de la matrice $A^n$ quand $n\in\NN$
En évaluant la relation précédente en la matrice $A\comma$ vous obtenez :
\begin{align*}
\forall n\in\NN, \exists Q\in\R[X], A^n &= P(A)Q(A) +\frac{(3n-2)2^n+2(-1)^n}{18}A^2\\
&\qquad+ \frac{(-3n+8)2^n – 8 (-1)^n}{18}A+\frac{(-6n+10)2^n+8(-1)^n}{18}I.
\end{align*}
Or, il a déjà été vu que $P(A)=0.$ Du coup :
\boxed{\forall n\in\NN, A^n = \frac{(3n-2)2^n+2(-1)^n}{18}A^2+ \frac{(-3n+8)2^n – 8 (-1)^n}{18}A+\frac{(-6n+10)2^n+8(-1)^n}{18}I.}
Extrapolez la relation précédente et déterminez une racine carrée de $A$
Vous souhaitez choisir $n=1/2$ dans la relation précédente qui calculait $A^n.$ Afin d’éviter la problématique évaluation de $(-1)^n$ lorsque $n$ n’est pas entier, vous utilisez la relation d’Euler $-1 = \e^{i\pi}$ et vous remplacez $(-1)^{1/2}$ par $\e^{i\pi/2}\comma$ c’est-à-dire par $i.$
Vous utilisez aussi la relation suivante, valable pour tout réel $x$ strictement positif : $x^{1/2}=\sqrt{x}.$
Suivant cette optique, vous posez :
B = \frac{(3\times \frac{1}{2}-2)2^{1/2}+2\e^{i\pi/2}}{18}A^2+ \frac{(-3\times \frac{1}{2}+8)2^{1/2} – 8 \e^{i\pi/2}}{18}A+\frac{(-6\times \frac{1}{2}+10)2^{1/2}+8\e^{i\pi/2}}{18}I.
Ce choix ne constitue pas une démonstration : il s’agit d’une piste, et il faudra vérifier par le calcul que la matrice $B$ obtenue convient.
Vous calculez explicitement la matrice $B$ et vous procédez comme suit :
\begin{align*}
B&=\frac{ \frac{-\sqrt{2}}{2}+2\e^{i\pi/2}}{18}A^2+ \frac{\frac{13}{2}\sqrt{2} – 8 \e^{i\pi/2}}{18}A+\frac{7 \sqrt{2}+8\e^{i\pi/2}}{18}I\\
&=\frac{ -\sqrt{2}+4\e^{i\pi/2}}{36}A^2+ \frac{13\sqrt{2} – 16 \e^{i\pi/2}}{36}A+\frac{14 \sqrt{2}+16\e^{i\pi/2}}{36}I\\
&=\frac{ -\sqrt{2}+4i}{36}A^2+ \frac{13\sqrt{2} – 16i}{36}A+\frac{14 \sqrt{2}+16i}{36}I.
\end{align*}
Or :
A^2 = \begin{pmatrix}
8 & 0 & 4\\
4 & 1 & 1\\
-4 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
Du coup :
\begin{align*}
B
&=\frac{ -\sqrt{2}+4i}{36}\begin{pmatrix}
8 & 0 & 4\\
4 & 1 & 1\\
-4 & 0 & 0
\end{pmatrix}+ \frac{13\sqrt{2} – 16i}{36}\begin{pmatrix}
3 & 0 & 1\\
1&-1&-2\\
-1&0&1
\end{pmatrix}+\frac{14 \sqrt{2}+16i}{36}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{1}{36}\begin{pmatrix}
-8\sqrt{2}+32i & 0 & -4\sqrt{2}+16i\\
-4\sqrt{2}+16i&-\sqrt{2}+4i&-\sqrt{2}+4i\\
4\sqrt{2}-16i&0&0
\end{pmatrix}
+\frac{1}{36}\begin{pmatrix}
39\sqrt{2} – 48i & 0 & 13\sqrt{2} – 16i\\
13\sqrt{2} – 16i&-13\sqrt{2} + 16i&-26\sqrt{2} +32i\\
-13\sqrt{2} + 16i&0&13\sqrt{2} – 16i
\end{pmatrix}\\
&\qquad+\frac{1}{36}\begin{pmatrix}
14 \sqrt{2}+16i & 0 & 0\\
0&14 \sqrt{2}+16i&0\\
0&0&14 \sqrt{2}+16i
\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{36}\begin{pmatrix}
45\sqrt{2} & 0 & 9\sqrt{2}\\
9\sqrt{2}&36i&-27\sqrt{2}+36i\\
-9\sqrt{2}&0&27\sqrt{2}
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Après simplification par $9\comma$ il vient :
\boxed{B = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}
5\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2}\\
\sqrt{2}&4i&-3\sqrt{2}+4i\\
-\sqrt{2}&0&3\sqrt{2}
\end{pmatrix}.}
Vérifiez que la matrice $B$ convient
Vous calculez la matrice $B^2$ en trois temps, colonne par colonne. Pour cela, vous utilisez le fait que le produit de $B$ par le $j$-ième vecteur de la base canonique est la $j$-ième colonne de $B.$
Première colonne de $B^2$
\begin{align*}
B^2\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} &= \frac{1}{4}B \begin{pmatrix}
5\sqrt{2}\\
\sqrt{2}\\
-\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{\sqrt{2}}{4}B \begin{pmatrix}
5\\
1\\
-1
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{1}{4}\times \frac{\sqrt{2}}{4} \left(
\begin{pmatrix}
25\sqrt{2}\\
5\sqrt{2}\\
-5\sqrt{2}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
4i\\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-\sqrt{2}\\
3\sqrt{2}-4i\\
-3\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\right)
\\
&=\frac{\sqrt{2}}{16}
\begin{pmatrix}
24\sqrt{2}\\
8\sqrt{2}\\
-8\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{\sqrt{2} }{4}
\begin{pmatrix}
6\sqrt{2}\\
2\sqrt{2}\\
-2\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\\
&= \frac{1}{4}
\begin{pmatrix}
12\\
4\\
-4
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
3\\
1\\
-1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Deuxième colonne de $B^2$
\begin{align*}
B^2\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix} &= \frac{1}{4}B \begin{pmatrix}
0\\
4i\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=i B \begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{i}{4} \begin{pmatrix}
0\\
4i\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
0
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Troisième colonne de $B^2$
\begin{align*}
B^2\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix} &= \frac{1}{4}B \begin{pmatrix}
\sqrt{2}\\
-3\sqrt{2}+4i\\
3\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\\
&=
\frac{1}{4} B\left( \begin{pmatrix}
\sqrt{2}\\
-3\sqrt{2}\\
3\sqrt{2}
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0\\
4i\\
0
\end{pmatrix}\right)
\\
&=\frac{\sqrt{2}}{4}B\begin{pmatrix}
1\\
-3\\
3
\end{pmatrix}+iB\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{\sqrt{2}}{4}\times \frac{1}{4} \left(
\begin{pmatrix}
5\sqrt{2}\\
\sqrt{2}\\
-\sqrt{2}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
-12i\\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
3\sqrt{2}\\
-9\sqrt{2}+12i\\
9\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\right)
+\frac{i}{4}
\begin{pmatrix}
0\\
4i\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=
\frac{\sqrt{2}}{16} \begin{pmatrix}
8\sqrt{2}\\
-8\sqrt{2}\\
8\sqrt{2}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix}
\sqrt{2}\\
-\sqrt{2}\\
\sqrt{2}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Les trois colonnes obtenues sont exactement celles de la matrice $A.$
Concluez
La matrice $B$ est bien une racine carrée de la matrice $A\comma$ ce qui s’écrit :
\boxed{B^2=A.}
Prolongement
Il est possible de démontrer que toute matrice complexe inversible admet une racine carrée complexe.
Quand la matrice n’est plus inversible, le résultat ne tient plus.
En effet, considérez la matrice complexe $A$ définie par :
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
Justifiez qu’il n’existe aucune matrice complexe $B$ carrée d’ordre $3$ telle que $B^2=A.$
