Soit $A$ la matrice réelle définie par :
A= \begin{pmatrix}
3 & 0 & 1\\
1&-1&-2\\
-1&0&1
\end{pmatrix}.Vous allez déterminer explicitement une matrice complexe $B$ telle que $B^2 = A.$
On dit que la matrice $B$ est une racine carrée de la matrice $A$.
Pour y parvenir, vous allez d’abord chercher une expression de $A^n$ lorsque $n$ est un entier naturel non nul.
Déterminez un polynôme annulateur de $A$
Vous notez $I$ la matrice identité d’ordre $3.$
Le calcul du polynôme caractéristique $P$ de la matrice $A$ conduit à ce qui suit :
\begin{align*}
P(X)&=\det(XI-A)\\
&=\begin{vmatrix}
X-3 & 0 & -1\\
-1 & X+1 & 2\\
1 & 0 & X-1
\end{vmatrix}\\
&=(X+1)\begin{vmatrix}
X-3 & 0 & -1\\
-1 & 1 & 2\\
1 & 0 & X-1
\end{vmatrix}\\
&=(X+1)\begin{vmatrix}
X-3 & -1\\
1 & X-1
\end{vmatrix}\\
&=(X+1)\begin{vmatrix}
X-2 & X-2\\
1 & X-1
\end{vmatrix}\\
&=(X+1)(X-2)\begin{vmatrix}
1 & 1\\
1 & X-1
\end{vmatrix}\\
&=(X+1)(X-2)\begin{vmatrix}
1 & 1\\
0 & X-2
\end{vmatrix}.
\end{align*} Ainsi :
P(X) = (X+1)(X-2)^2.
Via le théorème de Cayley-Hamilton, il en résulte que :
\boxed{P(A) = (A+I)(A-2I)^2 = 0.}Déterminez le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $P$
Soit $n$ un entier naturel non nul fixé.
Formez un système d’équations
En effectuant la division euclidienne de $X^n$ par $P$ qui est un polynôme de degré $3$, vous déduisez qu’il existe un polynôme quotient $Q\in\R[X]$ et un polynôme $R$ de degré $2$ au maximum, tels que :
X^n = P(X)Q(X)+R(X).
Compte tenu de la remarque précédente effectuée sur le polynôme $R$, il existe un triplet $(a,b,c)\in\R^3$ tel que :
R(X)=aX^2+bX+c.
Comme $P(2)=0$ et comme $P(-1)=0$, en évaluant en $2$ et en $-1$, vous obtenez les deux égalités :
\boxed{\begin{align*}
2^n &= 4a+2b+c\\
(-1)^n &= a-b+c.
\end{align*}}Pour déterminer une équation supplémentaire, vous allez utiliser le fait que $2$ est racine double de $P.$
En dérivant, il vient :
nX^{n-1} = P'(X)Q(X)+P(X)Q'(X)+R'(X).Comme $P(2) = P'(2)=0$ en évaluant en $2$ il vient :
n2^{n-1} = 4a+b.En multipliant par $2$, vous obtenez :
\boxed{n2^n = 8a+2b.}Résolvez le système obtenu
Vous avez :
\begin{align*}
2^n &= 4a+2b+c\\
(-1)^n &= a-b+c.
\end{align*}Par soustraction vous éliminez $c$ et obtenez :
\begin{align*}
2^n - (-1)^n &= 3a+3b.
\end{align*}Après multiplication par $2$, il vient :
2\times 2^n - 2(-1)^n = 6a+6b.
En multipliant par $3$ l’équation $n2^n = 8a+2b$ vous obtenez encore $6$ fois $b$ :
3n2^n = 24a+6b.
Par soustraction vous éliminez $6b$ et obtenez :
(3n-2)2^n+2(-1)^n = 18a.
Du coup :
\boxed{a = \frac{(3n-2)2^n+2(-1)^n}{18}.}Pour trouver $b$, vous utilisez la relation $2^n – (-1)^n &= 3a+3b.$ Il en découle ce qui suit :
\begin{align*}
3b &= 2^n - (-1)^n - 3a\\
&=2^n - (-1)^n + \frac{(-9n+6)2^n-6(-1)^n}{18}\\
&=\frac{18\times 2^n - 18 (-1)^n}{18} + \frac{(-9n+6)2^n-6(-1)^n}{18}\\
&=\frac{(-9n+24)2^n - 24 (-1)^n}{18}.
\end{align*}Après division par $3$, vous obtenez :
\boxed{b = \frac{(-3n+8)2^n - 8 (-1)^n}{18}.}Pour trouver $c$, vous utilisez la relation $(-1)^n &= a-b+c.$ Du coup :
\begin{align*}
c &= (-1)^n-a+b\\
&=\frac{18(-1)^n}{18}+ \frac{(-3n+2)2^n-2(-1)^n}{18} + \frac{(-3n+8)2^n - 8 (-1)^n}{18}.
\end{align*}Ainsi :
\boxed{c=\frac{(-6n+10)2^n+8(-1)^n}{18}.}Concluez
Le polynôme $P$ étant défini par $P(X) = (X+1)(X-2)^2$ vous avez obtenu :
\boxed{\begin{align*}
\forall n\in\NN, \exists Q\in\R[X], X^n &= P(X)Q(X) +\frac{(3n-2)2^n+2(-1)^n}{18}X^2\\
&\qquad+ \frac{(-3n+8)2^n - 8 (-1)^n}{18}X+\frac{(-6n+10)2^n+8(-1)^n}{18}.
\end{align*}}Déterminez une expression de la matrice $A^n$ quand $n\in\NN$
En évaluant la relation précédente pour $X = A$, vous obtenez :
\begin{align*}
\forall n\in\NN, \exists Q\in\R[X], A^n &= P(A)Q(A) +\frac{(3n-2)2^n+2(-1)^n}{18}A^2\\
&\qquad+ \frac{(-3n+8)2^n - 8 (-1)^n}{18}A+\frac{(-6n+10)2^n+8(-1)^n}{18}I.
\end{align*}Or, il a déjà été vu que $P(A)=0.$ Du coup :
\boxed{\begin{align*}
\forall n\in\NN, A^n &= \frac{(3n-2)2^n+2(-1)^n}{18}A^2+ \frac{(-3n+8)2^n - 8 (-1)^n}{18}A+\frac{(-6n+10)2^n+8(-1)^n}{18}I.
\end{align*}}Extrapolez la relation précédente et déterminez une racine carrée de $A$
Vous souhaitez choisir $n=1/2$ dans la relation précédente qui calculait $A^n.$ Afin d’éviter la problématique évaluation de $(-1)^n$ lorsque $n$ n’est pas entier, vous utilisez la relation d’Euler $-1 = \e^{i\pi}.$
L’idée est alors d’utiliser la relation suivante, valable pour tous les réels $x$ strictement positifs : $x^{1/2}=\sqrt{x}.$
Suivant cette optique, vous posez :
B = \frac{(3\times \frac{1}{2}-2)2^{1/2}+2(\e^{i\pi})^{1/2}}{18}A^2+ \frac{(-3\times \frac{1}{2}+8)2^{1/2} - 8 (\e^{i\pi})^{1/2}}{18}A+\frac{(-6\times \frac{1}{2}+10)2^{1/2}+8(\e^{i\pi})^{1/2}}{18}I.Vous calculez explicitement la matrice $B$ et vous procédez comme suit :
\begin{align*}
B&=\frac{ \frac{-\sqrt{2}}{2}+2\e^{i\pi/2}}{18}A^2+ \frac{\frac{13}{2}\sqrt{2} - 8 \e^{i\pi/2}}{18}A+\frac{7 \sqrt{2}+8\e^{i\pi/2}}{18}I\\
&=\frac{ -\sqrt{2}+4\e^{i\pi/2}}{36}A^2+ \frac{13\sqrt{2} - 16 \e^{i\pi/2}}{36}A+\frac{14 \sqrt{2}+16\e^{i\pi/2}}{36}I\\
&=\frac{ -\sqrt{2}+4i}{36}A^2+ \frac{13\sqrt{2} - 16i}{36}A+\frac{14 \sqrt{2}+16i}{36}I.
\end{align*}Or :
A^2 = \begin{pmatrix}
8 & 0 & 4\\
4 & 1 & 1\\
-4 & 0 & 0
\end{pmatrix}.Du coup :
\begin{align*}
B
&=\frac{ -\sqrt{2}+4i}{36}\begin{pmatrix}
8 & 0 & 4\\
4 & 1 & 1\\
-4 & 0 & 0
\end{pmatrix}+ \frac{13\sqrt{2} - 16i}{36}\begin{pmatrix}
3 & 0 & 1\\
1&-1&-2\\
-1&0&1
\end{pmatrix}+\frac{14 \sqrt{2}+16i}{36}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{1}{36}\begin{pmatrix}
-8\sqrt{2}+32i & 0 & -4\sqrt{2}+16i\\
-4\sqrt{2}+16i&-\sqrt{2}+4i&-\sqrt{2}+4i\\
4\sqrt{2}-16i&0&0
\end{pmatrix}
+\frac{1}{36}\begin{pmatrix}
39\sqrt{2} - 48i & 0 & 13\sqrt{2} - 16i\\
13\sqrt{2} - 16i&-13\sqrt{2} + 16i&-26\sqrt{2} +32i\\
-13\sqrt{2} + 16i&0&13\sqrt{2} - 16i
\end{pmatrix}\\
&\qquad+\frac{1}{36}\begin{pmatrix}
14 \sqrt{2}+16i & 0 & 0\\
0&14 \sqrt{2}+16i&0\\
0&0&14 \sqrt{2}+16i
\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{36}\begin{pmatrix}
45\sqrt{2} & 0 & 9\sqrt{2}\\
9\sqrt{2}&36i&-27\sqrt{2}+36i\\
-9\sqrt{2}&0&27\sqrt{2}
\end{pmatrix}.
\end{align*}Après simplification par $9$, il vient :
\boxed{B = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}
5\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2}\\
\sqrt{2}&4i&-3\sqrt{2}+4i\\
-\sqrt{2}&0&3\sqrt{2}
\end{pmatrix}.}Vérifiez que la matrice $B$ convient
Vous calculez la matrice $B^2$ en trois temps.
Première colonne de $B^2$
\begin{align*}
B^2\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} &= \frac{1}{4}B \begin{pmatrix}
5\sqrt{2}\\
\sqrt{2}\\
-\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{\sqrt{2}}{4}B \begin{pmatrix}
5\\
1\\
-1
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{1}{4}\times \frac{\sqrt{2}}{4} \left(
\begin{pmatrix}
25\sqrt{2}\\
5\sqrt{2}\\
-5\sqrt{2}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
4i\\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-\sqrt{2}\\
3\sqrt{2}-4i\\
-3\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\right)
\\
&=\frac{\sqrt{2}}{16}
\begin{pmatrix}
24\sqrt{2}\\
8\sqrt{2}\\
-8\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{\sqrt{2} }{4}
\begin{pmatrix}
6\sqrt{2}\\
2\sqrt{2}\\
-2\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\\
&= \frac{1}{4}
\begin{pmatrix}
12\\
4\\
-4
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
3\\
1\\
-1
\end{pmatrix}.
\end{align*}Deuxième colonne de $B^2$
\begin{align*}
B^2\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix} &= \frac{1}{4}B \begin{pmatrix}
0\\
4i\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=i B \begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{i}{4} \begin{pmatrix}
0\\
4i\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
0
\end{pmatrix}.
\end{align*}Troisième colonne de $B^2$
\begin{align*}
B^2\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix} &= \frac{1}{4}B \begin{pmatrix}
\sqrt{2}\\
-3\sqrt{2}+4i\\
3\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\\
&=
\frac{1}{4} B\left( \begin{pmatrix}
\sqrt{2}\\
-3\sqrt{2}\\
3\sqrt{2}
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0\\
4i\\
0
\end{pmatrix}\right)
\\
&=\frac{\sqrt{2}}{4}B\begin{pmatrix}
1\\
-3\\
3
\end{pmatrix}+iB\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{\sqrt{2}}{4}\times \frac{1}{4} \left(
\begin{pmatrix}
5\sqrt{2}\\
\sqrt{2}\\
-\sqrt{2}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
-12i\\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
3\sqrt{2}\\
-9\sqrt{2}+12i\\
9\sqrt{2}
\end{pmatrix}
\right)
+\frac{i}{4}
\begin{pmatrix}
0\\
4i\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=
\frac{\sqrt{2}}{16} \begin{pmatrix}
8\sqrt{2}\\
-8\sqrt{2}\\
8\sqrt{2}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix}
\sqrt{2}\\
-\sqrt{2}\\
\sqrt{2}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
1
\end{pmatrix}.
\end{align*}Concluez
La matrice $B$ est bien une racine carrée de la matrice $A$ :
\boxed{B^2=A.}Prolongement
Il est possible de démontrer que toute matrice complexe inversible admet une racine carrée complexe.
Quand la matrice n’est plus inversible, le résultat ne tient plus.
En effet, considérez la matrice complexe $A$ définie par :
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.Justifiez qu’il n’existe aucune matrice complexe carrée d’ordre $3$ telle que $B^2=A.$
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