Soit $A$ la matrice réelle définie par :
A= \begin{pmatrix}
3 & 0 & 1\\
1&-1&-2\\
-1&0&1
\end{pmatrix}.Le but de cet article est d’expliciter une matrice complexe $B$ dont l’exponentielle est égale à la matrice $A$, soit :
\exp B =A.
Une fois la matrice $B$ trouvée, vous vérifierez par le calcul qu’elle convient.
Calculez la matrice $A^n$ pour tout entier $n\in\NN$
Cette étape a été traitée dans le contenu rédigé dans l'article 334. Il a été montré ce qui suit :
\boxed{\begin{align*}
\forall n\in\NN, A^n &= \frac{(3n-2)2^n+2(-1)^n}{18}A^2+ \frac{(-3n+8)2^n - 8 (-1)^n}{18}A+\frac{(-6n+10)2^n+8(-1)^n}{18}I.
\end{align*}}Inspirez vous du logarithme népérien d’un réel strictement positif
Soit $a$ un réel strictement positif.
La fonction réelle $x\mapsto a^x$ est définie sur $\R$ et pour tout réel $x$, la dérivée est la fonction $x\mapsto (\ln a)a^x.$
Du coup, $\ln a$ est obtenu en dérivant la fonction $x\mapsto a^x$ et en évaluant l’expression obtenue en $0.$
Le problème qui se pose ici concerne l’évaluation de $(-1)^x$ lorsque $x$ est un réel. Pour contourner cette difficulté, vous utilisez la relation d’Euler, à savoir $-1 = \e^{i\pi}.$
Du coup, la fonction réelle $x\mapsto \e^{i\pi x}$ est bien définie et dérivable sur $\R$, de dérivée $x\mapsto i\pi \e^{i\pi x}.$
Formez une expression matricielle
D’après ce qui précède, vous posez, pour tout réel $x$ :
f(x) = \frac{(3x-2)2^x+2 \e^{i\pi x}}{18}A^2+ \frac{(-3x+8)2^x - 8 \e^{i\pi x}}{18}A+\frac{(-6x+10)2^x+8\e^{i\pi x}}{18}I.En dérivant, il vient, pour tout réel $x$ :
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{3\times 2^x + (3x-2)\ln 2 \times 2^x+2i\pi \e^{i\pi x}}{18}A^2
\\&\qquad+ \frac{-3\times 2^x+(-3x+8)\ln 2\times 2^x - 8i\pi \e^{i\pi x}}{18}A\\
&\qquad+\frac{-6\times 2^x+(-6x+10)\ln2 \times 2^x+8i\pi\e^{i\pi x}}{18}I.
\end{align*}En évaluant en $0$ :
\begin{align*}
f'(0) &= \frac{3 - 2\ln 2 +2i\pi }{18}A^2 + \frac{-3+8\ln 2 - 8i\pi }{18}A+\frac{-6+10\ln2 +8i\pi}{18}I.
\end{align*}Déduisez-en une expression de la matrice $B$
D’après ce qui précède, vous posez :
\begin{align*}
B &= \frac{3 - 2\ln 2 +2i\pi }{18}A^2 + \frac{-3+8\ln 2 - 8i\pi }{18}A+\frac{-6+10\ln2 +8i\pi}{18}I \\
&= \frac{3 - 2\ln 2 +2i\pi }{18} \begin{pmatrix}
8 & 0 & 4\\
4 & 1 & 1\\
-4 & 0 & 0
\end{pmatrix}
+\frac{-3+8\ln 2 - 8i\pi }{18} \begin{pmatrix}
3 & 0 & 1\\
1&-1&-2\\
-1&0&1
\end{pmatrix}\\&\qquad+\frac{-6+10\ln2 +8i\pi}{18} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\\
&=\frac{1}{18}\begin{pmatrix}
24 - 16\ln 2 +16i\pi & 0 & 12 - 8\ln 2 +8i\pi\\
12 - 8\ln 2 +8i\pi&3 - 2\ln 2 +2i\pi&3 - 2\ln 2 +2i\pi\\
-12 + 8\ln 2 -8i\pi&0&0
\end{pmatrix}\\&\qquad+\frac{1}{18}\begin{pmatrix}
-9+24\ln 2 - 24i\pi & 0 & -3+8\ln 2 - 8i\pi\\
-3+8\ln 2 - 8i\pi& 3-8\ln 2 + 8i\pi & 6-16\ln 2 + 16i\pi\\
3-8\ln 2 + 8i\pi&0&-3+8\ln 2 - 8i\pi
\end{pmatrix}\\
&\qquad+ \frac{1}{18} \begin{pmatrix}
-6+10\ln2 +8i\pi & 0 & 0\\
0&-6+10\ln2 +8i\pi&0\\
0&0&-6+10\ln2 +8i\pi
\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{18}\begin{pmatrix}
9+18\ln 2 & 0 & 9\\
9&18i\pi&9-18\ln2 +18i\pi\\
-9&0&-9+18\ln2
\end{pmatrix}.
\end{align*}Après simplification par $9$, il vient :
\boxed{B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1+2\ln 2 & 0 & 1\\
1&2i\pi&1-2\ln2 +2i\pi\\
-1&0&-1+2\ln2
\end{pmatrix}.}Vérifiez que l’exponentielle de $B$ est bien égale à $A$
Calculez le polynôme caractéristique de $B$
\begin{align*}
\det(X I - B) &=\begin{vmatrix}
X+\frac{-1-2\ln 2}{2} & 0 & \frac{-1}{2}\\
\frac{-1}{2} & X-i\pi & \frac{-1+2\ln2 -2i\pi}{2}\\
\frac{1}{2} & 0 & X+\frac{1-2\ln2}{2}
\end{vmatrix}\\
&=(X-i\pi)\begin{vmatrix}
X+\frac{-1-2\ln 2}{2} & 0 & \frac{-1}{2}\\
\frac{-1}{2} & 1 & \frac{-1+2\ln2 -2i\pi}{2}\\
\frac{1}{2} & 0 & X+\frac{1-2\ln2}{2}
\end{vmatrix}\\
&=(X-i\pi)\begin{vmatrix}
X+\frac{-1-2\ln 2}{2} & \frac{-1}{2}\\
\frac{1}{2} & X+\frac{1-2\ln2}{2}
\end{vmatrix}\\
&=\frac{1}{4}(X-i\pi)\begin{vmatrix}
2X-1-2\ln 2 &-1\\
1 & 2X+1-2\ln2
\end{vmatrix}
\\
&=\frac{1}{4}(X-i\pi)\begin{vmatrix}
2X-2\ln 2 &2X-2\ln2\\
1 & 2X+1-2\ln2
\end{vmatrix}
\\
&=\frac{1}{4}(X-i\pi)(2X-2\ln 2)\begin{vmatrix}
1 &1\\
1 & 2X+1-2\ln2
\end{vmatrix}
\\
&=\frac{1}{4}(X-i\pi)(2X-2\ln 2)\begin{vmatrix}
1 &1\\
0 & 2X-2\ln2
\end{vmatrix}
\\
&=\frac{1}{4}(X-i\pi)(2X-2\ln 2)^2
\\
&=(X-i\pi)(X-\ln 2)^2.
\end{align*}Le polynôme caractéristique de la matrice $B$ est égal à :
\boxed{P(X)=(X-i\pi)(X-\ln 2)^2.}Déterminez la forme de Jordan de la matrice $B$ avec une matrice de passage associée
D’après le calcul effectué sur le polynôme caractéristique, le nombre $i\pi$ est une valeur propre de $B.$
Trouver un vecteur propre correspondant conduit à trouver un triplet $(x_1,x_2,x_3)\in\C^3$ non nul tel que :
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1+2\ln 2 & 0 & 1\\
1&2i\pi&1-2\ln2 +2i\pi\\
-1&0&-1+2\ln2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
\end{pmatrix} = i\pi\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
\end{pmatrix}.Soit :
\begin{pmatrix}
1+2\ln 2 & 0 & 1\\
1&2i\pi&1-2\ln2 +2i\pi\\
-1&0&-1+2\ln2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
\end{pmatrix} = 2i\pi\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
\end{pmatrix}.Or :
\begin{pmatrix}
1+2\ln 2 & 0 & 1\\
1&2i\pi&1-2\ln2 +2i\pi\\
-1&0&-1+2\ln2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\
2i\pi\\
0\\
\end{pmatrix} = 2i\pi\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}.Par conséquent, le vecteur $\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\\end{pmatrix}$ est un vecteur propre de $B.$
En posant :
P_1 = \begin{pmatrix}
0& 1&0\\
1& 0&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}vous obtenez une matrice inversible et :
P_1^{-1}BP_1 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
2i\pi&1&1-2\ln2 +2i\pi\\
0&1+2\ln 2 & 1\\
0&-1&-1+2\ln2
\end{pmatrix}Vous étudiez maintenant la matrice $S$ définie par le bloc de taille $2\times 2$ de la matrice $P_1^{-1}BP_1$ situé en bas à droite. Vous posez :
S = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1+2\ln 2 & 1\\
-1&-1+2\ln2
\end{pmatrix}. Vous cherchez la forme de Jordan de $S$ avec une matrice inversible associée.
Le polynôme caractéristique de $S$ est égal à $(X-\ln 2)^2$ étant donné que le produit par blocs du déterminant de $P_1^{-1}BP_1$ qui est identique à celui de $B.$
Subséquemment, le nombre $\ln 2$ est une valeur propre de $S.$
Vous cherchez un couple $(x_1,x_2)\in\C^2$ non nul tel que :
\begin{align*}
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1+2\ln 2 & 1\\
-1&-1+2\ln2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\end{pmatrix} = \ln 2 \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\end{pmatrix}.
\end{align*}Soit :
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1+2\ln 2 & 1\\
-1&-1+2\ln2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\end{pmatrix} = 2\ln 2 \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\end{pmatrix}.
\end{align*}Or :
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1+2\ln 2 & 1\\
-1&-1+2\ln2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2\ln 2\\
-2\ln 2\\
\end{pmatrix} = 2\ln 2\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
\end{pmatrix}.
\end{align*}Ainsi, le vecteur $\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ \end{pmatrix}$ est un vecteur propre de $S.$
Vous formez la matrice inversible $Q_2$ définie par :
Q_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
-1&1
\end{pmatrix}.Vous obtenez par conjugaison :
Q_2^{-1}SQ_2= \begin{pmatrix}
\ln 2 & 1/2\\
0&\ln2
\end{pmatrix}.A ce stade, vous n’avez pas encore obtenu la forme de Jordan de $S$, puisque le coefficient $1/2$ doit être remplacé par $1.$
Vous utilisez une dilatation pour y parvenir. Vous posez :
Q_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0&2
\end{pmatrix}.Alors :
\begin{align*}
Q_3^{-1}Q_2^{-1}SQ_2Q_3&= Q_3^{-1}\begin{pmatrix}
\ln 2 & 1/2\\
0&\ln2
\end{pmatrix}Q_3 \\
&=\begin{pmatrix}
\ln 2 & 1\\
0&\ln2
\end{pmatrix}.
\end{align*}La forme de Jordan de $S$ est obtenue. Pour matrice de passage globale associée, vous prenez $Q_2Q_3$ qui est égale à :
\boxed{Q_2Q_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
-1&2
\end{pmatrix}.}Vous avez bien :
\boxed{\begin{align*}
(Q_2Q_3)^{-1}S(Q_2Q_3)
&=\begin{pmatrix}
\ln 2 & 1\\
0&\ln2
\end{pmatrix}.
\end{align*}}Vous formez la matrice $P_2$ définie par blocs :
\begin{align*}
P_2 &=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0& Q_2Q_3
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0& Q_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0& Q_3
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
1& 0&0\\
0& 1&0\\
0&-1&1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1& 0&0\\
0& 1&0\\
0&0&2\\
\end{pmatrix}.
\end{align*}Vous déduisez ce qui suit :
\begin{align*}
P_2^{-1}P_1^{-1}BP_1P_2 &=P_2^{-1}(P_1^{-1}BP_1)P_2 \\
&=\frac{1}{2}P_2^{-1}\begin{pmatrix}
2i\pi&1&1-2\ln2 +2i\pi\\
0&1+2\ln 2 & 1\\
0&-1&-1+2\ln2
\end{pmatrix}P_2\\
&=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
2i\pi&2\ln 2-2i\pi & 2-4\ln2 +4i\pi\\
0&2\ln 2 & 2\\
0&0&2\ln2
\end{pmatrix}
\\
&=\begin{pmatrix}
i\pi&\ln 2-i\pi & 1-2\ln2 +2i\pi\\
0&\ln 2 & 1\\
0&0&\ln2
\end{pmatrix}.
\end{align*}Les blocs de Jordan sont maintenant en place.
L’étape suivante consiste à éliminer le coefficient $\ln 2-i\pi$ à l’aide d’une transvection.
Pour plus de lisibilité, vous posez :
T = \begin{pmatrix}
i\pi&\ln 2-i\pi & 1-2\ln2 +2i\pi\\
0&\ln 2 & 1\\
0&0&\ln2
\end{pmatrix}.Soit $\alpha\inC$ un nombre qui sera choisi plus tard. Vous posez :
P_3 = \begin{pmatrix}
1& \alpha &0\\
0& 1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}.Alors :
P_3^{-1}TP_3 = \begin{pmatrix}
i\pi&\ln 2-i\pi +\alpha i\pi - \alpha\ln 2& 1-2\ln2 +2i\pi - \alpha\\
0&\ln 2 & 1\\
0&0&\ln2
\end{pmatrix}.Vous choisissez $\alpha$ tel que :
\begin{align*}
\ln 2-i\pi +\alpha i\pi - \alpha\ln 2 &= 0\\
\ln 2-i\pi +\alpha (i\pi - \ln 2) &= 0\\
\alpha (i\pi - \ln 2) &= i\pi-\ln 2 \\
\alpha &=1.
\end{align*}
Par voie de conséquence, vous avez :
\boxed{\begin{align*}
&P_3 = \begin{pmatrix}
1& 1 &0\\
0& 1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}
\\
&P_3^{-1}TP_3 = \begin{pmatrix}
i\pi&0& 2i\pi-2\ln2 \\
0&\ln 2 & 1\\
0&0&\ln2
\end{pmatrix}
\\
&P_3^{-1}P_2^{-1}P_1^{-1}BP_1P_2P_3
= \begin{pmatrix}
i\pi&0& 2i\pi-2\ln2 \\
0&\ln 2 & 1\\
0&0&\ln2
\end{pmatrix}.
\end{align*}
}Il reste à éliminer le dernier coefficient $2i\pi-2\ln2.$
Vous posez :
U = \begin{pmatrix}
i\pi&0& 2i\pi-2\ln2 \\
0&\ln 2 & 1\\
0&0&\ln2
\end{pmatrix}.Soit $\beta\inC$ un nombre qui sera choisi plus tard. Vous posez :
P_4 = \begin{pmatrix}
1& 0 &\beta\\
0& 1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}.Alors :
P_4^{-1}UP_4 = \begin{pmatrix}
i\pi&0& 2i\pi-2\ln2 + \beta i\pi - \beta \ln 2 \\
0&\ln 2 & 1\\
0&0&\ln2
\end{pmatrix}En prenant $\beta = -2$ vous constatez que $2i\pi-2\ln2 + \beta i\pi – \beta \ln 2 = 0.$
En définitive, vous avez obtenu la forme de Jordan de $B$ avec la matrice de passage associée :
\boxed{\begin{align*}
&P_4 = \begin{pmatrix}
1& 0 &-2\\
0& 1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}
\\
&P_4^{-1}UP_4 = \begin{pmatrix}
i\pi&0& 0\\
0&\ln 2 & 1\\
0&0&\ln2
\end{pmatrix}
\\
&P_3^{-1}P_3^{-1}P_2^{-1}P_1^{-1}BP_1P_2P_3 P_4
= \begin{pmatrix}
i\pi&0& 0 \\
0&\ln 2 & 1\\
0&0&\ln2
\end{pmatrix}\\
&(P_1P_2P_3 P_4)^{-1}B(P_1P_2P_3 P_4)
= \begin{pmatrix}
i\pi&0& 0 \\
0&\ln 2 & 1\\
0&0&\ln2
\end{pmatrix}.
\end{align*}
}Utilisez la structure par blocs
Notez $J$ la matrice de taille $2\times 2$ définie par :
\boxed{J = \begin{pmatrix}
\ln 2& 1 \\
0& \ln 2
\end{pmatrix}.}Notez $I_2$ la matrice identité d’ordre $2$ et $N$ la matrice définie par :
N = \begin{pmatrix}
0& 1 \\
0& 0
\end{pmatrix}.Notez que $N^2 = 0.$ Cela implique :
\forall k\geq 2, N^k=0.
Soit maintenant $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Comme $I$ et $N$ commutent, il est possible d’utiliser la formule du binôme :
\begin{align*}
J^n &= ((\ln 2) I_2 + N)^n\\
&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\ln 2)^{n-k} N^{k}\\
&=(\ln 2)^n I_2+n(\ln2)^{n-1}N + \sum_{k=2}^n \binom{n}{k} (\ln 2)^{n-k} N^{k}\\
&=(\ln 2)^n I_2+n(\ln2)^{n-1}N + 0\\
&=(\ln 2)^n I_2+n(\ln2)^{n-1}N.
\end{align*}Soit maintenant $m$ un entier supérieur ou égal à $2.$
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{m} \frac{1}{n !}J^n &= I_2+J+\sum_{n=2}^m \frac{1}{n !}J^n\\
&=I_2+J+\left(\sum_{n=2}^m \frac{1}{n !} (\ln 2)^n\right) I_2+ \left(\sum_{n=2}^m\frac{1}{n !} n(\ln2)^{n-1}\right)N.
\end{align*}
\begin{align*}
\sum_{n=2}^m\frac{1}{n !} n(\ln2)^{n-1} &= \sum_{n=1}^{m-1}\frac{1}{(n+1) !} (n+1)(\ln2)^{n}\\
&= \sum_{n=1}^{m-1}\frac{1}{n !} (\ln2)^{n}.
\end{align*}
Vous en tirez que, quand $m\to +\infty$ :
\begin{align*}
&\sum_{n=2}^m \frac{1}{n !} (\ln 2)^n \longrightarrow \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n !} (\ln 2)^n = \e^{\ln 2}-\ln 2-1\\
&\sum_{n=2}^m\frac{1}{n !} n(\ln2)^{n-1} \longrightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n !} (\ln2)^{n} = \e^{\ln2}-1
\end{align*}Donc :
\begin{align*}
&\lim_{m\to + \infty} \sum_{n=2}^m \frac{1}{n !} (\ln 2)^n = 1-\ln 2\\
&\lim_{m\to + \infty} \sum_{n=2}^m\frac{1}{n !} n(\ln2)^{n-1} = 1.
\end{align*}Il en résulte que :
\begin{align*}
\lim_{m\to +\infty} \sum_{n=0}^{m} \frac{1}{n !}J^n
&=I_2+J+(1-\ln 2)I_2+ N\\
&=I_2+(\ln 2) I_2 + N+(1-\ln 2)I_2+ N\\
&=(1+\ln 2 + 1-\ln 2)I_2+2N\\
&=2I_2+2N.
\end{align*}
Le calcul de l’exponentielle de $J$ est terminé :
\boxed{\e^{J} = \begin{pmatrix}
2& 2 \\
0& 2
\end{pmatrix}.}La structure diagonale par blocs et la conjugaison permettent de calculer l’exponentielle de la matrice $B$ à partir de l’égalité suivante :
\begin{align*}
(P_1P_2P_3 P_4)^{-1}B(P_1P_2P_3 P_4)
&= \begin{pmatrix}
i\pi&0& 0 \\
0&\ln 2 & 1\\
0&0&\ln2
\end{pmatrix}
\\
&=\begin{pmatrix}
i\pi&0\\
0& J\\
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Il vient :
\begin{align*}
(P_1P_2P_3 P_4)^{-1}\e^B (P_1P_2P_3 P_4) &= \begin{pmatrix}
\e^{i\pi}&0\\
0& \e^J\\
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
-1&0&0\\
0& 2 & 2\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Subséquemment :
\begin{align*}
\e^B &= (P_1P_2P_3 P_4) \begin{pmatrix}
-1&0&0\\
0& 2 & 2\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}(P_1P_2P_3 P_4)^{-1}
\\
&=P_1P_2P_3 P_4 \begin{pmatrix}
-1&0&0\\
0& 2 & 2\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}P_4^{-1}P_3^{-1}P_2^{-1}P_1^{-1}
\\
&=P_1P_2P_3 \left(P_4 \begin{pmatrix}
-1&0&0\\
0& 2 & 2\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}P_4^{-1}\right)P_3^{-1}P_2^{-1}P_1^{-1}
\\
&=P_1P_2P_3 \begin{pmatrix}
-1&0&-6\\
0& 2 & 2\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}P_3^{-1}P_2^{-1}P_1^{-1}
\\
&=P_1P_2\left(P_3 \begin{pmatrix}
-1&0&-6\\
0& 2 & 2\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}P_3^{-1}\right)P_2^{-1}P_1^{-1}
\\
&=P_1P_2 \begin{pmatrix}
-1&3&-4\\
0& 2 & 2\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}P_2^{-1}P_1^{-1}
\\
&=P_1\left(P_2 \begin{pmatrix}
-1&3&-4\\
0& 2 & 2\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}P_2^{-1}\right)P_1^{-1}
\\
&=P_1 \begin{pmatrix}
-1&1&-2\\
0& 3 & 1\\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}P_1^{-1}
\\
&= \begin{pmatrix}
3&0 & 1\\
1&-1&-2\\
-1&0 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Concluez
Si $A$ est la matrice définie par :
A= \begin{pmatrix}
3 & 0 & 1\\
1&-1&-2\\
-1&0&1
\end{pmatrix}et si $B$ est celle définie par :
B=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1+2\ln 2 & 0 & 1\\
1&2i\pi&1-2\ln2 +2i\pi\\
-1&0&-1+2\ln2
\end{pmatrix}alors l’exponentielle de la matrice $B$ est égale à la matrice $A$ :
\boxed{\exp B =A.}Partagez !
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