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336. Le théorème de Gauss-Lucas et le cas des polynômes réels

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Le théorème de Gauss-Lucas énonce que les racines complexes du polynôme dérivé d’un polynôme complexe non constant sont toutes situées dans l’enveloppe convexe des racines du polynôme initial. Une démonstration en est rédigée dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 320.

Autrement dit, si vous visualisez les racines du polynôme complexe comme des points du plan complexe, alors les racines du polynôme dérivé sont nécessairement contenues dans le plus petit polygone convexe contenant ces points.

Si vous vous cantonnez au cas réel, le résultat précédent peut devenir faux. C’est l’objet de ce contenu : les racines réelles de la dérivée d’un polynôme réel non constant ne sont pas nécessairement toutes situées dans le plus petit intervalle contenant les racines réelles du polynôme initial.

Utilisez un polynôme réel non scindé

Soit $r$ un nombre réel non nul qui sera choisi plus tard. Vous définissez un polynôme $P\in\R[X]$ en posant :

P(X) = (X-1)(X-2)(X^2+rX+r^2).

Le discriminant du trinôme $X^2+rX+r^2$ est égal à :

\Delta = r^2-4r^2=-3r^2.

Comme $r$ est non nul, $\Delta$ est strictement négatif. Du coup, $X^2+rX+r^2$ n’a pas de racine réelle et par suite, le polynôme $P\comma$ en tant qu’élément de $\R[X]\comma$ n’est pas scindé.

Il admet $1$ et $2$ pour racines réelles, les deux autres racines étant complexes non réelles.

Le plus petit intervalle contenant les racines réelles de $P$ est $[1,2].$ Il sera montré dans la suite que, pour un choix convenable de $r\comma$ le polynôme $P’$ admet une racine réelle n’appartenant pas à cet intervalle.

Calculez le polynôme dérivé

Vous utilisez la formule de dérivation d’un produit composé de trois facteurs.

Il vient :

\begin{align*} P'(X) &= (X-2)(X^2+rX+r^2) + (X-1)(X^2+rX+r^2)+(X-1)(X-2)(2X+r) \\ &=(2X-3)(X^2+rX+r^2)+(X^2-3X+2)(2X+r)\\ &=2X^3+2rX^2+2r^2X-3X^2-3rX-3r^2\\ &\quad + 2X^3-6X^2+4X+rX^2-3rX+2r\\ &=4X^3+(3r-9)X^2+(2r^2-6r+4)X+(-3r^2+2r). \end{align*}

Analysez la situation pour effectuer un bon choix

Supposez que $r$ soit choisi pour que le polynôme $P’$ admette exactement deux racines réelles. Ce choix est motivé par le fait que ces deux racines sont alors rapidement calculables en fonction des coefficients de ce polynôme.

Vous notez $u\in\R$ et $v\in\R$ les deux racines réelles de $P’$ avec $u\neq v.$

Vous effectuez la division euclidienne de $P’$ par $X-u.$ Puisque $u$ est racine de $P’\comma$ il existe un polynôme réel $Q$ de degré $2$ tel que :

P'(X) = (X-u)Q(X).

En évaluant cette expression en $v\comma$ il vient $0 = (v-u)Q(v).$ Comme $v-u\neq 0\comma$ vous obtenez $Q(v) = 0.$

Vous effectuez la division euclidienne de $Q$ par $X-v$ et déduisez l’existence d’un polynôme réel $S$ de degré $1$ tel que :

Q(X) = (X-v)S(X).

Du coup :

P'(X) = (X-u)(X-v)S(X).

Par identification du coefficient dominant de $P’$ avec celui du polynôme $(X-u)(X-v)S(X)$ vous déduisez que le coefficient dominant de $S$ est égal à $4.$ En appelant $w\in\R$ le coefficient constant du polynôme $S\comma$ il vient :

P'(X) = (X-u)(X-v)(4X+w).

Cela conduit à :

P'\left(\frac{-w}{4}\right) = 0.

Si vous aviez :

\frac{-w}{4}\not\in\{u,v\}

alors le polynôme $P’$ admettrait trois racines réelles, ce qui est exclu.

Donc $\frac{-w}{4}\in\{u,v\}.$

Premier cas. Si $u = \frac{-w}{4}$ vous écrivez :

\begin{align*} P'(X) & = 4(X-u)(X-v)\left(X+\frac{w}{4}\right)\\ &= 4(X-u)(X-v)(X-u). \end{align*}

Le polynôme $P’$ admet donc une racine double.

Second cas. Si $v = \frac{-w}{4}$ vous écrivez :

\begin{align*} P'(X) & = 4(X-u)(X-v)\left(X+\frac{w}{4}\right)\\ &= 4(X-u)(X-v)(X-v). \end{align*}

Le polynôme $P’$ admet encore une racine double.

Le discriminant d’un polynôme unitaire de degré $3$ est égal au carré du produit des différences de ses racines prises deux à deux : il est nul si et seulement si ce polynôme admet une racine multiple.

Dans les deux cas, en notant $\Delta$ le discriminant du polynôme unitaire $\frac{1}{4}P’\comma$ il vient $\Delta = 0.$

Vous utilisez maintenant les notations et le résultat d’un autre article, consacré au discriminant d’un polynôme de degré $3.$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 146.

Vous écrivez $\frac{1}{4}P'(X) = X^3-N_1X^2+N_2X-N_3$ en posant :

\begin{align*} N_1 &= \frac{9-3r}{4}\\ N_2 &=\frac{2r^2-6r+4}{4}\\ N_3 &=\frac{3r^2-2r}{4}. \end{align*}

Le discriminant se calcule alors par l’expression suivante :

\Delta = N_1^2N_2^2-4N_1^3N_3-4N_2^3+18N_1N_2N_3-27N_3^2.

Avec l’étude précédente vous déduisez :

N_1^2N_2^2-4N_1^3N_3-4N_2^3+18N_1N_2N_3-27N_3^2 = 0.

Vous développez les termes de cette expression les uns après les autres de façon à trouver une équation satisfaite par $r.$

Procédez au calcul détaillé des termes du discriminant

Premier terme

\begin{align*} N_1^2N_2^2 &=\frac{(9-3r)^2}{16}\times \frac{(2r^2-6r+4)^2}{16}\\ &= \frac{9(r^2-6r+9) \times 4 (r^2-3r+2)^2}{16\times 4\times 4}\\ &= \frac{9(r^2-6r+9)(r^2-3r+2)^2}{64}\\ &= \frac{9(r^2-6r+9)(r^4+9r^2+4-6r^3+4r^2-12r)}{64}\\ &= \frac{9(r^2-6r+9)(r^4-6r^3+13r^2-12r+4)}{64}. \end{align*}

Vous procédez au développement suivant :

\begin{align*} (r^2-6r+9)(r^4-6r^3+13r^2-12r+4) &= r^6-6r^5+13r^4-2\times 6r^3+4r^2\\ &\qquad -6r^5+36r^4-13\times 6 r^3+72r^2-24r\\ &\qquad \qquad \quad+9r^4-9\times 6r^3+117 r^2-108r+36\\ &=r^6-12r^5+58r^4-24\times 6r^3+193r^2-132r+36\\ &=r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36. \end{align*}

Du coup :

\boxed{ N_1^2N_2^2 = \frac{9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)}{64}. }

Deuxième terme

\begin{align*} N_1^3N_3 &= \frac{(9-3r)^3}{16\times 4}\times \frac{3r^2-2r}{4}\\ &= \frac{27(3-r)^3(3r^2-2r)}{256}. \end{align*}

Vous procédez au développement suivant :

\begin{align*} (3-r)^3(3r^2-2r) &= (-r^3+9r^2-27r+27)(3r^2-2r)\\ &= -3r^5+27r^4-81r^3+81r^2\\ &\qquad +2r^4-18r^3+54r^2-54r\\ &=-3r^5+29r^4-99r^3+135r^2-54r. \end{align*}

Du coup :

N_1^3N_3 = \frac{27(-3r^5+29r^4-99r^3+135r^2-54r)}{256}.

D’où :

\boxed{ -4N_1^3N_3 = \frac{27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)}{64}. }

Troisième terme

\begin{align*} N_2^3 &= \frac{(2r^2-6r+4)^3}{4\times 4\times 4}\\ &=\frac{2^3(r^2-3r+2)^3}{4\times 4\times 4}\\ &=\frac{(r^2-3r+2)^3}{8}. \end{align*}

Vous procédez au développement suivant :

\begin{align*} (r^2-3r+2)^3 &= (r^2-3r+2)^2 (r^2-3r+2)\\ &= (r^4+9r^2+4-6r^3+4r^2-12r)(r^2-3r+2)\\ &= (r^4-6r^3+13r^2-12r+4)(r^2-3r+2)\\ &= r^6-6r^5+13r^4-12r^3+4r^2\\ &\qquad -3r^5+18r^4-39r^3+36r^2-12r\\ &\qquad \qquad +2r^4-12r^3+26r^2-24r+8\\ &=r^6-9r^5+33r^4-63r^3+66r^2-36r+8. \end{align*}

Du coup :

N_2^3 =\frac{r^6-9r^5+33r^4-63r^3+66r^2-36r+8}{8}.

D’où :

\boxed{ -4N_2^3 =\frac{-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8}{2}. }

Quatrième terme

\begin{align*} N_1N_2N_3 &= \frac{9-3r}{4} \times \frac{2r^2-6r+4}{4} \times \frac{3r^2-2r}{4} \\ &=\frac{3(3-r)\times 2(r^2-3r+2)(3r^2-2r)}{16\times 2\times 2}\\ &=\frac{3(3-r)(r^2-3r+2)(3r^2-2r)}{32}. \end{align*}

Vous procédez au développement suivant :

\begin{align*} (3-r)(r^2-3r+2)(3r^2-2r) &= (3r^2-9r+6-r^3+3r^2-2r)(3r^2-2r) \\ &= (-r^3+6r^2-11r+6)(3r^2-2r)\\ &=-3r^5+18r^4-33r^3+18r^2\\ &\qquad +2r^4-12r^3+22r^2-12r\\ &=-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r. \end{align*}

Du coup :

N_1N_2N_3 =\frac{3(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{32}.

D’où :

\boxed{ 18N_1N_2N_3 =\frac{27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{16}. }

Cinquième terme

\begin{align*} N_3^2 &=\frac{(3r^2-2r)^2}{16}\\ &=\frac{9r^4-12r^3+4r^2}{16}. \end{align*}

D’où :

\boxed{-27N_3^2 = \frac{27(-9r^4+12r^3-4r^2)}{16}.}

Déterminez une équation satisfaite par le réel $r$

La condition $N_1^2N_2^2-4N_1^3N_3-4N_2^3+18N_1N_2N_3-27N_3^2 = 0$ fournit :

\begin{align*} 0 &= \frac{9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)}{64}\\ &\qquad+ \frac{27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)}{64}\\ &\qquad +\frac{-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8}{2} \\ &\qquad +\frac{27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{16}\\ &\qquad +\frac{27(-9r^4+12r^3-4r^2)}{16}. \end{align*}

Vous réduisez au même dénominateur :

\begin{align*} 0 &= \frac{9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)}{64}\\ &\qquad+ \frac{27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)}{64}\\ &\qquad +\frac{32(-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8)}{64} \\ &\qquad +\frac{4\times 27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{64}\\ &\qquad +\frac{4\times 27(-9r^4+12r^3-4r^2)}{64}. \end{align*}

Il en résulte ce qui suit :

\begin{align*} 0 &= 9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)\\ &\qquad+ 27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)\\ &\qquad +32(-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8) \\ &\qquad +4\times 27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)\\ &\qquad +4\times 27(-9r^4+12r^3-4r^2). \end{align*}

Vous développez :

\begin{align*} 0 &= 9r^6-108r^5+522 r^4-1296r^3+1737 r^2-1188 r+324\\ &\qquad+ 81r^5-783 r^4+2673 r^3-3645 r^2+1458r\\ &\qquad -32r^6+288r^5-1056 r^4+2016 r^3-2112 r^2+1152 r-256 \\ &\qquad -324 r^5+2160 r^4-4860 r^3+4320 r^2-1296 r\\ &\qquad -972r^4+1296 r^3-432r^2. \end{align*}

Puis vous réduisez :

\begin{align*} 0 &= (9-32) r^6+(-108+81+288-324)r^5+(522-783-1056+2160-972) r^4\\ &\qquad +(-1296+ 2673+ 2016-4860+ 1296)r^3+(1737-3645-2112+ 4320-432)r^2\\ &\qquad +(-1188+ 1458+ 1152-1296)r+(324-256). \end{align*}

Vous obtenez :

-23r^6-63r^5-129r^4-171r^3-132r^2+126r+68=0.

En définitive, le réel $r$ est solution de l’équation de degré $6$ suivante, qui sera appelée condition (*) :

\boxed{23r^6+63r^5+129r^4+171r^3+132r^2-126r-68=0.}

Existence d’un unique réel compris entre $0$ et $1$ satisfaisant la condition (*)

Pour tout réel $x\comma$ vous posez :

f(x) = 23 x^6 + 63 x^5 + 129 x^4 + 171 x^3 + 132 x^2 – 126 x – 68.

La fonction $f$ est une fonction polynôme de degré $6\comma$ deux fois dérivable sur $\R.$

Pour tout réel $x\comma$ vous avez :

\begin{align*} f'(x) &= 138 x^5 + 315 x^4 + 516 x^3 + 513 x^2 + 264 x – 126\\ f''(x) &= 690 x^4 +1260 x^3 + 1548 x^2 + 1026 x + 264. \end{align*}

Dès que $x\in[0,1]$ vous avez $f »(x)\geq 264\gt0.$

La fonction $f’$ est strictement croissante sur $[0,1].$ Or $f'(0) = -126$ et $f'(1) = 1620.$ Comme $f’$ est une fonction polynôme, elle est continue sur l’intervalle $[0,1].$ Donc la fonction $f’$ réalise une bijection de $[0,1]$ vers $[-126,1620].$ Il existe un unique réel $\zeta\in[0,1]$ tel que $f'(\zeta) = 0.$

La stricte croissance de $f’$ sur $[0,1]$ implique alors que $f’$ est strictement négative sur $[0, \zeta[$ et strictement positive sur $]\zeta, 1].$

La fonction $f$ est par conséquent strictement décroissante sur $[0, \zeta]$ et strictement croissante sur $[\zeta, 1].$ Comme $f(0) =-68\comma$ le nombre $f(0)$ est strictement négatif, et par décroissance $f(\zeta)\leq f(0)$ l’est aussi.

La fonction $f$ étant continue et strictement croissante sur $[\zeta, 1]\comma$ elle réalise une bijection de $[\zeta, 1]$ vers $[f(\zeta), f(1)].$ Comme $f(1)=324\comma$ vous avez $f(\zeta)\lt0\lt324.$ Il en résulte qu’il existe un unique réel $\eta$ appartenant à $[\zeta, 1]$ tel que $f(\eta)=0.$

La fonction $f$ étant décroissante sur $[0, \zeta]$ avec $f(0)\lt0\comma$ vous déduisez que $f$ est strictement négative sur $[0,\zeta].$ En particulier la fonction $f$ ne s’annule pas sur $[0,\zeta].$

En définitive, il existe un unique réel, qui est $\eta\comma$ appartenant à l’intervalle $[0, 1]$ et qui annule la fonction $f.$

Dans la suite, vous définissez $r$ comme étant l’unique réel de l’intervalle $[0,1]$ tel que :

\boxed{23r^6+63r^5+129r^4+171r^3+132r^2-126r-68=0.}

Comme $f(0)\neq 0\comma$ ce réel $r$ est non nul, comme cela était exigé au départ.

Étude du polynôme dérivé

Le réel $r$ étant défini comme indiqué ci-dessus, il est rappelé que :

P(X) = (X-1)(X-2)(X^2+rX+r^2).

Le polynôme dérivé de $P$ est :

P'(X) = 4X^3+(3r-9)X^2+(2r^2-6r+4)X+(-3r^2+2r).

Comme :

\left\{\begin{align*} \lim_{x\to +\infty} P'(x) &= +\infty \\ \lim_{x\to -\infty} P'(x) &= -\infty \end{align*} \right.

vous pouvez appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction polynôme $x\mapsto P'(x)$ qui est continue sur $\R.$

Il existe donc un réel $a$ tel que $P'(a)=0.$

En effectuant la division euclidienne de $P’$ par $X-a\comma$ vous déduisez l’existence d’un polynôme réel $M$ de degré $2$ tel que :

P'(X) = (X-a)M(X).

Raisonnez par l’absurde en supposant que $M$ n’admet pas de racine réelle.

Le polynôme $M$ admet, en tant que polynôme non constant, une racine complexe $\alpha\comma$ qui n’est pas réelle.

En identifiant les coefficients dominants de $P’$ et de $(X-a)M(X)$ vous déduisez qu’il existe deux réels $k$ et $\ell$ tels que :

M(X) = 4X^2+kX+\ell.

En évaluant en $\alpha$ vous avez :

4\alpha^2+k\alpha+\ell = 0.

En conjuguant, comme $k$ et $\ell$ sont réels, il vient :

4(\overline{\alpha})^2+k\overline{\alpha}+\ell = 0.

Du coup, $M(\overline{\alpha}) = 0.$

Le polynôme $P’$ admet pour racines $a\comma$ $\alpha$ et $\overline{\alpha}.$

Comme $a\in\R$ et comme $\alpha\notin\R$ vous avez $a\neq \alpha$ et $a\neq \overline{\alpha}.$

D’autre part, comme $\alpha\not\in\R$ vous avez $\alpha \neq \overline{\alpha}.$

Les trois nombres complexes $a\comma$ $\alpha$ et $\overline{\alpha}$ étant deux à deux distincts, le polynôme $P’$ se factorise ainsi :

P'(X) = 4(X-a)(X-\alpha)(X-\overline{\alpha}).

Le discriminant $\Delta$ du polynôme unitaire $\frac{1}{4}P’$ est donc égal à :

\Delta = ((a-\alpha)(a-\overline{\alpha})(\alpha-\overline{\alpha}))^2 = ((a-\alpha)(a-\overline{\alpha}))^2 (\alpha – \overline{\alpha})^2.

D’une part :

\begin{align*} (a-\alpha)(a-\overline{\alpha}) &= (a-\alpha)(\overline{a-\alpha}) \\ &= \vert a-\alpha\vert^2. \end{align*}

D’autre part :

\begin{align*} (\alpha-\overline{\alpha})^2 &= (2i \mathrm{Im}(\alpha))^2\\ &=-4 (\mathrm{Im}(\alpha))^2. \end{align*}

En calculant ce même discriminant à l’aide des coefficients, comme dans la section précédente, vous obtenez :

\begin{align*} \vert a-\alpha\vert^4 (-4 ) (\mathrm{Im}(\alpha))^2 &= \frac{9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)}{64}\\ &\qquad+ \frac{27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)}{64}\\ &\qquad +\frac{-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8}{2} \\ &\qquad +\frac{27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{16}\\ &\qquad +\frac{27(-9r^4+12r^3-4r^2)}{16} \\ &=\frac{-23r^6-63r^5-129r^4-171r^3-132r^2+126r+68}{64}\\ &=-\frac{23r^6+63r^5+129r^4+171r^3+132r^2-126r-68}{64}\\ &=0. \end{align*}

Du coup, le produit suivant est nul :

\vert a-\alpha\vert^4 (\mathrm{Im}(\alpha))^2 = 0.

Comme $\alpha \not\in\R$ vous déduisez $\mathrm{Im}(\alpha) \neq 0.$ Du coup vous avez :

\begin{align*} \vert a-\alpha\vert^4 &= 0\\ \vert a-\alpha\vert &= 0. \end{align*}

Donc $\alpha = a$ et $\alpha\in\R\comma$ ce qui est une contradiction.

Donc le polynôme $M$ admet au moins une racine réelle $b.$

Vous divisez maintenant le polynôme réel $M$ par $X-b.$

Le coefficient dominant de $M$ étant égal à $4\comma$ vous déduisez l’existence d’un réel $c$ tel que :

M(X) = (X-b)(4X+c).

Du coup :

\begin{align*} P'(X) &= (X-a)(X-b)(4X+c)\\ &= 4 (X-a)(X-b)(X+c/4). \end{align*}

Vous vous intéressez aux trois réels $a\comma$ $b$ et $-c/4.$

Comme le discriminant $\Delta$ est nul, deux des trois réels précédents sont égaux.

Donc $P’$ est scindé dans $\R[X]$ et admet une racine double.

Déterminez les racines de $P’$

Il est rappelé que :

P'(X) = 4X^3+(3r-9)X^2+(2r^2-6r+4)X+(-3r^2+2r).

D’après la section précédente, il existe un réel $\mu$ et un réel $\xi$ tels que :

\begin{align*} P'(X) &= 4(X-\xi)^2(X-\mu) \\ &= (X-\xi)^2(4X-4\mu). \end{align*}

Par identification du terme de degré $2\comma$ vous obtenez les égalités :

\begin{align*} 3r-9 &= -4\mu-8\xi\\ 3r-9+8\xi &= -4\mu. \end{align*}

Donc :

P'(X) = (X-\xi)^2(4X+3r-9+8\xi).

Pour calculer $\xi\comma$ vous allez choisir un réel $x$ ne dépendant pas de $\xi$ tel que :

\begin{align*} -8(x-\xi)&=4x+3r-9+8\xi\\ -8x+8\xi &= 4x+3r-9+8\xi\\ 9-3r&=12x\\ 3-r&=4x. \end{align*}

Avec $x = \frac{3-r}{4}\comma$ les égalités suivantes permettent d’exprimer le réel $\xi$ en fonction de $r.$

\begin{align*} P'\left(\frac{3-r}{4}\right) &= \left(\frac{3-r}{4}-\xi\right)^2 (-8)\left(\frac{3-r}{4}-\xi\right) \\ P'\left(\frac{3-r}{4}\right) &= (-8) \left(\frac{3-r}{4}-\xi\right)^3\\ \sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }&= (-2) \left(\frac{3-r}{4}-\xi\right)\\ -\frac{1}{2}\sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }&= \frac{3-r}{4}-\xi. \end{align*}

En définitive :

\boxed{\begin{align*} \xi&= \frac{3-r}{4}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }\\ \mu &= \frac{-3r+9-8\xi}{4} . \end{align*} }

Concluez

Vous allez déterminer un encadrement de $r$ au dixième.

Numériquement :

\begin{align*} -37 &\lt f(0{,}6)\lt-36 \\ 11 &\lt f(0{,}7)\lt12. \end{align*}

Comme $f(0{,}6)$ et $f(0{,}7)$ sont de signes contraires, le théorème des valeurs intermédiaires fournit un réel de $]0{,}6\,;0{,}7[$ qui annule $f.$ Comme $r$ est l’unique réel de $[0,1]$ qui annule $f\comma$ vous déduisez :

\boxed{0{,}6\lt r \lt 0{,}7.}

Pour obtenir un encadrement de $\xi\comma$ vous calculez d’abord le nombre $P’\left(\frac{3-r}{4}\right)$ comme suit :

P'\left(\frac{3-r}{4}\right) = 4\left(\frac{3-r}{4}\right)^3+(3r-9)\left(\frac{3-r}{4}\right)^2+(2r^2-6r+4)\left(\frac{3-r}{4}\right)+(-3r^2+2r).

Le membre de droite est formé de termes que vous développez.

\begin{align*} 4\left(\frac{3-r}{4}\right)^3 &=4\times\frac{(3-r)^3}{4^3}\\ &=\frac{(3-r)^3}{16}\\ &=\frac{-r^3+ 9r^2-27r+27 }{16}. \end{align*}
\begin{align*} (3r-9)\left(\frac{3-r}{4}\right)^2 &=3(r-3)\times \frac{(r-3)^2}{16}\\ &=\frac{3(r-3)^3}{16}\\ &=\frac{3(r^3-9r^2+27r-27)}{16}\\ &=\frac{3r^3-27r^2+81r-81}{16}. \end{align*}
\begin{align*} (2r^2-6r+4)\left(\frac{3-r}{4}\right) &= (r^2-3r+2)\times \frac{3-r}{2}\\ &=\frac{(r^2-3r+2)(3-r)}{2}\\ &=\frac{3r^2-9r+6-r^3+3r^2-2r}{2}\\ &=\frac{-r^3+6r^2-11r+6}{2}\\ &=\frac{-8r^3+48r^2-88r+48}{16}. \end{align*}
-3r^2+2r = \frac{-48r^2+32r}{16}.

Par somme, vous avez :

\begin{align*} P'\left(\frac{3-r}{4}\right) &= \frac{-r^3+ 9r^2-27r+27 }{16}+\frac{3r^3-27r^2+81r-81}{16}\\ &\qquad +\frac{-8r^3+48r^2-88r+48}{16}+ \frac{-48r^2+32r}{16}\\ &=\frac{-6r^3-18r^2-2r-6}{16}\\ &=\frac{-3r^3-9r^2-r-3}{8}\\ &=-\frac{3r^3+9r^2+r+3}{8}. \end{align*}

Vous passez aux encadrements, tous les nombres en jeu étant positifs :

\begin{align*} 0{,}6&\lt r \lt 0{,}7\\ 0{,}36&\lt r^2 \lt 0{,}49\\ 0{,}216&\lt r^3 \lt 0{,}343. \end{align*}

Par conséquent :

\begin{align*} 0{,}6&\lt r \lt 0{,}7\\ 3{,}24&\lt 9r^2 \lt 4{,}41\\ 0{,}648&\lt 3 r^3 \lt 1{,}029. \end{align*}

Par somme, puis en utilisant la croissance de la fonction racine cubique sur $\R\comma$ vous obtenez :

\begin{align*} 0{,}648+3{,}24+0{,}6+3&\lt 3r^3+9r^2+r+3\lt1{,}029+4{,}41+0{,}7+3\\ 7{,}488&\lt 3r^3+9r^2+r+3 \lt 9{,}139\\ 0{,}936&\lt \frac{3r^3+9r^2+r+3}{8} \lt 1{,}14238\\ -1{,}14238 &\lt P'\left(\frac{3-r}{4}\right) \lt -0{,}936\\ \sqrt[3]{-1{,}14238} &\lt \sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }\lt \sqrt[3]{ -0{,}936 }\\ -1{,}0454 &\lt \sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }\lt-0{,}9781\\ -0{,}5227 &\lt \frac{1}{2}\sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }\lt-0{,}4890. \end{align*}

Or :

\begin{align*} 0{,}6&\lt r \lt 0{,}7\\ -0{,}7&\lt -r \lt -0{,}6\\ 2{,}3&\lt 3-r \lt 2{,}4\\ 0{,}575&\lt \frac{3-r}{4} \lt 0{,}6. \end{align*}

Par somme :

0{,}575-0{,}5227\lt\xi \lt 0{,}6-0{,}4890.

Du coup :

\boxed{0{,}0523\lt\xi\lt0{,}1110.}

Comme $\xi$ est une racine réelle du polynôme $P’\comma$ il a bien été prouvé que $P’$ admet une racine réelle qui n’appartient pas à $[1,2].$

Il existe une racine réelle de $P’$ qui n’est pas comprise entre la plus petite et la plus grande racine réelle de $P.$ Le théorème de Gauss-Lucas ne peut pas être cantonné au cas réel.