Le théorème de Gauss-Lucas énonce que les racines complexes du polynôme dérivé d’un polynôme complexe non constant sont toutes situées à l’intérieur de la région convexe délimitée par les racines du polynôme initial. Vous en trouverez une démonstration rédigée dans le contenu de l'article 320.
Autrement dit, si vous visualisez les racines du polynôme complexe comme des points sur un plan complexe, alors les racines du polynôme dérivé sont nécessairement contenues à l’intérieur du polygone formé par ces points.
Si vous vous cantonnez au cas réel, le résultat précédent peut devenir faux. C’est l’objet de cet article : les racines réelles de la dérivée d’un polynôme non constant ne sont pas nécessairement toutes situées à l’intérieur de la région convexe délimitée par les racines réelles du polynôme initial.
Utilisez un polynôme réel non scindé
Soit $r$ un nombre réel non nul qui sera choisi plus tard. Vous définissez un polynôme $P\in\R[X]$ en posant :
P(X) = (X-1)(X-2)(X^2+rX+r^2).
Le discriminant du trinôme $X^2+rX+r^2$ est égal à :
\Delta = r^2-4r^2=-3r^2.
Ainsi, $\Delta$ est strictement négatif. Du coup, $X^2+rX+r^2$ n’a pas de racine réelle et par suite, le polynôme $P$, en tant qu’élément de $\R[X]$ n’est pas scindé.
Il admet $1$ et $2$ pour racines, les deux autres étant complexes non réelles.
La région convexe délimitée par les racines réelles de $P$ est l’intervalle $[1,2].$ Il sera montré dans la suite que le polynôme $P’$ admet une racine réelle n’appartenant pas cet intervalle.
Calculez le polynôme dérivé
Vous utilisez la formule de dérivation d’un produit composé de trois facteurs.
Il vient :
\begin{align*}
P'(X) &= (X-2)(X^2+rX+r^2) + (X-1)(X^2+rX+r^2)+(X-1)(X-2)(2X+r) \\
&=(2X-3)(X^2+rX+r^2)+(X^2-3X+2)(2X+r)\\
&=2X^3+2rX^2+2r^2X-3X^2-3rX-3r^2\\
&\quad + 2X^3-6X^2+4X+rX^2-3rX+2r\\
&=4X^3+(3r-9)X^2+(2r^2-6r+4)X+(-3r^2+2r).
\end{align*} Analysez la situation pour effectuer un bon choix
Supposez que $r$ soit choisi pour que le polynôme $P’$ admette exactement deux racines réelles. Ce choix est motivé par le fait que les deux racines précédentes sont rapidement calculables en fonction des coefficients de ce polynôme.
Vous notez $u\in\R$ et $v\in\R$ les deux racines réelles de $P’$ avec $u\neq v.$
Vous effectuez la division euclidienne de $P’$ par $X-u.$ Puisque $u$ est racine de $P’$, il existe un polynôme réel $Q$ de degré $2$ tel que :
P'(X) = (X-u)Q(X)
En évaluant cette expression en $v$, il vient $0 = (v-u)Q(v).$ Ainsi $Q(v) = 0.$
Vous effectuez la division euclidienne de $Q$ par $X-v$ et déduisez l’existence d’un polynôme réel $S$ de degré $1$ tel que :
Q(X) = (X-v)S(X).
Du coup :
P'(X) = (X-u)(X-v)S(X).
Par identification du coefficient dominant de $P’$ avec celui du polynôme $(X-u)(X-v)S(X)$ vous déduisez que le coefficient dominant de $S$ est égal à $4.$ En appelant $w\in\R$ le coefficient constant du polynôme $S$, il vient :
P'(X) = (X-u)(X-v)(4X+w).
Cela conduit à :
P'\left(\frac{-w}{4}\right) = 0.Si vous aviez :
\frac{-w}{4}\not\in\{u,v\}Alors le polynôme $P’$ admettrait trois racines réelles, ce qui est exclu.
Donc $\frac{-w}{4}\in\{u,v\}.$
1er cas. Si $u = \frac{-w}{4}$ vous écrivez :
\begin{align*}
P'(X) & = 4(X-u)(X-v)\left(X+\frac{w}{4}\right)\\
&= 4(X-u)(X-v)(X-u).
\end{align*}
$P’$ admet donc une racine double.
En notant $\Delta$ le discriminant du polynôme $P’$, il vient $\Delta = 0.$
2nd cas. Si $v = \frac{-w}{4}$ vous écrivez :
\begin{align*}
P'(X) & = 4(X-u)(X-v)\left(X+\frac{w}{4}\right)\\
&= 4(X-u)(X-v)(X-v).
\end{align*}
$P’$ admet encore une racine double.
A nouveau, le discriminant du polynôme $P’$ est nul.
En suivant les notations du contenu rédigé dans l'article 146 vous posez :
\begin{align*}
N_1 &= \frac{9-3r}{4}\\
N_2 &=\frac{2r^2-6r+4}{4}\\
N_3 &=\frac{3r^2-2r}{4}.
\end{align*}Cet article montre que le discriminant se calcule par l’expression suivante :
\Delta = N_1^2N_2^2-4N_1^3N_3-4N_2^3+18N_1N_2N_3-27N_3^2.
Avec l’étude précédente vous déduisez :
N_1^2N_2^2-4N_1^3N_3-4N_2^3+18N_1N_2N_3-27N_3^2 = 0.
Vous développez les termes de cette expression les uns après les autres de façon à trouver une équation satisfaite par $r.$
Procédez au calcul détaillé des termes du discriminant du polynôme $P’$ de degré $3$
Premier terme
\begin{align*}
N_1^2N_2^2 &=\frac{(9-3r)^2}{16}\times \frac{(2r^2-6r+4)^2}{16}\\
&= \frac{9(r^2-6r+9) \times 4 (r^2-3r+2)^2}{16\times 4\times 4}\\
&= \frac{9(r^2-6r+9)(r^2-3r+2)^2}{64}\\
&= \frac{9(r^2-6r+9)(r^4+9r^2+4-6r^3+4r^2-12r)}{64}\\
&= \frac{9(r^2-6r+9)(r^4-6r^3+13r^2-12r+4)}{64}\\
\end{align*}
Vous procédez au développement suivant :
\begin{align*}
(r^2-6r+9)(r^4-6r^3+13r^2-12r+4) &= r^6-6r^5+13r^4-2\times 6r^3+4r^2\\
&\qquad -6r^5+36r^4-13\times 6 r^3+72r^2-24r\\
&\qquad \qquad \quad+9r^4-9\times 6r^3+117 r^2-108r+36\\
&=r^6-12r^5+58r^4-24\times 6r^3+193r^2-132r+36\\
&=r^6-12r^5+58r^4-12\times 12r^3+193r^2-132r+36\\
&=r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36.
\end{align*}Du coup :
\boxed{
N_1^2N_2^2 = \frac{9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)}{64}.
}
Deuxième terme
\begin{align*}
N_1^3N_3 &= \frac{(9-3r)^3}{16\times 4}\times \frac{3r^2-2r}{4}\\
&= \frac{27(3-r)^3(3r^2-2r)}{256}.
\end{align*}Vous procédez au développement suivant :
\begin{align*}
(3-r)^3(3r^2-2r) &= (-r^3+9r^2-27r+27)(3r^2-2r)\\
&= -3r^5+27r^4-81r^3+81r^2\\
&\qquad +2r^4-18r^3+54r^2-54r\\
&=-3r^5+29r^4-99r^3+135r^2-54r.
\end{align*}Du coup :
N_1^3N_3
= \frac{27(-3r^5+29r^4-99r^3+135r^2-54r)}{256}.D’où :
\boxed{
-4N_1^3N_3
= \frac{27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)}{64}.
}Troisième terme
\begin{align*}
N_2^3 &= \frac{(2r^2-6r+4)^3}{4\times 4\times 4}\\
&=\frac{2^3(r^2-3r+2)^3}{4\times 4\times 4}\\
&=\frac{4\times 2(r^2-3r+2)^3}{4\times 4\times 2\times 2}\\
&=\frac{(r^2-3r+2)^3}{4\times 2}\\
&=\frac{(r^2-3r+2)^3}{8}.
\end{align*}
Vous procédez au développement suivant :
\begin{align*}
(r^2-3r+2)^3 &= (r^2-3r+2)^2 (r^2-3r+2)\\
&= (r^4+9r^2+4-6r^3+4r^2-12r)(r^2-3r+2)\\
&= (r^4-6r^3+13r^2-12r+4)(r^2-3r+2)\\
&= r^6-6r^5+13r^4-12r^3+4r^2\\
&\qquad -3r^5+18r^4-39r^3+36r^2-12r\\
&\qquad \qquad +2r^4-12r^3+26r^2-24r+8\\
&=r^6-9r^5+33r^4-63r^3+66r^2-36r+8.
\end{align*}
Du coup :
N_2^3 =\frac{r^6-9r^5+33r^4-63r^3+66r^2-36r+8}{8}.D’où :
\boxed{
-4N_2^3 =\frac{-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8}{2}.
}Quatrième terme
\begin{align*}
N_1N_2N_3 &= \frac{9-3r}{4} \times \frac{2r^2-6r+4}{4} \times \frac{3r^2-2r}{4} \\
&=\frac{3(3-r)\times 2(r^2-3r+2)(3r^2-2r)}{16\times 2\times 2}\\
&=\frac{3(3-r)(r^2-3r+2)(3r^2-2r)}{32}.
\end{align*} Vous procédez au développement suivant :
\begin{align*}
(3-r)(r^2-3r+2)(3r^2-2r) &= (3r^2-9r+6-r^3+3r^2-2r)(3r^2-2r) \\
&= (-r^3+6r^2-11r+6)(3r^2-2r)\\
&=-3r^5+18r^4-33r^3+18r^2\\
&\qquad +2r^4-12r^3+22r^2-12r\\
&=-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r.
\end{align*}Du coup :
N_1N_2N_3 =\frac{3(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{32}.D’où :
\boxed{
18N_1N_2N_3 =\frac{27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{16}.
}Cinquième terme
\begin{align*}
N_3^2 &=\frac{(3r^2-2r)^2}{16}\\
&=\frac{9r^4-12r^3+4r^2}{16}.
\end{align*} D’où :
\boxed{-27N_3^2 = \frac{27(-9r^4+12r^3-4r^2)}{16}.}Déterminez une équation satisfaite par le réel $r$
La condition $N_1^2N_2^2-4N_1^3N_3-4N_2^3+18N_1N_2N_3-27N_3^2 = 0$ fournit :
\begin{align*}
0 &= \frac{9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)}{64}\\
&\qquad+ \frac{27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)}{64}\\
&\qquad +\frac{-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8}{2} \\
&\qquad +\frac{27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{16}\\
&\qquad +\frac{27(-9r^4+12r^3-4r^2)}{16}.
\end{align*}Vous réduisez au même dénominateur :
\begin{align*}
0 &= \frac{9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)}{64}\\
&\qquad+ \frac{27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)}{64}\\
&\qquad +\frac{32(-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8)}{64} \\
&\qquad +\frac{4\times 27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{64}\\
&\qquad +\frac{4\times 27(-9r^4+12r^3-4r^2)}{64}.
\end{align*}Il en résulte ce qui suit :
\begin{align*}
0 &= 9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)\\
&\qquad+ 27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)\\
&\qquad +32(-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8) \\
&\qquad +4\times 27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)\\
&\qquad +4\times 27(-9r^4+12r^3-4r^2).
\end{align*}Vous développez :
\begin{align*}
0 &= 9r^6-108^5+522 r^4-1296r^3+1737 r^2-1188 r+324\\
&\qquad+ 81r^5-783 r^4+2673 r^3-3645 r^2+1458r\\
&\qquad -32r^6+288r^5-1056 r^4+2016 r^3-2112 r^2+1152 r-256 \\
&\qquad -324 r^5+2160 r^4-4860 r^3+4320 r^2-1296 r\\
&\qquad -972r^4+1296 r^3-432r^2.
\end{align*}Puis vous réduisez :
\begin{align*}
0 &= (9-32) r^6+(-108+81+288-324)^5+(522-783-1056+2160-972) r^4\\
&\qquad +(-1296+ 2673+ 2016-4860+ 1296)r^3+(1737-3645-2112+ 4320-432)r^2\\
&\qquad +(-1188+ 1458+ 1152-1296)r+(324-256).
\end{align*}Vous obtenez :
-23r^6-63r^5-129r^4-171r^3-132r^2+126r+68=0.
En définitive, le réel $r$ est solution de l’équation de degré $6$ suivante qui sera appelée condition (*) :
\boxed{23r^6+63r^5+129r^4+171r^3+132r^2-126r-68=0.}Existence d’un unique réel compris entre $0$ et $1$ satisfaisant la condition (*)
Pour tout réel $x$, vous posez :
f(x) = 23 x^6 + 63 x^5 + 129 x^4 + 171 x^3 + 132 x^2 - 126 x - 68.
$f$ est une fonction polynôme de degré $6$ deux fois dérivable sur $\R.$
Pour tout réel $x$ :
\begin{align*}
f'(x) &= 138 x^5 + 315 x^4 + 516 x^3 + 513 x^2 + 264 x - 126\\
f''(x) &= 690 x^4 +1260 x^3 + 1548 x^2 + 1026 x + 264.
\end{align*} Dès que $x\in[0,1]$ vous avez $f »(x)\geq 264>0.$
La fonction $f’$ est strictement croissante sur $[0,1].$ Or $f'(0) = -126$ et $f'(1) = 1620.$ Comme $f’$ est une fonction polynôme, elle est continue sur l’intervalle $[0,1].$ Donc la fonction $f’$ réalise une bijection de $[0,1]$ vers $[-126,1620].$ Il existe unique réel $\zeta\in[0,1]$ tel que $f'(\zeta) = 0.$
La stricte croissance de $f’$ sur $[0,1]$ implique alors que $f’$ est strictement négative sur $[0, \zeta[$ et strictement positive sur $]\zeta, 1].$
La fonction $f$ est par conséquent strictement décroissante sur $[0, \zeta]$ et elle est strictement croissante sur $[\zeta, 1].$ Comme $f(0) =-68 $, $f(0)$ est strictement négatif et $f(\zeta)$ l’est aussi.
$f$ étant continue sur $[\zeta, 1]$ et strictement croissante sur cet intervalle, $f$ réalise une bijection de $[\zeta, 1]$ vers $[f(\zeta), f(1)].$ Comme $f(1)=324$, vous avez $f(\zeta)<0<324.$ Il en résulte qu’il existe un unique réel $\eta$ appartenant à $[\zeta, 1]$ tel que $f(\eta)=0.$
$f$ étant décroissante sur $[0, \zeta]$ avec $f(0)<0$ vous déduisez que pour tout $x\in[0,\zeta], f(x) < 0.$ En particulier la fonction $f$ ne s’annule pas sur $[0,\zeta].$
En définitive, il existe un unique réel (qui est $\eta$) appartenant à l’intervalle $[0, 1]$ qui annule la fonction $f.$
Dans la suite, vous définissez $r$ comme étant l’unique réel de l’intervalle $[0,1]$ tel que :
\boxed{23r^6+63r^5+129r^4+171r^3+132r^2-126r-68=0.}Etude d’un polynôme dérivé
Le réel $r$ étant défini comme indiqué ci-dessus, il est rappelé que :
P(X) = (X-1)(X-2)(X^2+rX+r^2).
Le polynôme dérivé de $P$ est :
P'(X) = 4X^3+(3r-9)X^2+(2r^2-6r+4)X+(-3r^2+2r).
Comme :
\left\{\begin{align*}
\lim_{X\to +\infty} P'(X) &= +\infty \\
\lim_{X\to -\infty} P'(X) &= -\infty
\end{align*}
\right.vous pouvez appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction $P’$ continue sur $\R.$
Il existe donc un réel $a$ tel que $P'(a)=0.$
En effectuant la division euclidienne de $P’$ par $X-a$, vous déduisez l’existence d’un polynôme réel $M$ de degré $2$ tel que :
P'(X) = (X-a)M(X).
Vous allez supposer dans la suite que $M$ n’admet pas de racine réelle.
Le polynôme $M$ admet, en tant que polynôme non constant, une racine complexe $\alpha.$
En identifiant les coefficients dominants de $P’$ et de $(X-a)M(X)$ vous déduisez qu’il existe deux réels $k$ et $\ell$ tels que :
M(X) = 4X^2+kX+\ell.
En évaluant en $\alpha$ vous avez :
4\alpha^2+k\alpha+\ell = 0.
En conjuguant, il vient :
4(\overline{\alpha})^2+k\overline{\alpha}+\ell = 0.Du coup, $M(\overline{\alpha}) = 0.$
Le polynôme $P’$ admet pour racines $a$, $\alpha$ et $\overline{\alpha}.$
Comme $a\in\R$ et comme $\alpha\notin\R$ vous avez $a\neq \alpha$ et $a\neq \overline{\alpha}.$
D’autre part, comme $\alpha\not\in\R$ vous avez $\alpha \neq \overline{\alpha}.$
Les 3 nombres complexes $a$, $\alpha$ et $\overline{\alpha}$ étant deux à deux distincts, le polynôme $P’$ se factorise ainsi :
P'(X) = 4(X-a)(X-\alpha)(X-\overline{\alpha}).Le discriminant de $P’$ est donc égal à :
((a-\alpha)(a-\overline{\alpha})(\alpha-\overline{\alpha}))^2 = ((a-\alpha)(a-\overline{\alpha}))^2 (\alpha - \overline{\alpha})^2.D’une part :
\begin{align*}
(a-\alpha)(a-\overline{\alpha}) &= (a-\alpha)(\overline{a-\alpha}) \\
&= \vert a-\alpha\vert^2
\end{align*}D’autre part :
\begin{align*}
(\alpha-\overline{\alpha}))^2 &= (2i \mathrm{Im}(\alpha))^2\\
&=-4 (\mathrm{Im}(\alpha))^2
\end{align*}Le discriminant de $P’$ calculé avec ses coefficients, fournit :
\begin{align*}
\vert a-\alpha\vert^4 (-4 ) (\mathrm{Im}(\alpha))^2 &= \frac{9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)}{64}\\
&\qquad+ \frac{27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)}{64}\\
&\qquad +\frac{-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8}{2} \\
&\qquad +\frac{27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{16}\\
&\qquad +\frac{27(-9r^4+12r^3-4r^2)}{16} \\
&=\frac{-23r^6-63r^5-129r^4-171r^3-132r^2+126r+68}{64}\\
&=-\frac{23r^6+63r^5+129r^4+171r^3+132r^2-126r-68}{64}\\
&=0.
\end{align*}Du coup, le produit suivant est nul :
\vert a-\alpha\vert^4 (\mathrm{Im}(\alpha))^2 = 0.Comme $\alpha \not\in\R$ vous déduisez $\mathrm{Im}(\alpha) \neq 0.$ Du coup vous avez :
\begin{align*}
\vert a-\alpha\vert^4 = 0\\
\vert a-\alpha\vert = 0.
\end{align*}Donc $\alpha = a$ et $\alpha\in\R$ contradiction.
Donc le polynôme $M$ admet au moins une racine réelle $b.$
Vous divisez maintenant le polynôme réel $M$ par $X-b.$
Le coefficient dominant de $M$ étant égal à $4$, vous déduisez l’existence d’un réel $c$ tel que :
M(X) = (X-b)(4X+c)
Du coup :
\begin{align*}
P'(X) &= (X-a)(X-b)(4X+c)\\
&= 4 (X-a)(X-b)(X+c/4).
\end{align*} Vous vous intéressez aux trois réels $a$, $b$ et $-c/4.$
Comme le discriminant de $P’$ est nul, deux des réels précédents parmi les trois sont égaux.
Donc $P’$ est scindé sur $\R[X]$ et admet une racine double.
Déterminez les racines de $P’$
Il est rappelé que :
P'(X) = 4X^3+(3r-9)X^2+(2r^2-6r+4)X+(-3r^2+2r).
D’après la section précédente, il existe un réel $\mu$ et un réel $\xi$ tels que :
\begin{align*}
P'(X) &= 4(X-\xi)^2(X-\mu) \\
&= (X-\xi)^2(4X-4\mu)
\end{align*}Par identification du terme de degré $2$, vous obtenez les égalités :
\begin{align*}
3r-9 &= -4\mu-8\xi\\
3r-9+8\xi &= -4\mu.
\end{align*}Donc :
P'(X) = (X-\xi)^2(4X+3r-9+8\xi).
Pour calculer $\xi$, vous allez choisir $x\in\R$ ne dépendant pas de $\xi$ tel que :
\begin{align*}
-8(x-\xi)&=4x+3r-9+8\xi\\
-8x+8\xi &= 4x+3r-9+8\xi\\
9-3r&=12x\\
3-r&=4x.
\end{align*} Les égalités suivantes vont donner une expression de $\xi$ :
\begin{align*}
P'\left(\frac{3-r}{4}\right) &= \left(\frac{3-r}{4}-\xi\right)^2 (-8)\left(\frac{3-r}{4}-\xi\right) \\
P'\left(\frac{3-r}{4}\right) &= (-8) \left(\frac{3-r}{4}-\xi\right)^3\\
\sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }&= (-2) \left(\frac{3-r}{4}-\xi\right)\\
-\frac{1}{2}\sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }&= \frac{3-r}{4}-\xi.
\end{align*} En définitive :
\boxed{\begin{align*}
\xi&= \frac{3-r}{4}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }\\
\mu &= \frac{-3r+9-8\xi}{4} .
\end{align*}
}Concluez
Vous allez déterminer un encadrement de $r$ au dixième.
Numériquement :
\begin{align*}
-37 &< f(0,6)<-36 \\
11 &< f(0,7)<12
\end{align*}$f(0,6)$ et $f(0,7)$ étant de signes contraires, vous déduisez :
\boxed{0,6< r < 0,7.}Pour obtenir un encadrement de $\xi$, vous allez d’abord calculer $P’\left(\frac{3-r}{4}\right)$ :
P'\left(\frac{3-r}{4}\right) = 4\left(\frac{3-r}{4}\right)^3+(3r-9)\left(\frac{3-r}{4}\right)^2+(2r^2-6r+4)\left(\frac{3-r}{4}\right)+(-3r^2+2r).Le membre de droite est formé de termes que vous développez.
\begin{align*}
4\left(\frac{3-r}{4}\right)^3 &=4\times\frac{(3-r)^3}{4^3}\\
&=\frac{(3-r)^3}{16}\\
&=\frac{-r^3+ 9r^2-27r+27 }{16}.
\end{align*}\begin{align*}
(3r-9)\left(\frac{3-r}{4}\right)^2 &=3(r-3)\times \frac{(r-3)^2}{16}\\
&=\frac{3(r-3)^3}{16}\\
&=\frac{3(r^3-9r^2+27r-27)}{16}\\
&=\frac{3r^3-27r^2+81r-81}{16}.
\end{align*}\begin{align*}
(2r^2-6r+4)\left(\frac{3-r}{4}\right) &= (r^2-3r+2)\times \frac{3-r}{2}\\
&=\frac{(r^2-3r+2)(3-r)}{2}\\
&=\frac{3r^2-9r+6-r^3+3r^2-2r}{2}\\
&=\frac{-r^3+6r^2-11r+6}{2}\\
&=\frac{-8r^3+48r^2-88r+48}{16}.
\end{align*}\begin{align*}
-3r^2+2r &= \frac{-48r^2+32r}{16}.
\end{align*}Par somme, vous avez :
\begin{align*}
P'\left(\frac{3-r}{4}\right) &= \frac{-r^3+ 9r^2-27r+27 }{16}+\frac{3r^3-27r^2+81r-81}{16}\\
&\qquad \frac{-8r^3+48r^2-88r+48}{16}+ \frac{-48r^2+32r}{16}\\
&=\frac{-6r^3-18r^2-2r-6}{16}\\
&=\frac{-3r^3-9r^2-r-3}{8}\\
&=-\frac{3r^3+9r^2+r+3}{8}.
\end{align*}Vous passez aux encadrements :
\begin{align*}
0,6&< r < 0,7\\
0,36&< r^2 < 0,49\\
0,216&< r^3 < 0,343\\
\end{align*}\begin{align*}
0,6&< r < 0,7\\
3,24&< 9r^2 < 4,41\\
0,648&< 3 r^3 < 1,029\\
\end{align*}Par somme :
\begin{align*}
0,648+3,24+0,6+3&< 3r^3+9r^2+r+3<1,029+4,41+0,7+3\\
7,488&< 3r^3+9r^2+r+3 < 9,139\\
0,936&< \frac{3r^3+9r^2+r+3}{8} < 1,14238\\
-1,14238 &< P'\left(\frac{3-r}{4}\right) < -0,936\\
\sqrt[3]{-1,14238} &< \sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }< \sqrt[3]{ -0,936 }\\
-1,0454 &< \sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }<-0,9781\\
-0,5227 &< \frac{1}{2}\sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }<-0,4890.
\end{align*}Or :
\begin{align*}
0,6&< r < 0,7\\
-0,7&< -r < -0,6\\
2,3&< 3-r < 2,4\\
0,575&< \frac{3-r}{4} < 0,6.
\end{align*}Par somme :
0,575-0,5227<\xi < 0,6-0,4890
Du coup :
\boxed{0,0523<\xi<0,1110.}Comme $\xi$ est une racine du polynôme $P’$, il a bien été prouvé que $\xi \notin[1,2].$
Il existe une racine réelle de $P’$ qui n’est pas comprise entre la plus grande racine réelle de $P$ et la plus petite racine de $P.$ Le théorème de Gauss-Lucas ne peut pas être cantonné au cas réel.
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