Le théorème de Gauss-Lucas énonce que les racines complexes du polynôme dérivé d’un polynôme complexe non constant sont toutes situées à l’intérieur de la région convexe délimitée par les racines du polynôme initial. Vous en trouverez une démonstration rédigée dans le contenu [yanniswp_article_link nb= »320″ desc= »de l’article 320″].
Autrement dit, si vous visualisez les racines du polynôme complexe comme des points sur un plan complexe, alors les racines du polynôme dérivé sont nécessairement contenues à l’intérieur du polygone formé par ces points.
Si vous vous cantonnez au cas réel, le résultat précédent peut devenir faux. C’est l’objet de cet article : les racines réelles de la dérivée d’un polynôme non constant ne sont pas nécessairement toutes situées à l’intérieur de la région convexe délimitée par les racines réelles du polynôme initial.
Utilisez un polynôme réel non scindé
Soit $r$ un nombre réel non nul qui sera choisi plus tard. Vous définissez un polynôme $P\in\R[X]$ en posant :
P(X) = (X-1)(X-2)(X^2+rX+r^2).
Le discriminant du trinôme $X^2+rX+r^2$ est égal à :
\Delta = r^2-4r^2=-3r^2.
Ainsi, $\Delta$ est strictement négatif. Du coup, $X^2+rX+r^2$ n’a pas de racine réelle et par suite, le polynôme $P$, en tant qu’élément de $\R[X]$ n’est pas scindé.
Il admet $1$ et $2$ pour racines, les deux autres étant complexes non réelles.
La région convexe délimitée par les racines réelles de $P$ est l’intervalle $[1,2].$ Il sera montré dans la suite que le polynôme $P’$ admet une racine réelle n’appartenant pas cet intervalle.
Calculez le polynôme dérivé
Vous utilisez la formule de dérivation d’un produit composé de trois facteurs.
Il vient :
\begin{align*}
P'(X) &= (X-2)(X^2+rX+r^2) + (X-1)(X^2+rX+r^2)+(X-1)(X-2)(2X+r) \\
&=(2X-3)(X^2+rX+r^2)+(X^2-3X+2)(2X+r)\\
&=2X^3+2rX^2+2r^2X-3X^2-3rX-3r^2\\
&\quad + 2X^3-6X^2+4X+rX^2-3rX+2r\\
&=4X^3+(3r-9)X^2+(2r^2-6r+4)X+(-3r^2+2r).
\end{align*} Analysez la situation pour effectuer un bon choix
Supposez que $r$ soit choisi pour que le polynôme $P’$ admette exactement deux racines réelles. Ce choix est motivé par le fait que les deux racines précédentes sont rapidement calculables en fonction des coefficients de ce polynôme.
Vous notez $u\in\R$ et $v\in\R$ les deux racines réelles de $P’$ avec $u\neq v.$
Vous effectuez la division euclidienne de $P’$ par $X-u.$ Puisque $u$ est racine de $P’$, il existe un polynôme réel $Q$ de degré $2$ tel que :
P'(X) = (X-u)Q(X)
En évaluant cette expression en $v$, il vient $0 = (v-u)Q(v).$ Ainsi $Q(v) = 0.$
Vous effectuez la division euclidienne de $Q$ par $X-v$ et déduisez l’existence d’un polynôme réel $S$ de degré $1$ tel que :
Q(X) = (X-v)S(X).
Du coup :
P'(X) = (X-u)(X-v)S(X).
Par identification du coefficient dominant de $P’$ avec celui du polynôme $(X-u)(X-v)S(X)$ vous déduisez que le coefficient dominant de $S$ est égal à $4.$ En appelant $w\in\R$ le coefficient constant du polynôme $S$, il vient :
P'(X) = (X-u)(X-v)(4X+w).
Cela conduit à :
P'\left(\frac{-w}{4}\right) = 0.Si vous aviez :
\frac{-w}{4}\not\in\{u,v\}Alors le polynôme $P’$ admettrait trois racines réelles, ce qui est exclu.
Donc $\frac{-w}{4}\in\{u,v\}.$
1er cas. Si $u = \frac{-w}{4}$ vous écrivez :
\begin{align*}
P'(X) & = 4(X-u)(X-v)\left(X+\frac{w}{4}\right)\\
&= 4(X-u)(X-v)(X-u).
\end{align*}
$P’$ admet donc une racine double.
En notant $\Delta$ le discriminant du polynôme $P’$, il vient $\Delta = 0.$
2nd cas. Si $v = \frac{-w}{4}$ vous écrivez :
\begin{align*}
P'(X) & = 4(X-u)(X-v)\left(X+\frac{w}{4}\right)\\
&= 4(X-u)(X-v)(X-v).
\end{align*}
$P’$ admet encore une racine double.
A nouveau, le discriminant du polynôme $P’$ est nul.
En suivant les notations du contenu rédigé [yanniswp_article_link nb= »146″ desc= »dans l’article 146″] vous posez :
\begin{align*}
N_1 &= \frac{9-3r}{4}\\
N_2 &=\frac{2r^2-6r+4}{4}\\
N_3 &=\frac{3r^2-2r}{4}.
\end{align*}Cet article montre que le discriminant se calcule par l’expression suivante :
\Delta = N_1^2N_2^2-4N_1^3N_3-4N_2^3+18N_1N_2N_3-27N_3^2.
Avec l’étude précédente vous déduisez :
N_1^2N_2^2-4N_1^3N_3-4N_2^3+18N_1N_2N_3-27N_3^2 = 0.
Vous développez les termes de cette expression les uns après les autres de façon à trouver une équation satisfaite par $r.$
Procédez au calcul détaillé des termes du discriminant du polynôme $P’$ de degré $3$
Premier terme
\begin{align*}
N_1^2N_2^2 &=\frac{(9-3r)^2}{16}\times \frac{(2r^2-6r+4)^2}{16}\\
&= \frac{9(r^2-6r+9) \times 4 (r^2-3r+2)^2}{16\times 4\times 4}\\
&= \frac{9(r^2-6r+9)(r^2-3r+2)^2}{64}\\
&= \frac{9(r^2-6r+9)(r^4+9r^2+4-6r^3+4r^2-12r)}{64}\\
&= \frac{9(r^2-6r+9)(r^4-6r^3+13r^2-12r+4)}{64}\\
\end{align*}
Vous procédez au développement suivant :
\begin{align*}
(r^2-6r+9)(r^4-6r^3+13r^2-12r+4) &= r^6-6r^5+13r^4-2\times 6r^3+4r^2\\
&\qquad -6r^5+36r^4-13\times 6 r^3+72r^2-24r\\
&\qquad \qquad \quad+9r^4-9\times 6r^3+117 r^2-108r+36\\
&=r^6-12r^5+58r^4-24\times 6r^3+193r^2-132r+36\\
&=r^6-12r^5+58r^4-12\times 12r^3+193r^2-132r+36\\
&=r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36.
\end{align*}Du coup :
\boxed{
N_1^2N_2^2 = \frac{9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)}{64}.
}
Deuxième terme
\begin{align*}
N_1^3N_3 &= \frac{(9-3r)^3}{16\times 4}\times \frac{3r^2-2r}{4}\\
&= \frac{27(3-r)^3(3r^2-2r)}{256}.
\end{align*}Vous procédez au développement suivant :
\begin{align*}
(3-r)^3(3r^2-2r) &= (-r^3+9r^2-27r+27)(3r^2-2r)\\
&= -3r^5+27r^4-81r^3+81r^2\\
&\qquad +2r^4-18r^3+54r^2-54r\\
&=-3r^5+29r^4-99r^3+135r^2-54r.
\end{align*}Du coup :
N_1^3N_3
= \frac{27(-3r^5+29r^4-99r^3+135r^2-54r)}{256}.D’où :
\boxed{
-4N_1^3N_3
= \frac{27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)}{64}.
}Troisième terme
\begin{align*}
N_2^3 &= \frac{(2r^2-6r+4)^3}{4\times 4\times 4}\\
&=\frac{2^3(r^2-3r+2)^3}{4\times 4\times 4}\\
&=\frac{4\times 2(r^2-3r+2)^3}{4\times 4\times 2\times 2}\\
&=\frac{(r^2-3r+2)^3}{4\times 2}\\
&=\frac{(r^2-3r+2)^3}{8}.
\end{align*}
Vous procédez au développement suivant :
\begin{align*}
(r^2-3r+2)^3 &= (r^2-3r+2)^2 (r^2-3r+2)\\
&= (r^4+9r^2+4-6r^3+4r^2-12r)(r^2-3r+2)\\
&= (r^4-6r^3+13r^2-12r+4)(r^2-3r+2)\\
&= r^6-6r^5+13r^4-12r^3+4r^2\\
&\qquad -3r^5+18r^4-39r^3+36r^2-12r\\
&\qquad \qquad +2r^4-12r^3+26r^2-24r+8\\
&=r^6-9r^5+33r^4-63r^3+66r^2-36r+8.
\end{align*}
Du coup :
N_2^3 =\frac{r^6-9r^5+33r^4-63r^3+66r^2-36r+8}{8}.D’où :
\boxed{
-4N_2^3 =\frac{-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8}{2}.
}Quatrième terme
\begin{align*}
N_1N_2N_3 &= \frac{9-3r}{4} \times \frac{2r^2-6r+4}{4} \times \frac{3r^2-2r}{4} \\
&=\frac{3(3-r)\times 2(r^2-3r+2)(3r^2-2r)}{16\times 2\times 2}\\
&=\frac{3(3-r)(r^2-3r+2)(3r^2-2r)}{32}.
\end{align*} Vous procédez au développement suivant :
\begin{align*}
(3-r)(r^2-3r+2)(3r^2-2r) &= (3r^2-9r+6-r^3+3r^2-2r)(3r^2-2r) \\
&= (-r^3+6r^2-11r+6)(3r^2-2r)\\
&=-3r^5+18r^4-33r^3+18r^2\\
&\qquad +2r^4-12r^3+22r^2-12r\\
&=-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r.
\end{align*}Du coup :
N_1N_2N_3 =\frac{3(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{32}.D’où :
\boxed{
18N_1N_2N_3 =\frac{27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{16}.
}Cinquième terme
\begin{align*}
N_3^2 &=\frac{(3r^2-2r)^2}{16}\\
&=\frac{9r^4-12r^3+4r^2}{16}.
\end{align*} D’où :
\boxed{-27N_3^2 = \frac{27(-9r^4+12r^3-4r^2)}{16}.}Déterminez une équation satisfaite par le réel $r$
La condition $N_1^2N_2^2-4N_1^3N_3-4N_2^3+18N_1N_2N_3-27N_3^2 = 0$ fournit :
\begin{align*}
0 &= \frac{9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)}{64}\\
&\qquad+ \frac{27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)}{64}\\
&\qquad +\frac{-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8}{2} \\
&\qquad +\frac{27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{16}\\
&\qquad +\frac{27(-9r^4+12r^3-4r^2)}{16}.
\end{align*}Vous réduisez au même dénominateur :
\begin{align*}
0 &= \frac{9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)}{64}\\
&\qquad+ \frac{27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)}{64}\\
&\qquad +\frac{32(-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8)}{64} \\
&\qquad +\frac{4\times 27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{64}\\
&\qquad +\frac{4\times 27(-9r^4+12r^3-4r^2)}{64}.
\end{align*}Il en résulte ce qui suit :
\begin{align*}
0 &= 9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)\\
&\qquad+ 27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)\\
&\qquad +32(-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8) \\
&\qquad +4\times 27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)\\
&\qquad +4\times 27(-9r^4+12r^3-4r^2).
\end{align*}Vous développez :
\begin{align*}
0 &= 9r^6-108^5+522 r^4-1296r^3+1737 r^2-1188 r+324\\
&\qquad+ 81r^5-783 r^4+2673 r^3-3645 r^2+1458r\\
&\qquad -32r^6+288r^5-1056 r^4+2016 r^3-2112 r^2+1152 r-256 \\
&\qquad -324 r^5+2160 r^4-4860 r^3+4320 r^2-1296 r\\
&\qquad -972r^4+1296 r^3-432r^2.
\end{align*}Puis vous réduisez :
\begin{align*}
0 &= (9-32) r^6+(-108+81+288-324)^5+(522-783-1056+2160-972) r^4\\
&\qquad +(-1296+ 2673+ 2016-4860+ 1296)r^3+(1737-3645-2112+ 4320-432)r^2\\
&\qquad +(-1188+ 1458+ 1152-1296)r+(324-256).
\end{align*}Vous obtenez :
-23r^6-63r^5-129r^4-171r^3-132r^2+126r+68=0.
En définitive, le réel $r$ est solution de l’équation de degré $6$ suivante qui sera appelée condition (*) :
\boxed{23r^6+63r^5+129r^4+171r^3+132r^2-126r-68=0.}Existence d’un unique réel compris entre $0$ et $1$ satisfaisant la condition (*)
Pour tout réel $x$, vous posez :
f(x) = 23 x^6 + 63 x^5 + 129 x^4 + 171 x^3 + 132 x^2 - 126 x - 68.
$f$ est une fonction polynôme de degré $6$ deux fois dérivable sur $\R.$
Pour tout réel $x$ :
\begin{align*}
f'(x) &= 138 x^5 + 315 x^4 + 516 x^3 + 513 x^2 + 264 x - 126\\
f''(x) &= 690 x^4 +1260 x^3 + 1548 x^2 + 1026 x + 264.
\end{align*} Dès que $x\in[0,1]$ vous avez $f »(x)\geq 264>0.$
La fonction $f’$ est strictement croissante sur $[0,1].$ Or $f'(0) = -126$ et $f'(1) = 1620.$ Comme $f’$ est une fonction polynôme, elle est continue sur l’intervalle $[0,1].$ Donc la fonction $f’$ réalise une bijection de $[0,1]$ vers $[-126,1620].$ Il existe unique réel $\zeta\in[0,1]$ tel que $f'(\zeta) = 0.$
La stricte croissance de $f’$ sur $[0,1]$ implique alors que $f’$ est strictement négative sur $[0, \zeta[$ et strictement positive sur $]\zeta, 1].$
La fonction $f$ est par conséquent strictement décroissante sur $[0, \zeta]$ et elle est strictement croissante sur $[\zeta, 1].$ Comme $f(0) =-68 $, $f(0)$ est strictement négatif et $f(\zeta)$ l’est aussi.
$f$ étant continue sur $[\zeta, 1]$ et strictement croissante sur cet intervalle, $f$ réalise une bijection de $[\zeta, 1]$ vers $[f(\zeta), f(1)].$ Comme $f(1)=324$, vous avez $f(\zeta)<0<324.$ Il en résulte qu’il existe un unique réel $\eta$ appartenant à $[\zeta, 1]$ tel que $f(\eta)=0.$
$f$ étant décroissante sur $[0, \zeta]$ avec $f(0)<0$ vous déduisez que pour tout $x\in[0,\zeta], f(x) < 0.$ En particulier la fonction $f$ ne s’annule pas sur $[0,\zeta].$
En définitive, il existe un unique réel (qui est $\eta$) appartenant à l’intervalle $[0, 1]$ qui annule la fonction $f.$
Dans la suite, vous définissez $r$ comme étant l’unique réel de l’intervalle $[0,1]$ tel que :
\boxed{23r^6+63r^5+129r^4+171r^3+132r^2-126r-68=0.}Etude d’un polynôme dérivé
Le réel $r$ étant défini comme indiqué ci-dessus, il est rappelé que :
P(X) = (X-1)(X-2)(X^2+rX+r^2).
Le polynôme dérivé de $P$ est :
P'(X) = 4X^3+(3r-9)X^2+(2r^2-6r+4)X+(-3r^2+2r).
Comme :
\left\{\begin{align*}
\lim_{X\to +\infty} P'(X) &= +\infty \\
\lim_{X\to -\infty} P'(X) &= -\infty
\end{align*}
\right.vous pouvez appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction $P’$ continue sur $\R.$
Il existe donc un réel $a$ tel que $P'(a)=0.$
En effectuant la division euclidienne de $P’$ par $X-a$, vous déduisez l’existence d’un polynôme réel $M$ de degré $2$ tel que :
P'(X) = (X-a)M(X).
Vous allez supposer dans la suite que $M$ n’admet pas de racine réelle.
Le polynôme $M$ admet, en tant que polynôme non constant, une racine complexe $\alpha.$
En identifiant les coefficients dominants de $P’$ et de $(X-a)M(X)$ vous déduisez qu’il existe deux réels $k$ et $\ell$ tels que :
M(X) = 4X^2+kX+\ell.
En évaluant en $\alpha$ vous avez :
4\alpha^2+k\alpha+\ell = 0.
En conjuguant, il vient :
4(\overline{\alpha})^2+k\overline{\alpha}+\ell = 0.Du coup, $M(\overline{\alpha}) = 0.$
Le polynôme $P’$ admet pour racines $a$, $\alpha$ et $\overline{\alpha}.$
Comme $a\in\R$ et comme $\alpha\notin\R$ vous avez $a\neq \alpha$ et $a\neq \overline{\alpha}.$
D’autre part, comme $\alpha\not\in\R$ vous avez $\alpha \neq \overline{\alpha}.$
Les 3 nombres complexes $a$, $\alpha$ et $\overline{\alpha}$ étant deux à deux distincts, le polynôme $P’$ se factorise ainsi :
P'(X) = 4(X-a)(X-\alpha)(X-\overline{\alpha}).Le discriminant de $P’$ est donc égal à :
((a-\alpha)(a-\overline{\alpha})(\alpha-\overline{\alpha}))^2 = ((a-\alpha)(a-\overline{\alpha}))^2 (\alpha - \overline{\alpha})^2.D’une part :
\begin{align*}
(a-\alpha)(a-\overline{\alpha}) &= (a-\alpha)(\overline{a-\alpha}) \\
&= \vert a-\alpha\vert^2
\end{align*}D’autre part :
\begin{align*}
(\alpha-\overline{\alpha}))^2 &= (2i \mathrm{Im}(\alpha))^2\\
&=-4 (\mathrm{Im}(\alpha))^2
\end{align*}Le discriminant de $P’$ calculé avec ses coefficients, fournit :
\begin{align*}
\vert a-\alpha\vert^4 (-4 ) (\mathrm{Im}(\alpha))^2 &= \frac{9(r^6-12r^5+58r^4-144r^3+193r^2-132r+36)}{64}\\
&\qquad+ \frac{27(3r^5-29r^4+99r^3-135r^2+54r)}{64}\\
&\qquad +\frac{-r^6+9r^5-33r^4+63r^3-66r^2+36r-8}{2} \\
&\qquad +\frac{27(-3r^5+20r^4-45r^3+40r^2-12r)}{16}\\
&\qquad +\frac{27(-9r^4+12r^3-4r^2)}{16} \\
&=\frac{-23r^6-63r^5-129r^4-171r^3-132r^2+126r+68}{64}\\
&=-\frac{23r^6+63r^5+129r^4+171r^3+132r^2-126r-68}{64}\\
&=0.
\end{align*}Du coup, le produit suivant est nul :
\vert a-\alpha\vert^4 (\mathrm{Im}(\alpha))^2 = 0.Comme $\alpha \not\in\R$ vous déduisez $\mathrm{Im}(\alpha) \neq 0.$ Du coup vous avez :
\begin{align*}
\vert a-\alpha\vert^4 = 0\\
\vert a-\alpha\vert = 0.
\end{align*}Donc $\alpha = a$ et $\alpha\in\R$ contradiction.
Donc le polynôme $M$ admet au moins une racine réelle $b.$
Vous divisez maintenant le polynôme réel $M$ par $X-b.$
Le coefficient dominant de $M$ étant égal à $4$, vous déduisez l’existence d’un réel $c$ tel que :
M(X) = (X-b)(4X+c)
Du coup :
\begin{align*}
P'(X) &= (X-a)(X-b)(4X+c)\\
&= 4 (X-a)(X-b)(X+c/4).
\end{align*} Vous vous intéressez aux trois réels $a$, $b$ et $-c/4.$
Comme le discriminant de $P’$ est nul, deux des réels précédents parmi les trois sont égaux.
Donc $P’$ est scindé sur $\R[X]$ et admet une racine double.
Déterminez les racines de $P’$
Il est rappelé que :
P'(X) = 4X^3+(3r-9)X^2+(2r^2-6r+4)X+(-3r^2+2r).
D’après la section précédente, il existe un réel $\mu$ et un réel $\xi$ tels que :
\begin{align*}
P'(X) &= 4(X-\xi)^2(X-\mu) \\
&= (X-\xi)^2(4X-4\mu)
\end{align*}Par identification du terme de degré $2$, vous obtenez les égalités :
\begin{align*}
3r-9 &= -4\mu-8\xi\\
3r-9+8\xi &= -4\mu.
\end{align*}Donc :
P'(X) = (X-\xi)^2(4X+3r-9+8\xi).
Pour calculer $\xi$, vous allez choisir $x\in\R$ ne dépendant pas de $\xi$ tel que :
\begin{align*}
-8(x-\xi)&=4x+3r-9+8\xi\\
-8x+8\xi &= 4x+3r-9+8\xi\\
9-3r&=12x\\
3-r&=4x.
\end{align*} Les égalités suivantes vont donner une expression de $\xi$ :
\begin{align*}
P'\left(\frac{3-r}{4}\right) &= \left(\frac{3-r}{4}-\xi\right)^2 (-8)\left(\frac{3-r}{4}-\xi\right) \\
P'\left(\frac{3-r}{4}\right) &= (-8) \left(\frac{3-r}{4}-\xi\right)^3\\
\sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }&= (-2) \left(\frac{3-r}{4}-\xi\right)\\
-\frac{1}{2}\sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }&= \frac{3-r}{4}-\xi.
\end{align*} En définitive :
\boxed{\begin{align*}
\xi&= \frac{3-r}{4}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }\\
\mu &= \frac{-3r+9-8\xi}{4} .
\end{align*}
}Concluez
Vous allez déterminer un encadrement de $r$ au dixième.
Numériquement :
\begin{align*}
-37 &< f(0,6)<-36 \\
11 &< f(0,7)<12
\end{align*}$f(0,6)$ et $f(0,7)$ étant de signes contraires, vous déduisez :
\boxed{0,6< r < 0,7.}Pour obtenir un encadrement de $\xi$, vous allez d’abord calculer $P’\left(\frac{3-r}{4}\right)$ :
P'\left(\frac{3-r}{4}\right) = 4\left(\frac{3-r}{4}\right)^3+(3r-9)\left(\frac{3-r}{4}\right)^2+(2r^2-6r+4)\left(\frac{3-r}{4}\right)+(-3r^2+2r).Le membre de droite est formé de termes que vous développez.
\begin{align*}
4\left(\frac{3-r}{4}\right)^3 &=4\times\frac{(3-r)^3}{4^3}\\
&=\frac{(3-r)^3}{16}\\
&=\frac{-r^3+ 9r^2-27r+27 }{16}.
\end{align*}\begin{align*}
(3r-9)\left(\frac{3-r}{4}\right)^2 &=3(r-3)\times \frac{(r-3)^2}{16}\\
&=\frac{3(r-3)^3}{16}\\
&=\frac{3(r^3-9r^2+27r-27)}{16}\\
&=\frac{3r^3-27r^2+81r-81}{16}.
\end{align*}\begin{align*}
(2r^2-6r+4)\left(\frac{3-r}{4}\right) &= (r^2-3r+2)\times \frac{3-r}{2}\\
&=\frac{(r^2-3r+2)(3-r)}{2}\\
&=\frac{3r^2-9r+6-r^3+3r^2-2r}{2}\\
&=\frac{-r^3+6r^2-11r+6}{2}\\
&=\frac{-8r^3+48r^2-88r+48}{16}.
\end{align*}\begin{align*}
-3r^2+2r &= \frac{-48r^2+32r}{16}.
\end{align*}Par somme, vous avez :
\begin{align*}
P'\left(\frac{3-r}{4}\right) &= \frac{-r^3+ 9r^2-27r+27 }{16}+\frac{3r^3-27r^2+81r-81}{16}\\
&\qquad \frac{-8r^3+48r^2-88r+48}{16}+ \frac{-48r^2+32r}{16}\\
&=\frac{-6r^3-18r^2-2r-6}{16}\\
&=\frac{-3r^3-9r^2-r-3}{8}\\
&=-\frac{3r^3+9r^2+r+3}{8}.
\end{align*}Vous passez aux encadrements :
\begin{align*}
0,6&< r < 0,7\\
0,36&< r^2 < 0,49\\
0,216&< r^3 < 0,343\\
\end{align*}\begin{align*}
0,6&< r < 0,7\\
3,24&< 9r^2 < 4,41\\
0,648&< 3 r^3 < 1,029\\
\end{align*}Par somme :
\begin{align*}
0,648+3,24+0,6+3&< 3r^3+9r^2+r+3<1,029+4,41+0,7+3\\
7,488&< 3r^3+9r^2+r+3 < 9,139\\
0,936&< \frac{3r^3+9r^2+r+3}{8} < 1,14238\\
-1,14238 &< P'\left(\frac{3-r}{4}\right) < -0,936\\
\sqrt[3]{-1,14238} &< \sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }< \sqrt[3]{ -0,936 }\\
-1,0454 &< \sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }<-0,9781\\
-0,5227 &< \frac{1}{2}\sqrt[3]{P'\left(\frac{3-r}{4}\right) }<-0,4890.
\end{align*}Or :
\begin{align*}
0,6&< r < 0,7\\
-0,7&< -r < -0,6\\
2,3&< 3-r < 2,4\\
0,575&< \frac{3-r}{4} < 0,6.
\end{align*}Par somme :
0,575-0,5227<\xi < 0,6-0,4890
Du coup :
\boxed{0,0523<\xi<0,1110.}Comme $\xi$ est une racine du polynôme $P’$, il a bien été prouvé que $\xi \notin[1,2].$
Il existe une racine réelle de $P’$ qui n’est pas comprise entre la plus grande racine réelle de $P$ et la plus petite racine de $P.$ Le théorème de Gauss-Lucas ne peut pas être cantonné au cas réel.