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336. Un contre-exemple au théorème de Gauss-Lucas dans le cas réel

Le Théorème de Gauss-Lucas énonce que les racines du polynôme dérivé d’un polynôme non constant sont toutes situées à l’intérieur de la région convexe délimitée par les racines du polynôme initial.

Autrement dit, si vous visualisez les racines du polynôme comme des points sur un plan complexe, alors les racines du polynôme dérivé sont nécessairement contenues à l’intérieur du polygone formé par ces points.

Si vous vous cantonnez au cas réel, le résultat précédent peut devenir faux. C’est l’objet de cet article.

Utilisez un polynôme réel non scindé

Soit $r$ un nombre réel non nul qui sera choisi plus tard. Vous définissez un polynôme $P\in\R[X]$ en posant :

P(X) = (X-1)(X-2)(X^2+rX+r^2).

Le discriminant du trinôme $X^2+rX+r^2$ est égal à :

\Delta = r^2-4r^2=-3r^2.

Ainsi, $\Delta$ est strictement négatif. Du coup, $X^2+rX+r^2$ n’a pas de racine réelle et par suite, le polynôme $P$, en tant qu’élément de $\R[X]$ n’est pas scindé.


On pose P(X)=(X-1)(X-2)(X^2+rX+r^2), de sorte que P admette 1 et 2 pour racines, les deux autres étant complexes non réelles. Par le théorème de Rolle, on sait que P’ admet une racine strictement comprise entre 1 et 2.
Or P’ est un polynôme du troisième degré.
Pour qu’il admette exactement 2 racines réelles, son discriminant doit être nul.
Les calculs conduisent à choisir r de sorte qu’il soit solution de l’équation -68-126 r+132 r^2+171 r^3+129 r^4+63 r^5+23 r^6 = 0. Or, une telle équation admet une solution (et une seule) comprise entre 0 et 1, elle vaut environ 0.67974.

Pour conclure : on appelle r l’unique racine comprise entre 0 et 1 du polynôme -68-126 r+132 r^2+171 r^3+129 r^4+63 r^5+23 r^6.
On pose P(X) = (X-1)(X-2)(X^2+rX+r^2).
Alors P’ admet exactement deux racines réelles. L’une est comprise entre 1 et 2 (par le théorème de Rolle) elle vaut environ 1,6 et c’est une racine simple de P’ et l’autre, racine double de P’ vaut environ 0,0643.

Ainsi P’ admet une racine qui n’appartient pas à l’intervalle [1,2], formé par la plus grande racine réelle de P et la plus petite (cf le graphe).

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