348. Minorez le PPCM des n premiers entiers naturels

Dans ce contenu, vous allez démontrer que pour tout entier $n$ non nul, le plus petit commun multiple des entiers naturels allant de $1$ à $n$ est supérieur ou égal à $\frac{2^n}{4}\comma$ ce qui s’écrit :

\forall n\geq 1, \quad \ppcm(1,\dots,n) \geq \frac{2^n}{4}.

Une inégalité du second degré

Tout d’abord, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0,1]$ vous allez montrer que $x(1-x)\leq \frac{1}{4}.$

Vous fixez un réel $x$ compris entre $0$ et $1.$

\begin{align*} 4x(1-x)-1 &= 4x-4x^2-1\\ &= -(4x^2-4x+1)\\ &= -(2x-1)^2. \end{align*}

Le réel $4x(1-x)-1$ est égal à l’opposé d’un carré, il est donc négatif ou nul. Il s’ensuit que :

\begin{align*} 4x(1-x)-1 \leq 0\\ 4x(1-x)\leq 1\\ x(1-x)\leq \frac{1}{4}. \end{align*}

Lien entre un $\ppcm$ et une intégrale

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Pour tout $x\in [0,1]\comma$ le réel $x(1-x)$ est positif et il est inférieur ou égal à $\frac{1}{4}.$ En élevant à la puissance $n\comma$ il vient :

\begin{align*} (x(1-x))^n\leq \frac{1}{4^n}\\ x^n(1-x)^n \leq \frac{1}{4^n}. \end{align*}

Vous notez $I = \int_0^1 x^n(1-x)^n\dx.$ En intégrant l’inégalité précédente sur l’intervalle $[0,1]\comma$ qui est de longueur $1\comma$ vous avez :

\boxed{I\leq \frac{1}{4^n}.}

En utilisant la formule du binôme, vous avez :

(1-x)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^{k}x^k.

En multipliant par $x^n$ il vient :

x^n(1-x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^kx^{n+k}.

Par linéarité de l’intégrale, l’intégrale $I$ se calcule de la façon suivante :

\begin{align*} I &= \int_0^1 x^n(1-x)^n\dx\\ &= \int_0^1 \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^kx^{n+k}\dx \\ &=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k\int_0^1 x^{n+k}\dx \\ &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k\ \left[\frac{x^{n+k+1}}{n+k+1}\right]_0^1\\ &=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k\ \frac{1}{n+k+1}. \end{align*}

Notez $\mu = \ppcm(1,\dots,2n+1)$ le plus petit commun multiple de tous les entiers naturels allant de $1$ jusqu’à $2n+1.$

Vous avez :

\mu I = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k\ \frac{\mu}{n+k+1}.

Or, quel que soit $k\in\llbracket 0, n\rrbracket\comma$ l’entier $n+k+1$ est compris entre $n+1$ et $2n+1\comma$ donc par définition de $\mu\comma$ $n+k+1 \mid \mu$ et $\frac{\mu}{n+k+1}\in\N.$

Pour tout $k\in \llbracket 0, n\rrbracket$ le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est un nombre entier. Par produit et par somme, vous déduisez que $\mu I$ est un nombre entier relatif.

D’autre part, en utilisant la relation de Chasles sur les intégrales :

I = \int_{0}^{1/4} x^n(1-x)^n\dx + \int_{1/4}^{3/4} x^n(1-x)^n\dx + \int_{3/4}^1 x^n(1-x)^n\dx.

Sur les intervalles $[0,1/4]$ et $[3/4,1]$ la fonction $x\mapsto x^n(1-x)^n$ est positive, il en résulte que, par intégration, les intégrales $\int_{0}^{1/4} x^n(1-x)^n\dx$ et $\int_{3/4}^1 x^n(1-x)^n\dx$ sont positives. Il s’ensuit que :

I\geq \int_{1/4}^{3/4} x^n(1-x)^n\dx.

Or, quand $x\in[1/4, 3/4]$ vous avez aussi $1-x\in[1/4, 3/4]$ si bien que, par produit de réels positifs, $x(1-x)\in[1/16, 9/16].$

Pour tout $x\in[1/4, 3/4]\comma$ $x(1-x)\geq \frac{1}{16}$ donc en élevant à la puissance $n\comma$ il vient $x^n(1-x)^n\geq \frac{1}{16^n}.$ En intégrant sur l’intervalle $[1/4, 3/4]$ vous déduisez :

\begin{align*} \int_{1/4}^{3/4} x^n(1-x)^n\dx &\geq \int_{1/4}^{3/4} \frac{1}{16^n}\dx \\ &\geq \left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)\frac{1}{16^n}\\ &\geq \frac{1}{2\times 16^n}. \end{align*}

Vous déduisez finalement que $I\geq \frac{1}{2\times 16^n}.$ Le réel $I$ est donc strictement positif.

Comme $\mu \geq 1$ vous déduisez que $\mu I$ est un entier strictement positif, donc $\boxed{\mu I \geq 1.}$

En divisant par $I\comma$ qui est strictement positif, vous obtenez $\mu \geq \frac{1}{I}.$

Or, il a été montré que $I\leq \frac{1}{4^n}$ donc $\frac{1}{I }\geq 4^n$ ce qui donne $\mu \geq 4^n.$

Finalement, il a été montré le résultat suivant :

\boxed{\forall n\geq 1, \quad \ppcm(1, \dots, 2n+1)\geq 4^n.}

Passez au cas général

Lorsque $n=1\comma$ $\ppcm(1, \dots, n) = \ppcm(1) = 1.$ Or $1$ est bien supérieur ou égal à $\frac{1}{2} = \frac{2^1}{4}.$

Lorsque $n=2\comma$ $\ppcm(1, \dots, n) = \ppcm(1, 2) = 2.$ Or $2$ est bien supérieur ou égal à $1 = \frac{2^2}{4}.$

Soit maintenant $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3.$

Cas où $n$ est impair

Comme $n-1$ est pair et supérieur ou égal à $2\comma$ il existe un entier naturel $m\geq 1$ tel que $n-1 = 2m.$

Comme $\ppcm(1, \dots, n) = \ppcm(1,\dots,2m+1)$ il vient :

\begin{align*} \ppcm(1, \dots, n) &\geq 4^m \\ &\geq (2^2)^m \\ &\geq 2^{2m}\\ &\geq 2^{n-1}\\ &\geq \frac{2^n}{2}\\ &\geq \frac{2^n}{4}. \end{align*}

Cas où $n$ est pair

Il s’agit de se ramener au cas impair.

Notez que $\ppcm(1,\dots, n)$ est un multiple commun des $n-1$ entiers allant de $1$ jusqu’à $n-1.$

Comme $\ppcm(1, \dots, n-1)$ est le plus petit commun multiple strictement positif de ces $n-1$ entiers, vous déduisez :

\ppcm(1, \dots, n) \geq \ppcm(1, \dots, n-1).

Comme $n$ est pair et supérieur ou égal à $3$ il est même supérieur ou égal à $4.$

Donc $n-1$ est impair et il est supérieur ou égal à $3.$ Il existe un entier $m\geq 1$ tel que $n-1 = 2m+1.$ Comme $\ppcm(1, \dots, n-1) = \ppcm(1,\dots,2m+1)$ vous déduisez :

\begin{align*} \ppcm(1, \dots, n) &\geq \ppcm(1, \dots, n-1)\\ &\geq \ppcm(1, \dots, 2m+1)\\ &\geq 4^m\\ &\geq 2^{2m}\\ &\geq 2^{n-2}\\ &\geq \frac{2^n}{4}. \end{align*}

Concluez

Le résultat suivant est bien démontré :

\boxed{\forall n\geq 1, \quad \ppcm(1,\dots,n) \geq \frac{2^n}{4}.}