Dans cet article, vous allez démontrer que pour tout entier $n$ non nul, le plus petit multiple commun des entiers naturels allant à de $1$ à $n$, est supérieur ou égal à $\frac{2^n}{4}$, ce qui s’écrit :
\forall n\geq 1, \quad PPCM(1,\dots,n) \geq \frac{2^n}{4}.Une inégalité et du second degré
Tout d’abord, Ppour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0,1]$ vous aller montrer que $x(1-x)\leq \frac{1}{4}.$
Vous fixez un réel $x$ compris entre $0$ et $1.$
\begin{align*}
4x(1-x)-1 &= 4x-4x^2-1\\
&= -(4x^2-4x+1)\\
&= -(2x-1)^2.
\end{align*}Le réel $4x(1-x)-1$ est égal à l’opposé d’un carré, il est donc négatif ou nul. Il s’ensuit que :
\begin{align*}
4x(1-x)-1 \leq 0\\
4x(1-x)\leq 1\\
x(1-x)\leq \frac{1}{4}.
\end{align*}Lien entre un PPCM et une intégrale
Soit $n$ un entier naturel non nul.
Pour tout $x\in [0,1]$, le réel $x(1-x)$ est positif et il est inférieur à $\frac{1}{4}.$ En élevant à la puissance $n$, il vient :
\begin{align*}
(x(1-x))^n\leq \frac{1}{4^n}\\
x^n(1-x)^n \leq \frac{1}{4^n}.
\end{align*}En intégrant sur l’intervalle $[0,1]$ vous définissez une intégrale notée $I = \int_0^1 x^n(1-x)^n\dx$ et vous avez :
\boxed{I\leq \frac{1}{4^n}.}En utilisant la formule du binôme, vous avez :
(1-x)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^{k}x^k.En multipliant par $x^n$ il vient :
x^n(1-x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^kx^{n+k}.En intégrant sur l’intervalle $[0,1]$ vous définissez une intégrale notée $I$ qui se calcule de la façon suivante :
\begin{align*}
I &= \int_0^1 x^n(1-x)^n\dx\\
&= \int_0^1 \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^kx^{n+k}\dx \\
&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k\int_0^1 x^{n+k}\dx \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k\ \left[\frac{x^{n+k+1}}{n+k+1}\right]_0^1\\
&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k\ \frac{1}{n+k+1}.
\end{align*}Notez $\mu = PPCM(1,\dots,2n+1)$ le plus petit multiple commun de tous les entiers naturels allant de $1$ jusqu’à $2n+1.$
Vous avez :
\mu I = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k\ \frac{\mu}{n+k+1}.Or, par définition de $\mu$, quel que soit $k\in\llbracket 0, n\rrbracket$, $n+k+1 \mid \mu$ donc $\frac{\mu}{n+k+1}\in\N.$
Pour tout $k\in \llbracket 0, n\rrbracket$ le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est un nombre entier. Par produit et par somme, vous déduisez que $\mu I$ est un nombre entier relatif.
D’autre part, en utilisant la relation de Chasles sur les intégrales :
I = \int_{0}^{1/4} x^n(1-x)^n\dx + \int_{1/4}^{3/4} x^n(1-x)^n\dx + \int_{3/4}^1 x^n(1-x)^n\dx.Sur les intervalles $[0,1/4]$ et $[3/4,1]$ la fonction $x\mapsto x^n(1-x)^n$ est positive, il en résulte que, par intégration, les intégrales $\int_{0}^{1/4} x^n(1-x)^n\dx$ et $\int_{3/4}^1 x^n(1-x)^n\dx$ sont positives. Il s’ensuite que :
I\geq \int_{1/4}^{3/4} x^n(1-x)^n\dx.Or, quand $x\in[1/4, 3/4]$ vous avez aussi $1-x\in[1/4, 3/4]$ si bien que, par produit de réels positifs, $x(1-x)\in[1/16, 9/16].$
Pour tout $x\in[1/4, 3/4]$, $x(1-x)\geq \frac{1}{16}$ donc en élevant à la puissance $n$, il vient $x^n(1-x)^n\geq \frac{1}{16^n}.$ En intégrant sur l’intervalle $[1/4, 3/4]$ vous déduisez :
\begin{align*}
\int_{1/4}^{3/4} x^n(1-x)^n\dx &\geq \int_{1/4}^{3/4} \frac{1}{16^n}\dx \\
&\geq \left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)\frac{1}{16^n}\\
&\geq \frac{1}{2\times 16^n}.
\end{align*}Vous déduisez finalement que $I\geq \frac{1}{2\times 16^n}.$ Le réel $I$ est donc strictement positif.
Comme $\mu \geq 1$ vous déduisez que $\mu I$ est un entier strictement positif, donc $\boxed{\mu I \geq 1.}$
En divisant par $I$, vous obtenez $\mu \geq \frac{1}{I}.$
Or, il a été montré que $I\leq \frac{1}{4^n}$ donc $\frac{1}{I }\geq 4^n$ ce qui donne $\mu \geq 4^n.$
Finalement, il a été montré le résultat suivant :
\boxed{\forall n\geq 1, \quad PPCM(1, \dots, 2n+1)\geq 4^n.}Passez au cas général
Lorsque $n=1$, $PPCM(1, \dots, n) = PPCM(1) = 1.$ Or $1$ est bien supérieur ou égal à $\frac{1}{2} = \frac{2^1}{4}.$
Lorsque $n=2$, $PPCM(1, \dots, n) = PPCM(1, 2) = 2.$ Or $2$ est bien supérieur ou égal à $1 = \frac{2^2}{4}.$
Soit maintenant $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3.$
Cas où $n$ est impair
Comme $n-1$ est pair et supérieur ou égal à $2$, il existe un entier naturel $m\geq 1$ tel que $n-1 = 2m.$
Comme $PPCM(1, \dots, n) = PPCM(1,\dots,2m+1)$ il vient :
\begin{align*}
PPCM(1, \dots, n) &\geq 4^m \\
&\geq (2^2)^m \\
&\geq 2^{2m}\\
&\geq 2^{n-1}\\
&\geq \frac{2^n}{2}\\
&\geq \frac{2^n}{4}.
\end{align*} Cas où $n$ est pair
Il s’agit de se ramener au cas impair.
Notez que $PPCM(1,\dots, n)$ est un multiple des $n-1$ entiers allant de $1$ jusqu’à $n-1.$
Comme $PPCM(1, \dots, n-1)$ est le plus petit multiple commun de ces $n-1$ entiers, vous déduisez :
PPCM(1, \dots, n) \geq PPCM(1, \dots, n-1).
Comme $n$ est pair et supérieur ou égal à $3$ il est même supérieur ou égal à $4.$
Donc $n-1$ est impair et il est supérieur ou égal à $3.$ Il existe un entier $m\geq 1$ tel que $n-1 = 2m+1.$ Comme $PPCM(1, \dots, n-1) = PPCM(1,\dots,2m+1)$ vous déduisez :
\begin{align*}
PPCM(1, \dots, n) &\geq PPCM(1, \dots, n-1)\\
&\geq PPCM(1, \dots, 2m+1)\\
&\geq 4^m\\
&\geq 2^{2m}\\
&\geq 2^{n-2}\\
&\geq \frac{2^n}{4}.
\end{align*} Concluez
Le résultat suivant est bien démontré :
\boxed{\forall n\geq 1, \quad PPCM(1,\dots,n) \geq \frac{2^n}{4}.}Partagez !
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