Si on veut se passer de division, il est possible de calculer la racine carrée entière d’un nombre entier $n$ en utilisant des soustractions successives. Une variante est proposée ici : le nombre de départ dont on souhaite connaître la racine carrée entière est multiplié par $5$ dès le début, ce qui va facilite le déroulement des étapes ultérieures.
Note. Cette technique évite d’avoir à gérer des multiplications par $2$ qui apparaissent dans la méthode de la potence.
Étudiez la situation sur un exemple
Soit $n = 1562$ un nombre dont on veut connaître la racine carrée entière.
Il s’agit de déterminer l’unique entier $p$ tel que $p\leq \sqrt{n} < p+1.$
Vous formez immédiatement le nombre $m = 5n =7810.$ Vous écrivez ce nombre $m$ comme une succession de tranches de $2$ chiffres, soit $m = 78\ 10.$
Première étape
Vous partez de la première tranche, $78$ en retirez successivement $5$, $15$, $25$ etc et vous stoppez juste avant de trouver un nombre strictement négatif.
Cette étape peut être formalisée dans le tableau ci-dessous :
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
78 & 73 & 58 & 33 \\
\hline
5 & 15 & 25 &\\
\hline
\end{array}Cette étape montre que :
78 = (5+15+25) + 33.
Le nombre de soustractions effectuées est égal à $3$, soit autant de termes contenus dans la somme $5+15+25.$
En vertu des sommes formées par les termes consécutifs d’une suite arithmétique, vous avez :
\begin{align*}
5+15+25 &= 3\times \frac{5+25}{2}\\
& = \frac{3\times 30}{2}\\
&= 3\times 3\times \frac{10}{2}\\
&= 5\times 3^2.
\end{align*} Ainsi :
78 = 5\times 3^2 + 33.
Note. Le chiffre $3$ est le premier du résultat de la racine carrée entière cherchée.
Deuxième étape
Vous prenez le reste, à savoir $33$ et vous collez les chiffres de la tranche d’après de $m$, ce qui fournit le nombre $3310.$
Le nombre de soustractions effectuées précédemment est égal à $3$, vous collez à ce nombre $05$ ce qui fait $305.$ Puis vous allez, à partie de $3310$ retrancher $305$, $315$, $325$, $335$ etc et vous stoppez juste avant d’obtenir un nombre strictement négatif.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
3310 & 3005 & 2690 & 2365 & 2030& 1685 &1330 & 965& 590& 205\\
\hline
305 & 315 & 325 & 335 &345 & 355 & 365 & 375 & 385\\
\hline
\end{array}Vu que le nombre de soustractions est égal à $9$, d’après le tableau et les sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique, il vient :
\begin{align*}
3310 &= (305+315+\cdots+385)+205\\
&= 9\times \frac{690}{2}+205\\
&= 9\times 69\times 5+205\\
&= (9\times 60 + 9^2)\times 5 + 205\\
&= (2\times 9\times 30 + 9^2)\times 5 + 205.
\end{align*}
Vous constatez que l’autre facteur de la multiplication par $5$ contient la fin d’une identité remarquable.
Note. Le chiffre $9$ est le deuxième du résultat de la racine carrée entière cherchée.
Comment prouve-t-on que la racine carrée entière de $1562$ est bien $39$ ?
Vous partez de la première étape, vous multipliez par $100$ et vous ajoutez $10$, ce qui fournit :
\begin{align*}
78 &= 5\times 3^2 + 33\\
7800 &= 5\times 3^2 \times 100 + 3300\\
7810 &= 5\times 3^2 \times 10^2 + 3310\\
7810 &= 5\times 30^2 + 3310.
\end{align*} En appliquant la deuxième étape, il vient :
\begin{align*}
7810 &= 5\times 30^2 + (2\times 9\times 30 + 9^2)\times 5 + 205\\
&= 5(30^2 + 2\times 9\times 30+9^2) + 205\\
&= 5\times 39^2 + 205.
\end{align*} En divisant par $5$, il vient :
1562 = 39^2 + 41.
Il est donc établi que :
1562 \geq 39^2.
Or :
\begin{align*}
39^2+41 &< 39^2+39+40\\
1562 &< 40^2.
\end{align*} De ces deux encadrements, vous obtenez :
\begin{align*}
39^2&\leq 1562 < 40^2\\
39 &\leq \sqrt{1562}< 40.
\end{align*} Autrement dit, la racine carrée entière de $1562$ est égale à $39.$
Cas où $n\leq 1999$
Soit $n$ un entier naturel inférieur ou égal à $1999$, de sorte que $5n<9995.$
En posant $m = 5n$, vous constatez que $m$ possède deux tranches de deux chiffres, autrement dit, $m = 100c+u$ où $c$ est $u$ sont deux entiers naturels inférieurs ou égaux à $99.$ Comme $m$ est un multiple de $5$, l’entier $u$ est aussi un multiple de $5$ et vaut $95$ au maximum.
La première tranche
Comme tout à l’heure, vous effectuez un certain nombre de soustractions (voire aucune), vous retranchez à $c$ les entiers $5$, $15$, $25$ juste avant de trouver un nombre strictement négatif. Tous ces entiers sont de la forme $10k-5$ avec $k$ entier supérieur ou égal à $1.$
Soit $k$ le nombre de soustractions effectuées.
Premier cas. Supposez $c\geq 5.$ Alors $k\geq 1.$
Les deux inégalités sont vérifiées :
\begin{align*}
& 5+\dots+(10k-5) \leq c\\
&c < 5+\dots+(10k+5).
\end{align*} Le nombre de termes de la somme $5+\dots+(10k-5)$ est égal à $k$, si bien que :
\begin{align*}
5+\dots+(10k-5) &= k\times \frac{5+10k-5}{2}\\
&=5k^2.
\end{align*}Le nombre de termes de la somme $5+\dots+(10k-5)$ est égal à $k+1$, si bien que :
\begin{align*}
5+\dots+(10k+5) &= (k+1)\times \frac{5+10k+5}{2}\\
&= (k+1)\times \frac{10(k+1)}{2}\\
&=5(k+1)^2.
\end{align*}Par ce procédé, pour trouvez un entier $k$ tel que :
5k^2\leq c < 5(k+1)^2.
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
c & \dots & \dots & c-5k^2 \\
\hline
5 & \dots & \dots &\\
\hline
\end{array}Remarquez que $c<100$ si bien que $5k^2< 100$ donc $k^2<20$ d’où $k^2<25$ donc $k<5$ puis $k\leq 4.$ Ainsi $k$ est bien un chiffre.
Second cas. Supposez $c<5.$ Alors le nombre de soustractions est égal à $0$ et vous posez $k=0.$ Comme $5(k+1)^2 =20 $·K² 5, l’inégalité $5k^2\leq c < 5(k+1)^2$ est encore satisfaite.
Dans les deux cas, l’inégalité $\boxed{5k^2\leq c < 5(k+1)^2}$ est valable et $k\in\llbracket 0, 4\rrbracket$ est un chiffre.
La seconde tranche
Lorsque vous effectuez les $k$ soustractions précédentes au nombre $c$, vous obtenez un reste qui est égal à :
r = c-5k^2.
Comme $c <5(k+1)^2$ il convient de noter que $c<5(k^2+2k+1)$ donc $c-5k^2< 10k+5.$
Il s’ensuit que $\boxed{0\leq r \leq 10k+4.}$
A partir de ce reste, vous collez la deuxième tranche $u.$ Or c’est multiplier $r$ par $100$ et ajouter $u.$
Le nombre $p = 100r+u$ est ainsi obtenu.
C’est à partir de ce nombre que vous allez coller $05$ au chiffre $k$ calculé précédemment.
Concrètement, vous allez soustraire $100k+5$, $100k+15$, $100k+25$ au nombre $p$ jusqu’à vous arrêter avant de tomber sur un nombre strictement négatif.
Notez $\ell$ le nombre de soustractions effectuées.
Premier cas. Supposez que $p\geq 100k+5$, soit $p\geq 5(20k+1)$ de sorte que $\ell \geq 1.$
Alors :
\begin{align*}
& (100k+5)+\dots+(100k+10\ell-5) \leq p\\
&p < (100k+5)+\dots+(100k+10\ell+5).
\end{align*} Le nombre de termes de la somme $(100k+5)+\dots+(100k+10\ell-5)$ est égal à $\ell$, si bien que :
\begin{align*}
(100k+5)+\dots+(100k+10\ell-5) &= \ell\times \frac{100k+5+100k+10\ell-5}{2}\\
&=\ell\times \frac{200k+10\ell}{2}\\
&=\ell\times (100k+5\ell)\\
&=5\ell\times (20k+\ell).
\end{align*}Le nombre de termes de la somme $(100k+5)+\dots+(100k+10\ell+5)$ est égal à $\ell+1$, si bien que :
\begin{align*}
(100k+5)+\dots+(100k+10\ell+5) &= (\ell+1)\times \frac{100k+5+100k+10\ell+5}{2}\\
&=(\ell+1)\times \frac{200k+10\ell+10}{2}\\
&=(\ell+1)(100k+5\ell+5)\\
&=5(\ell+1)(20k+\ell+1).
\end{align*}Par ce procédé, vous trouvez un entier $\ell$ tel que :
\boxed{5\ell\times (20k+\ell) \leq p < 5(\ell+1)(20k+\ell+1).}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
p = 100r+u & \dots & \dots & \dots & \dots& \dots &\dots & \dots& \dots&p-5\ell\times (20k+\ell)\\
\hline
100k+5 & \dots & \dots & \dots &\dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\
\hline
\end{array}Second cas. Supposez que $p< 100k+5$, soit $p< 5(20k+1)$ de sorte que $\ell = 0.$ Alors, $p$ étant positif, l’inégalité $5\ell\times (20k+\ell) \leq p < 5(\ell+1)(20k+\ell+1)$ est encore valable : en effet, quand $\ell=0$ vous avez $5(\ell+1)(20k+\ell+1) = 5(20k+1).$
Le nombre $\ell$ est bien un chiffre
Raisonnez par l’absurde en supposant que $\ell \geq 10.$
Du coup :
\begin{align*}
& p\geq 50(20k+10)\\
&p \geq 1000k+500\\
&100r+u\geq 1000k+500.
\end{align*}Comme $95\geq u$ vous déduisez ce qui suit :
\begin{align*}
&100r+95\geq 100r+u\\
&100r+95 \geq 1000k+500.
\end{align*}Cela fournit :
100r\geq 1000k+405.
Il a été montré précédemment que :
r\leq 10k+4.
Après multiplication par $100$, il vient :
100r\leq 1000k+400 < 1000k+405\leq 100r.
D’où la contradiction recherchée.
Donc $\ell$ est bien un chiffre.
Prouvez que la racine carrée entière de $n$ est égale à $10k+\ell$
Vous partez de l’encadrement obtenu à partir de la deuxième tranche et l’ensemble s’enchaîne :
\begin{align*}
5 (20k+\ell) &\leq p < 5(\ell+1)(20k+\ell+1)\\
5 (20k+\ell) &\leq 100r+u < 5(\ell+1)(20k+\ell+1)\\
5 (20k+\ell) &\leq 100(c-5k^2)+u < 5(\ell+1)(20k+\ell+1)\\
5 (20k+\ell) &\leq 100c-500k^2+u < 5(\ell+1)(20k+\ell+1)\\
5 (20k+\ell)+500k^2 &\leq 100c+u < 5(\ell+1)(20k+\ell+1)+500k^2\\
5 (20k+\ell)+500k^2 &\leq m < 5(\ell+1)(20k+\ell+1)+500k^2\\
5 (20k+\ell)+500k^2 &\leq 5n < 5(\ell+1)(20k+\ell+1)+500k^2\\
\ell(20k+\ell)+100k^2 &\leq n < (\ell+1)(20k+\ell+1)+100k^2\\
(10k)^2 +2(10k) \ell + \ell^2&\leq n < (10k)^2+2(10k)(\ell+1)+(\ell+1)^2\\
(10k+\ell)^2 &\leq n < (10k+\ell+1)^2.
\end{align*}Il en résulte que :
\boxed{10k+\ell \leq \sqrt{n} < (10k+\ell)+1.}Ainsi la racine carrée entière de $n$ a bien été déterminée.
Prolongements
Démontrez que la méthode décrite ci-dessus reste valable pour des nombres plus grands, quitte à rajouter des tranches supplémentaires.
Soit $n$ un entier tel que $n\leq 199999$, de sorte que $5n \leq 999995.$ En découpant $m=5n$ en trois tranches de deux chiffres, vous avez $m = 10000a+100b+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des entiers naturels tels que $a\leq 99$, $b\leq 99$ et $c\leq 95.$
En appelant $k$ le nombre de soustractions de la première tranche, $\ell$ le nombre de soustractions de la deuxième tranche et $h$ le nombre de soustractions de la troisième tranche, démontrez que $k$, $\ell$ et $h$ sont des chiffres et que la racine carrée entière de $n$ est égale à $100k+10\ell+h.$
Généralisez alors à un entier naturel $n$ quelconque : posez encore $m=5n$ que vous découpez en $r$ tranches de deux chiffres et poursuivez.
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