350. Extraction d’une racine carrée entière en commençant avec une multiplication par 5

Si vous voulez vous passer de division, il est possible de calculer la racine carrée entière d’un nombre entier $n$ en utilisant des soustractions successives. Une variante est proposée ici : le nombre de départ dont vous souhaitez connaître la racine carrée entière est multiplié par $5$ dès le début, ce qui va faciliter le déroulement des étapes ultérieures.

Note. Cette technique évite d’avoir à gérer des multiplications par $2$ qui apparaissent dans la méthode de la potence.

Étudiez la situation sur un exemple

Soit $n = 1562$ un nombre dont vous voulez connaître la racine carrée entière.

Il s’agit de déterminer l’unique entier $s$ tel que $s\leq \sqrt{n} \lt s+1.$

Vous formez immédiatement le nombre $m = 5n =7810.$ Vous écrivez ce nombre $m$ comme une succession de tranches de $2$ chiffres, soit $m = 78\ 10.$

Première étape

Vous partez de la première tranche, $78\comma$ et vous en retirez successivement $5\comma$ $15\comma$ $25\comma$ etc. Vous vous arrêtez juste avant de trouver un nombre strictement négatif.

Cette étape peut être formalisée dans le tableau ci-dessous :

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 78 & 73 & 58 & 33 \\ \hline 5 & 15 & 25 &\\ \hline \end{array}

Cette étape montre que :

78 = (5+15+25) + 33.

Le nombre de soustractions effectuées est égal à $3\comma$ soit autant que de termes contenus dans la somme $5+15+25.$

En vertu des sommes formées par les termes consécutifs d’une suite arithmétique, vous avez :

\begin{align*} 5+15+25 &= 3\times \frac{5+25}{2}\\ & = \frac{3\times 30}{2}\\ &= 3\times 3\times \frac{10}{2}\\ &= 5\times 3^2. \end{align*}

Ainsi :

78 = 5\times 3^2 + 33.

Note. Le chiffre $3$ est le premier chiffre de la racine carrée entière cherchée.

Deuxième étape

Vous prenez le reste, à savoir $33\comma$ et vous lui accolez les chiffres de la tranche suivante de $m\comma$ ce qui fournit le nombre $3310.$

Le nombre de soustractions effectuées précédemment est égal à $3.$ Vous accolez à ce nombre $05$ ce qui fait $305.$ Puis, à partir de $3310\comma$ vous retranchez $305\comma$ $315\comma$ $325\comma$ $335\comma$ etc. et vous vous arrêtez juste avant d’obtenir un nombre strictement négatif.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 3310 & 3005 & 2690 & 2365 & 2030& 1685 &1330 & 965& 590& 205\\ \hline 305 & 315 & 325 & 335 &345 & 355 & 365 & 375 & 385\\ \hline \end{array}

Vu que le nombre de soustractions est égal à $9\comma$ d’après le tableau et les sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique, il vient :

\begin{align*} 3310 &= (305+315+\cdots+385)+205\\ &= 9\times \frac{690}{2}+205\\ &= 9\times 69\times 5+205\\ &= (9\times 60 + 9^2)\times 5 + 205\\ &= (2\times 9\times 30 + 9^2)\times 5 + 205. \end{align*}

Vous constatez que l’autre facteur de la multiplication par $5$ contient la fin du développement de l’identité remarquable $(30+9)^2.$

Note. Le chiffre $9$ est le deuxième chiffre de la racine carrée entière cherchée.

Comment prouver que $39$ est bien la racine carrée entière de $1562\comma$ comme annoncé ?

Vous partez de la première étape, vous multipliez par $100$ et vous ajoutez $10\comma$ ce qui fournit :

\begin{align*} 78 &= 5\times 3^2 + 33\\ 7800 &= 5\times 3^2 \times 100 + 3300\\ 7810 &= 5\times 3^2 \times 10^2 + 3310\\ 7810 &= 5\times 30^2 + 3310. \end{align*}

En appliquant la deuxième étape, il vient :

\begin{align*} 7810 &= 5\times 30^2 + (2\times 9\times 30 + 9^2)\times 5 + 205\\ &= 5(30^2 + 2\times 9\times 30+9^2) + 205\\ &= 5\times 39^2 + 205. \end{align*}

En divisant par $5\comma$ il vient :

1562 = 39^2 + 41.

Il est donc établi que :

1562 \geq 39^2.

Or :

\begin{align*} 39^2+41 &\lt 39^2+39+40\\ 1562 &\lt 40^2. \end{align*}

De ces deux encadrements, vous obtenez :

\begin{align*} 39^2&\leq 1562 \lt 40^2\\ 39 &\leq \sqrt{1562}\lt 40. \end{align*}

Autrement dit, la racine carrée entière de $1562$ est égale à $39.$

Cas où $n\leq 1999$

Soit $n$ un entier naturel inférieur ou égal à $1999\comma$ de sorte que $5n\leq 9995.$

En posant $m = 5n\comma$ vous constatez que $m$ possède deux tranches de deux chiffres, autrement dit, $m = 100c+u$ où $c$ et $u$ sont deux entiers naturels inférieurs ou égaux à $99.$ Comme $m$ est un multiple de $5\comma$ l’entier $u$ est aussi un multiple de $5$ et vaut $95$ au maximum.

La première tranche

Comme tout à l’heure, vous effectuez un certain nombre de soustractions (voire aucune) : vous retranchez à $c$ les entiers $5\comma$ $15\comma$ $25\comma$ etc. et vous vous arrêtez juste avant de trouver un nombre strictement négatif. Tous ces entiers sont de la forme $10k-5$ avec $k$ entier supérieur ou égal à $1.$

Soit $k$ le nombre de soustractions effectuées.

Premier cas. Supposez $c\geq 5.$ Alors $k\geq 1.$

Les deux inégalités suivantes sont vérifiées :

\begin{align*} & 5+\dots+(10k-5) \leq c\\ &c \lt 5+\dots+(10k+5). \end{align*}

Le nombre de termes de la somme $5+\dots+(10k-5)$ est égal à $k\comma$ si bien que :

\begin{align*} 5+\dots+(10k-5) &= k\times \frac{5+10k-5}{2}\\ &=5k^2. \end{align*}

Le nombre de termes de la somme $5+\dots+(10k+5)$ est égal à $k+1\comma$ si bien que :

\begin{align*} 5+\dots+(10k+5) &= (k+1)\times \frac{5+10k+5}{2}\\ &= (k+1)\times \frac{10(k+1)}{2}\\ &=5(k+1)^2. \end{align*}

Par ce procédé, vous trouvez un entier $k$ tel que :

5k^2\leq c \lt 5(k+1)^2.

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline c & \dots & \dots & c-5k^2 \\ \hline 5 & \dots & \dots &\\ \hline \end{array}

Remarquez que $c\lt100$ si bien que $5k^2\lt 100$ donc $k^2\lt20$ d’où $k^2\lt25$ donc $k\lt5$ puis $k\leq 4.$ Ainsi $k$ est bien un chiffre.

Second cas. Supposez $c\lt5.$ Alors le nombre de soustractions est égal à $0$ et vous posez $k=0.$ Comme $5k^2 = 0$ et $5(k+1)^2 = 5\comma$ l’inégalité $5k^2\leq c \lt 5(k+1)^2$ est encore satisfaite.

Dans les deux cas, l’inégalité $\boxed{5k^2\leq c \lt 5(k+1)^2}$ est valable et $k\in\llbracket 0, 4\rrbracket$ est un chiffre.

La seconde tranche

Lorsque vous effectuez les $k$ soustractions précédentes au nombre $c\comma$ vous obtenez un reste qui est égal à :

r = c-5k^2.

Comme $c \lt5(k+1)^2$ il convient de noter que $c\lt5(k^2+2k+1)$ donc $c-5k^2\lt 10k+5.$

Il s’ensuit que $\boxed{0\leq r \leq 10k+4.}$

À ce reste, vous accolez la deuxième tranche $u.$ Cela revient à multiplier $r$ par $100$ et à ajouter $u.$

Le nombre $p = 100r+u$ est ainsi obtenu.

Vous accolez ensuite $05$ au chiffre $k$ calculé précédemment, ce qui fournit le nombre $100k+5.$

Concrètement, vous allez soustraire successivement $100k+5\comma$ $100k+15\comma$ $100k+25\comma$ etc. au nombre $p$ jusqu’à vous arrêter avant de tomber sur un nombre strictement négatif.

Notez $\ell$ le nombre de soustractions effectuées.

Premier cas. Supposez que $p\geq 100k+5\comma$ soit $p\geq 5(20k+1)$ de sorte que $\ell \geq 1.$

Alors :

\begin{align*} & (100k+5)+\dots+(100k+10\ell-5) \leq p\\ &p \lt (100k+5)+\dots+(100k+10\ell+5). \end{align*}

Le nombre de termes de la somme $(100k+5)+\dots+(100k+10\ell-5)$ est égal à $\ell\comma$ si bien que :

\begin{align*} (100k+5)+\dots+(100k+10\ell-5) &= \ell\times \frac{100k+5+100k+10\ell-5}{2}\\ &=\ell\times \frac{200k+10\ell}{2}\\ &=\ell\times (100k+5\ell)\\ &=5\ell\times (20k+\ell). \end{align*}

Le nombre de termes de la somme $(100k+5)+\dots+(100k+10\ell+5)$ est égal à $\ell+1\comma$ si bien que :

\begin{align*} (100k+5)+\dots+(100k+10\ell+5) &= (\ell+1)\times \frac{100k+5+100k+10\ell+5}{2}\\ &=(\ell+1)\times \frac{200k+10\ell+10}{2}\\ &=(\ell+1)(100k+5\ell+5)\\ &=5(\ell+1)(20k+\ell+1). \end{align*}

Par ce procédé, vous trouvez un entier $\ell$ tel que :

\boxed{5\ell\times (20k+\ell) \leq p \lt 5(\ell+1)(20k+\ell+1).}

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline p = 100r+u & \dots & \dots & \dots & \dots& \dots &\dots & \dots& \dots&p-5\ell\times (20k+\ell)\\ \hline 100k+5 & \dots & \dots & \dots &\dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\ \hline \end{array}

Second cas. Supposez que $p\lt 100k+5\comma$ soit $p\lt 5(20k+1)$ de sorte que $\ell = 0.$ Alors, $p$ étant positif, l’inégalité $5\ell\times (20k+\ell) \leq p \lt 5(\ell+1)(20k+\ell+1)$ est encore valable : en effet, quand $\ell=0$ vous avez $5(\ell+1)(20k+\ell+1) = 5(20k+1).$

Le nombre $\ell$ est bien un chiffre

Raisonnez par l’absurde en supposant que $\ell \geq 10.$

Comme $5\ell(20k+\ell)\leq p$ et que $5\ell(20k+\ell)$ augmente avec $\ell\comma$ vous avez :

\begin{align*} & p\geq 50(20k+10)\\ &p \geq 1000k+500\\ &100r+u\geq 1000k+500. \end{align*}

Comme $95\geq u$ vous déduisez ce qui suit :

\begin{align*} &100r+95\geq 100r+u\\ &100r+95 \geq 1000k+500. \end{align*}

Cela fournit :

100r\geq 1000k+405.

Il a été montré précédemment que :

r\leq 10k+4.

Après multiplication par $100\comma$ il vient :

100r\leq 1000k+400 \lt 1000k+405\leq 100r.

D’où la contradiction recherchée.

Donc $\ell$ est bien un chiffre.

Prouvez que la racine carrée entière de $n$ est égale à $10k+\ell$

Vous partez de l’encadrement obtenu à partir de la deuxième tranche, en utilisant $p = 100r+u\comma$ $r = c-5k^2$ et $m = 100c+u = 5n.$ L’ensemble s’enchaîne comme suit :

\begin{align*} 5\ell (20k+\ell) &\leq p \lt 5(\ell+1)(20k+\ell+1)\\ 5\ell (20k+\ell) &\leq 100r+u \lt 5(\ell+1)(20k+\ell+1)\\ 5\ell (20k+\ell) &\leq 100(c-5k^2)+u \lt 5(\ell+1)(20k+\ell+1)\\ 5\ell (20k+\ell) &\leq 100c-500k^2+u \lt 5(\ell+1)(20k+\ell+1)\\ 5\ell (20k+\ell)+500k^2 &\leq 100c+u \lt 5(\ell+1)(20k+\ell+1)+500k^2\\ 5\ell (20k+\ell)+500k^2 &\leq m \lt 5(\ell+1)(20k+\ell+1)+500k^2\\ 5\ell (20k+\ell)+500k^2 &\leq 5n \lt 5(\ell+1)(20k+\ell+1)+500k^2\\ \ell(20k+\ell)+100k^2 &\leq n \lt (\ell+1)(20k+\ell+1)+100k^2\\ (10k)^2 +2(10k) \ell + \ell^2&\leq n \lt (10k)^2+2(10k)(\ell+1)+(\ell+1)^2\\ (10k+\ell)^2 &\leq n \lt (10k+\ell+1)^2. \end{align*}

Il en résulte que :

\boxed{10k+\ell \leq \sqrt{n} \lt (10k+\ell)+1.}

Ainsi la racine carrée entière de $n$ a bien été déterminée.

Prolongements

Démontrez que la méthode décrite ci-dessus reste valable pour des nombres plus grands, quitte à rajouter des tranches supplémentaires.

Pour cela, il faut préciser comment le nombre $m=5n$ est découpé. Vous découpez d’abord $n$ en tranches de deux chiffres en partant de la droite ; notez $t$ le nombre de tranches obtenues (la tranche la plus à gauche de $n$ peut ne comporter qu’un seul chiffre). Vous découpez ensuite $m=5n\comma$ lui aussi en partant de la droite, en exactement $t$ tranches : les $t-1$ tranches de droite comportent deux chiffres et la tranche la plus à gauche contient tous les chiffres restants. Comme $m$ peut avoir un chiffre de plus que $n\comma$ cette tranche la plus à gauche peut comporter trois chiffres ; elle vaut au plus $499.$ Cela ne pose pas de difficulté : comme $5k^2\leq 499$ entraîne $k\leq 9\comma$ le nombre $k$ de soustractions effectuées sur cette première tranche reste un chiffre.

Exemple. Pour $n = 582169\comma$ découpé en $58\ 21\ 69\comma$ vous avez $t = 3$ et $m = 5n = 2910845.$ En partant de la droite, vous découpez $m$ en $291\ 08\ 45.$ La tranche la plus à gauche comporte trois chiffres. Les nombres de soustractions effectuées sur les trois tranches valent successivement $7\comma$ $6$ et $3\comma$ et la racine carrée entière de $582169$ est égale à $763.$

Soit $n$ un entier naturel tel que $n\leq 999999\comma$ de sorte que $5n \leq 4999995.$ En découpant $m=5n$ en trois tranches comme ci-dessus, vous avez $m = 10000a+100b+c$ où $a\comma$ $b$ et $c$ sont des entiers naturels tels que $a\leq 499\comma$ $b\leq 99$ et $c\leq 95.$

En appelant $k$ le nombre de soustractions de la première tranche, $\ell$ le nombre de soustractions de la deuxième tranche et $h$ le nombre de soustractions de la troisième tranche, démontrez que $k\comma$ $\ell$ et $h$ sont des chiffres et que la racine carrée entière de $n$ est égale à $100k+10\ell+h.$

Généralisez alors à un entier naturel $n$ quelconque : posez encore $m=5n$ que vous découpez en $t$ tranches comme expliqué ci-dessus, puis poursuivez.