École AVOSZ

355. Il n’existe qu’un seul triplet premier

12 mai 2025

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Les nombres premiers jumeaux, par exemple $3$ et $5\comma$ sont deux nombres premiers dont la différence est égale à $2.$ Il a été conjecturé qu’il en existe une infinité et ce sujet fait l’objet d’études.

Comme $3\comma$ $5$ et $7$ sont des nombres premiers il semble légitime de se demander s’il existe d’autres possibilités avec trois nombres premiers.

Qu’est-ce qu’un triplet premier ?

Pour tout entier naturel $p$ un triplet premier est constitué par les trois nombres $p\comma$ $p+2$ et $p+4\comma$ à condition qu’ils soient tous premiers.

En prenant $p=3\comma$ vous obtenez $3\comma$ $5$ et $7$ qui forment un triplet premier, comme cela a déjà été évoqué.

Analyse sur les triplets premiers

Soit $p$ un entier naturel tel que $p\comma$ $p+2$ et $p+4$ soient trois nombres premiers.

Modulo trois, il y a trois possibilités :

soit $p\equiv 0\, [3]$
soit $p\equiv 1\, [3]$
soit $p\equiv 2\, [3].$

Premier cas. Supposez que $p\equiv 0\, [3].$

Alors $3$ divise $p$ mais $p$ est un nombre premier qui admet exactement deux diviseurs positifs, à savoir $1$ et $p.$

Comme $3$ est un diviseur positif de $p$ différent de $1\comma$ vous déduisez $p=3$ et vous retombez sur le triplet $3\comma$ $5$ et $7.$

Deuxième cas. Supposez que $p\equiv 1\, [3].$

Alors $p+2\equiv 3\, [3]$ donc $p+2\equiv 0\, [3]$ donc $3\mid p+2.$ Comme $p+2$ est premier et que $3$ est un diviseur positif de ce dernier différent de $1\comma$ il vient $p+2 = 3$ d’où $p=1.$ C’est impossible puisque $p\comma$ en tant que nombre premier, est nécessairement supérieur ou égal à $2.$

Troisième cas. Supposez que $p\equiv 2\, [3].$

Alors $p+4\equiv 6\, [3]$ donc $p+4\equiv 0\, [3]$ donc $3\mid p+4.$ Comme $p+4$ est premier et que $3$ est un diviseur positif de ce dernier différent de $1\comma$ il vient $p+4 = 3.$ Or $p$ est un entier naturel donc $p+4\geq 4$ d’où une contradiction.

Seul le premier cas est possible, et il impose $p=3.$