Les nombres premiers jumeaux, par exemple $3$ et $5$, sont deux nombres premiers dont la différence est égale à $2.$ Il a été conjecturé qu’il en existe une infinité et ce sujet fait l’objet d’études.
Comme $3$, $5$ et $7$ sont des nombres premiers il semble légitime de de se demander s’il existe d’autres possibilités avec trois nombres premiers.
Qu’est-ce qu’un triplet premier ?
Pour tout entier naturel $p$ un triplet premier est constitué par les trois nombres $p$, $p+2$ et $p+4$, à condition qu’ils soient tous premiers.
En prenant $p=3$, vous obtenez $3$, $5$ et $7$ qui est un triplet premier ce qui a déjà été évoqué.
Analyse sur les triplets premiers
Soit $p$ un entier naturel tel que $p$, $p+2$ et $p+4$ soient trois nombres premiers.
Modulo trois, il y a trois possibilités :
- soit $p\equiv 0\, [3]$
- soit $p\equiv 1\, [3]$
- soit $p\equiv 2\, [3].$
Premier cas. Supposez que $p\equiv 0\, [3].$
Alors $3$ divise $p$ mais $p$ est un nombre premier qui admet deux diviseurs, à savoir $1$ et $p.$
Comme $3$ est un diviseur de $p$ différent de $1$, vous déduisez $p=3$ et vous retombez sur le triplet $3$, $5$ et $7.$
Deuxième cas. Supposez que $p\equiv 1\, [3].$
Alors $p+2\equiv 3\, [3]$ donc $p+2\equiv 0\, [3]$ donc $3\mid p+2.$ Comme $p+2$ est premier et que $3$ est un diviseur de ce dernier différent de $1$, il vient $p+2 = 3$ d’où $p=1$ mais c’est impossible puisque $p$ en tant que nombre premier est nécessairement supérieur ou égal à $2.$
Troisième cas. Supposez que $p\equiv 2\, [3].$
Alors $p+4\equiv 6\, [3]$ donc $p+4\equiv 0\, [3]$ donc $3\mid p+4.$ Comme $p+4$ est premier et que $3$ est un diviseur de ce dernier différent de $1$, il vient $p+4 = 3.$ Or $p$ est un entier naturel donc $p+4\geq 4$ d’où une contradiction.
Concluez
La synthèse est immédiate, dans la mesure où $3$, $5$ et $7$ sont trois nombres premiers.
Du coup, il existe un unique triplet premier qui est donné par $3$, $5$ et $7.$
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