Soit $n$ un entier naturel. Il convient tout d’abord de remarquer que la racine de $n$ est inférieure ou égale à $\frac{n+1}{2}.$ En effet :
\begin{align*}
(n-1)^2 &\geq 0\\
n^2-2n+1&\geq 0\\
n^2+2n+1&\geq 4n\\
(n+1)^2 &\geq 4n\\
n+1 &\geq 2\sqrt{n}\\
\frac{n+1}{2}&\geq \sqrt{n}.
\end{align*}Ainsi :
\boxed{\forall n\in\N, \sqrt{n}\leq \frac{n+1}{2}.}Par définition, un entier naturel qui n’est pas premier sera qualifié de composé.
Le résultat à démontrer
Il s’agit d’établir que, pour tout entier naturel $n$ impair supérieur ou égal à $3$, vous avez l’équivalence :
\boxed{n\text{ n'est pas premier}\Longleftrightarrow \exists k\in \N \cap \left[\sqrt{n}, \frac{n+1}{2}\right[, k^2-n\text{ est le carré d'un entier.} }Note. Ce résultat a déjà été établi dans le contenu rédigé dans l'article 296. Une démonstration plus succincte est présentée dans cet article.
Démontrez le sens $\implies$
Soit $n$ un entier naturel impair composé supérieur ou égal à $3.$ Il existe deux entiers naturels $a$ et $b$ compris entre $2$ et $n-1$ tels que $n=ab.$
Si $a$ est pair, alors $2\mid a.$ Comme $a\mid n$ vous déduisez par transitivité que $2\mid n$ donc $n$ est pair ce qui est absurde. De même si $b$ est pair, il vient $2\mid b$ puis $b\mid n$ donc $2\mid n$ du coup $n$ est pair, contradiction. Donc $a$ et $b$ sont impairs.
Le quotient de la division euclidienne de $a$ par $2$ est donc égal à $1.$ De même, le quotient de la division euclidienne de $b$ par $2$ est égal à $1.$ Il existe deux entiers naturels $a’$ et $b’$ tels que $a = 2a’+1$ et $b = 2b’+1$ d’où $a+b = 2(a+a’+1)$ ce qui prouve que $a+b$ est pair. Ainsi $\frac{a+b}{2}$ est un entier naturel. Utilisant le même raisonnement, $a – b = 2(a’-b’)$ donc $a-b$ est un entier relatif pair et $\frac{a-b}{2}$ est un entier relatif.
Vous posez maintenant $k = \frac{a+b}{2}.$ Il a été vu que $k\in\N.$
Comme $a>1$ et comme $b>1$, le produit $(a-1)(b-1)$ est strictement positif. En développant, vous obtenez :
\begin{align*}
&(a-1)(b-1)> 0\\
&ab-a-b+1 > 0\\
&ab+1 > a+b\\
&n+1 > a+b\\
&\frac{n+1}{2} > k.
\end{align*}Maintenant, $k^2-n$ est le carré d’un entier relatif. En effet :
\begin{align*}
k^2-n &= \left(\frac{a+b}{2}\right)^2-ab\\
&= \frac{a^2+2ab+b^2}{4}-\frac{4ab}{4}\\
&= \frac{a^2-2ab+b^2}{4}\\
&=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2.
\end{align*}
Comme un carré est positif, il vient $k^2-n \geq 0$ puis $k^2\geq n$ et enfin $k\geq \sqrt{n}$ ce donne le résultat.
Démontrez le sens $\impliedby$
Soit $n$ un entier naturel impair supérieur ou égal à $3.$ Vous supposez qu’il existe un entier naturel $k$ tel que :
\left\{\begin{align*}
&\sqrt{n}\leq k < \frac{n+1}{2}\\
&k^2-n\text{ est le carré d'un entier}.
\end{align*}
\right.Comme $n\geq 1$ il vient $\sqrt{n}\geq 1$ donc $k\geq 1.$
Il existe un entier relatif $u$ tel que $k^2-n=u^2 = (\vert u \vert)^2.$ En posant $\ell = \vert u \vert$ il vient :
\begin{align*}
k^2-n&=\ell^2\\
k^2-\ell^2 &=n\\
(k+\ell)(k-\ell) &= n.
\end{align*}Comme $2k < n+1$ vous déduisez ce qui suit :
\begin{align*}
2k< n+1\\
-n < -2k+1\\
k^2-n < k^2-2k+1\\
\ell^2<(k-1)^2.
\end{align*} Comme $\ell$ et $k-1$ sont positif, vous déduisez $\ell < k-1$ donc $1< k-\ell.$
Ainsi, l’entier $k-\ell$ est supérieur ou égal à $2$ et divise $n.$
Si $n$ était premier, alors $k-\ell = n.$ L’égalité $(k+\ell)(k-\ell) = n$ s’écrit $n(k+\ell) = n$ d’où $k+\ell =1.$ Comme $k$ est supérieur ou égal à $1$ il vient $\ell = 0$ donc $n = k^2$ donc $k$ divise $n.$ Si $k=1$ alors $n =1$ ce qui contredit le fait que $n$ est premier. Si $k=n$ alors $n = n^2$ d’où $n=1$ après simplification par $n$ ce qui est absurde.
Donc $n$ est composé.
Application : factorisez $2279$
Cherchez d’abord le plus petit carré parfait qui soit supérieur ou égal à $2279.$
Comme $40^2 = 1600$ et comme $50^2=2500$ vous prenez $45^2=2025.$
Ce nombre étant strictement inférieur à $2279$ vous calculez le carré suivant.
\begin{align*}
46^2&= 2025+45+46\\
&= 2025+91\\
&= 2116.
\end{align*} Vous poursuivez :
\begin{align*}
47^2&= 2116+46+47\\
&= 2116+93\\
&= 2209.
\end{align*} Vous continuez :
\begin{align*}
48^2&= 2209+47+48\\
&= 2209+95\\
&= 2304.
\end{align*} Comme $48^2 \geq 2279$ vous évaluez la différence suivante :
\begin{align*}
48^2- 2279 &= 2304-2279\\
&=104-79\\
&=99-74\\
&=25\\
&=5^2.
\end{align*}Ainsi $2279$ va être factorisé comme suit :
\begin{align*}
2279 &= 48^2-5^2\\
&=(48+5)(48-5)\\
&=53\times 43.
\end{align*}Application : factorisez $10541$
Vous avez $100^2 =10000$ ce qui vous amène à calculer le carré parfait suivant.
\begin{align*}
101^2&= 10000+100+101\\
&= 10000+201\\
&= 10201.
\end{align*} Comme $10201< 10541$ vous poursuivez.
\begin{align*}
102^2&= 10201+101+102\\
&= 10201+203\\
&= 10404.
\end{align*} Comme $10404< 10541$ vous poursuivez.
\begin{align*}
103^2&= 10404+102+103\\
&= 10404+205\\
&= 10605.
\end{align*} Etant donné que $10609\geq 10541$ vous calculez la différence suivante :
\begin{align*}
103^2-10541 &= 10609-10541\\
&=109-41\\
&=99-31\\
&=68.
\end{align*} Comme $68$ n’est pas un carré parfait, vous calculez la prochaine différence :
\begin{align*}
104^2-10541 &= (103^2-10541) + (103+104)\\
&=68+207\\
&=275.
\end{align*} Comme $275$ n’est pas un carré parfait, vous calculez la prochaine différence :
\begin{align*}
105^2-10541 &= (104^2-10541) + (104+105)\\
&=275+209\\
&=484\\
&=22^2.
\end{align*} Ainsi, $10541$ est factorisable et :
\begin{align*}
10541 &= 105^2-22^2\\
&=(105+22)(105-22)\\
&=127\times 83.
\end{align*}Prolongement
Vous êtes invité à lire le contenu rédigé dans l'article 295 qui détaille un autre exemple.
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