Dans ce contenu, vous notez $\varphi$ la fonction indicatrice d’Euler, définie comme suit.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $\varphi(n)$ désigne le nombre d’éléments de l’ensemble suivant :

Quand vous parvenez à factoriser un entier $n$ en produit de nombres premiers, vous pouvez déterminer $\varphi(n)$ grâce à la formule établie dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 372.

Le but de ce contenu est de démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini, grâce aux propriétés de cette fonction $\varphi.$

Raisonnez par l’absurde

Supposez que l’ensemble des nombres premiers soit fini. Notez $m$ son nombre d’éléments. Remarquez que, comme $2$ et $3$ sont des nombres premiers, vous avez $m\geq 2.$ Vous notez $p_1,\dots, p_m$ une énumération de l’ensemble des nombres premiers avec $p_1\lt\cdots\lt p_m.$

Considérez le nombre $n$ défini par le produit $n = p_1\times \cdots \times p_m.$

Vous allez démontrer que $\varphi(n)$ est égal à $1.$

En effet, soit $k\in\llbracket 2, n\rrbracket.$ Le nombre $k$ étant supérieur ou égal à $2$ il est divisible par un nombre premier. Comme $p_1,\dots,p_m$ sont tous les nombres premiers, il existe $i\in\llbracket 1, m\rrbracket$ tel que $p_i$ divise $k.$

Comme $p_i$ divise à la fois $k$ et $n\comma$ vous déduisez que c’est un diviseur commun à $k$ et $n\comma$ donc $p_i \leq \pgcd(k,n).$ Comme $p_i$ est un nombre premier, il est supérieur ou égal à $2$ et par conséquent $\pgcd(k,n)\geq 2.$

Ainsi :

Comme $\pgcd(1,n)=1$ vous déduisez que $1$ est le seul élément de l’ensemble $\{k\in\llbracket1, n\rrbracket, \pgcd(k,n)=1\}.$

Du coup, $\varphi(n) = 1.$

Déduisez-en une contradiction

La fonction $\varphi$ est multiplicative et les nombres premiers $p_1, \dots, p_m$ sont premiers entre eux deux à deux. De plus, pour tout nombre premier $p\comma$ vous avez $\varphi(p) = p-1.$ Donc :

Pour tout $i\in\llbracket 1, m\rrbracket\comma$ $p_i-1$ est un entier naturel supérieur ou égal à $1.$ Un produit d’entiers supérieurs ou égaux à $1$ ne peut valoir $1$ que si chacun de ses facteurs vaut $1.$ Vous en déduisez que, quel que soit $i\in\llbracket 1, m\rrbracket, p_i-1 =1$ autrement dit $\forall i\in\llbracket 1, m\rrbracket, p_i = 2.$

Or $3$ est un nombre premier, donc il est égal à l’un des nombres $p_1,\dots,p_m\comma$ qui valent tous $2.$ Vous obtenez une contradiction.

Conclusion

L’ensemble des nombres premiers est infini.