Dans ce contenu, vous notez $\varphi$ la fonction indicatrice d’Euler, définie comme suit.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $\varphi(n)$ désigne le nombre d’éléments de l’ensemble suivant :
\{k\in\llbracket1, n\rrbracket, \mathrm{PGCD}(k,n)=1\}.Quand on arrive à factoriser un entier $n$ en produit de nombres premiers, on détermine $\varphi(n)$ grâce au contenu rédigé dans l'article 372.
Le but de cet exposé est de démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini, grâce aux propriétés de cette fonction $\varphi.$
Raisonnez par l’absurde
Supposez que l’ensemble des nombres premiers soit fini. Notez $m$ son nombre d’éléments. Remarquez que, comme $2$ et $3$ sont des nombres premiers, vous avez $m\geq 2.$ Vous notez $p_1,\dots, p_m$ une énumération de l’ensemble des nombres premiers avec $p_1<\cdots<p_m.$
Considérez le nombre $n$ défini par le produit $n = p_1\times \cdots \times p_n.$
Vous allez démontrer que $\varphi(n)$ est égal à $1.$
En effet, soit $k\in\llbracket 2, n\rrbracket.$ Le nombre $k$ étant supérieur ou égal à $2$ il est divisible par un nombre premier. Donc il existe $i\in\llbracket 1, m\rrbracket$ tel que $p_i$ divise $k.$
Comme $p_i$ divise à la fois $k$ et $n$, vous déduisez que c’est un diviseur commun à $k$ et $n$, donc $p_i \leq \mathrm{PGCD}(k,n).$ Comme $p_i$ est un nombre premier, il est supérieur ou égal à $2$ et par conséquent $\mathrm{PGCD}(p_i,n)\geq 2.$
Ainsi :
\forall k\in\llbracket 2, n\rrbracket, \mathrm{PGCD}(k,n) \neq 1.Comme $\mathrm{PGCD}(1,n)=1$ vous déduisez que $1$ est le seul élément de l’ensemble $\{k\in\llbracket1, n\rrbracket, \mathrm{PGCD}(k,n)=1\}.$
Du coup, $\varphi(n) = 1.$
Déduisez-en une contradiction
La fonction $\varphi$ est multiplicative et les nombres premiers $p_1, \dots, p_m$ sont premiers entre eux deux à deux. Donc :
\begin{align*}
\varphi(n) &= \varphi(p_1)\times \cdots \times \varphi(p_m)\\
1&= (p_1-1)\times \cdots \times (p_m-1).
\end{align*}Vous en déduisez que, quel que soit $i\in\llbracket 1, m\rrbracket, p_i-1 =1$ autrement dit $\forall i\in\llbracket 1, m\rrbracket, p_i = 2.$
Mais comme $p_2 = 3$ vous obtenez une contradiction.
Conclusion
L’ensemble des nombres premiers est infini.
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