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376. Les opérations élémentaires pour comprendre pourquoi une matrice de transposition est le produit de trois matrices de transvections et d’une matrice de dilatation

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Ce contenu explique d’où proviennent les opérations élémentaires utilisées dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 285.

Vous utilisez des matrices carrées d’ordre $2$ uniquement et souhaitez comprendre comment vous pouvez, par des opérations élémentaires de dilatation et de transvection, passer de la matrice identité à la matrice de permutation suivante :

\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Dans ce contenu vous effectuerez des opérations élémentaires sur les lignes.

Première étape : partez de la matrice identité

Vous considérez la matrice suivante :

\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Vous souhaitez placer le nombre $1$ en haut à droite, ce qui conduit à appliquer l’opération élémentaire $L_1\leftarrow L_1+L_2.$ Vous aboutissez à :

\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Deuxième étape : éliminez le $1$ en bas à droite

Il pourrait être tentant d’effectuer $L_2\leftarrow L_2+L_1$ mais vous feriez apparaître un $2$ en bas à droite. Pour éviter ce problème, vous effectuez à la place $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et vous obtenez $0$ en bas à droite et $-1$ en bas à gauche :

\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Troisième étape : éliminez le $1$ en haut à gauche

Comme $1+(-1)=0\comma$ ajouter la deuxième ligne à la première annule le coefficient en haut à gauche, tandis que le coefficient en haut à droite reste égal à $1+0=1.$ Vous effectuez donc l’opération élémentaire $L_1\leftarrow L_1+L_2$ pour obtenir :

\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Ce n’est pas encore la matrice de permutation voulue ; il reste juste à changer le $-1$ en $1.$

Quatrième étape : utilisez une dilatation

Vous effectuez l’opération élémentaire $L_2\leftarrow -L_2$ et vous obtenez le résultat annoncé :

\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Vérification matricielle directe

Vous avez appliqué à la matrice identité quatre opérations élémentaires successives :

  • $L_1\leftarrow L_1+L_2$
  • $L_2\leftarrow L_2-L_1$
  • $L_1\leftarrow L_1+L_2$
  • $L_2\leftarrow -L_2.$

Rappelez-vous qu’effectuer une opération élémentaire sur les lignes d’une matrice revient à multiplier cette matrice à gauche par la matrice identité ayant subi la même opération élémentaire.

Ainsi, vous êtes amené à calculer le produit $P$ suivant, dans lequel la matrice identité tout à droite a été supprimée puisqu’elle est neutre pour la multiplication :

P=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Vous pouvez effectuer le regroupement suivant et conclure :

\begin{align*} P&=\left[\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right] \left[ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right]\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

La matrice de permutation des lignes $1$ et $2$ s’écrit bien comme un produit de quatre matrices, les trois dernières étant des matrices de transvection et la première une matrice de dilatation.