Ce contenu constitue une motivation des opérations du contenu rédigé dans l'article 285.
Vous utilisez des matrices carrés d’ordre $2$ uniquement et souhaitez comprendre comment vous pouvez, par des opérations élémentaires de dilatation et de transvection, passer de la matrice identité vers la matrice de permutation suivante :
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}.Dans ce contenu vous effectuerez des opérations élémentaires sur les lignes.
Première étape : partez de la matrice identité
Vous considérez la matrice suivante :
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}.Vous souhaitez placer le nombre $1$ en haut à droite, ce qui conduit à l’opération élémentaire suivante à appliquer $L_1\leftarrow L_1+L_2.$ Vous aboutissez à :
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}.Deuxième étape : éliminez le zéro en bas à droite
Il pourrait être tentant d’effectuer $L_2\leftarrow L_2+L_1$ mais vous feriez apparaître un $2$ en bas à droite. Pour éviter ce problème, vous effectuez à la place $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et vous obtenez $-1$ en bas à gauche :
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}.Troisième étape : éliminez le $1$ en haut à gauche
En effectuant la somme entre $1$ et $-1$ vous obtenez ce que vous souhaitez. Vous effectuez l’opération élémentaire suivante $L_1\leftarrow L_1+L_2$ pour obtenir :
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}.Ce n’est pas encore la matrice de permutation voulue, il reste juste à changer le $-1$ en $1.$
Quatrième étape : utilisez une dilatation
Vous effectuez l’opération élémentaire $L_2\leftarrow -L_2$ et vous obtenez le résultat annoncé :
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}.Vérification matricielle directe
Vous avez appliqué à la matrice identité quatre opérations élémentaires successives :
- $L_1\leftarrow L_1+L_2$
- $L_2\leftarrow L_2-L_1$
- $L_1\leftarrow L_1+L_2$
- $L_2\leftarrow -L_2.$
On rappelle qu’effectuer une opération élémentaire sur les lignes revient à multiplier cette matrice à gauche par la matrice identité ayant subi la même opération élémentaire.
Ainsi, vous êtes amené à calculer le produit $P$ suivant, dans lequel la matrice identité tout à droite a été supprimée puisqu’elle est neutre pour la multiplication :
P=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
-1 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}.Vous pouvez effectuer le regroupement suivant et conclure :
\begin{align*}
P&=\left[\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix} \right]
\left[
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
-1 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{pmatrix}\right]\\
&=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}.
\end{align*}La matrice de permutation des lignes $1$ et $2$ s’écrit bien comme un produit de quatre matrices, les trois dernières étant des matrices de transvection et la première une matrice de dilatation.
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