Dans ce contenu, vous notez $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n$ où $n$ est un entier naturel non nul. Soit $\lVert\quad \rVert$ une norme sur $E.$
Fixez une base $(e_1,\dots,e_n)$ de $E.$ Vous allez, à partir de cette base, définir une nouvelle norme dite « norme 1 » sur $E$ notée $\lVert \quad\rVert_1$ et montrer que les deux normes $\lVert\quad \rVert$ et $\lVert\quad \rVert_1$ sont équivalentes.
Construisez une norme $\lVert\quad \rVert_1$
Tout vecteur $v$ appartenant à $E$ s’écrit de façon unique en utilisant ses coordonnées dans la base $(e_1,\dots,e_n).$ Autrement dit, quel que soit $v\in E$ il existe un unique $n$-uplet $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\R^n$ tel que :
v = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i.A partir de cette écriture vous posez :
\lVert v \rVert_1 = \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i \vert.Il s’agit maintenant de démontrer que $\lVert\quad \rVert_1$ est une norme sur $E.$
Montrez la séparation en partant d’un vecteur $v\in E$ tel que $\lVert v \rVert_1 = 0$
Soit $v$ un vecteur de $E$ tel que $\lVert v \rVert_1 = 0.$
Il existe $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\R^n$ tel que $v = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i$ et $\sum_{i=1}^n \vert \lambda_i \vert = 0.$ La dernière somme est nulle et elle est formée de termes positifs ou nuls. Donc pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$ vous avez $\lambda_i = 0.$
Par suite, $v=0.$ L’implication suivante est acquise :
\boxed{\forall v\in E ,\,\lVert v \rVert_1 = 0 \implies v=0.}Montrez l’homogénéïté
Soit $v\in E$ et soit $k$ un nombre réel.
Il existe $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\R^n$ tel que $v = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i$ et $\lVert v\rVert_1 = \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i \vert.$
En développant, il vient $kv = k \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i\right) = \sum_{i=1}^n k \lambda_i e_i.$
Du coup :
\begin{align*}
\lVert kv\rVert_1 &= \sum_{i=1}^n \vert k \lambda_i\vert \\
&= \sum_{i=1}^n \vert k \vert \cdot \vert \lambda_i\vert \\
&= \vert k \vert \sum_{i=1} ^n \vert \lambda_i\vert \\
&= \vert k \vert \cdot\lVert v\rVert_1.
\end{align*}L’égalité suivante est acquise :
\boxed{\forall v\in E, \forall k\in\R, \lVert kv\rVert_1 = \vert k \vert \cdot \lVert v\rVert_1.}Montrez l’inégalité triangulaire
Soient $v$ et $w$ deux vecteurs de $E.$ Il existe $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \R^n$ et il existe $(\mu_1,\dots, \mu_n)\in\R^n$ tels que :
\left\{\begin{align*}
v &= \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i\\
w &= \sum_{i=1}^n \mu_i e_i\\
\lVert v\rVert_1 &= \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i \vert \\
\lVert w\rVert_1 &= \sum_{i=1}^n \vert \mu_i \vert.
\end{align*}\right.Par somme, il vient :
\begin{align*}
v+w &= \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i + \sum_{i=1}^n \mu_i e_i\\
& = \sum_{i=1}^n (\lambda_i e_i + \mu_i e_i )\\
& = \sum_{i=1}^n (\lambda_i + \mu_i )e_i.
\end{align*} Du coup $\lVert v+w\rVert_1 = \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i +\mu_i\vert$ et par suite :
\begin{align*}
\lVert v+w\rVert_1 &\leq \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i +\mu_i\vert \\
&\leq \sum_{i=1}^n (\vert \lambda_i\vert + \vert \mu_i\vert) \\
&\leq \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i\vert + \sum_{i=1}^n \vert \mu_i\vert \\
&\leq \lVert v\rVert_1 + \lVert w\rVert_1.
\end{align*}L’inégalité triangulaire est bien vérifiée :
\boxed{\forall v\in E, \forall w\in E, \lVert v+w\rVert_1 \leq \lVert v\rVert_1 \cdot \lVert w\rVert_1.}Concluez
Il a été démontré que $\lVert \quad\rVert_1$ est une norme sur $E.$
Montrez que la norme $\lVert \quad\rVert_1$ est plus fine que la norme $\lVert \quad\rVert$
Soit $v$ un vecteur de $E.$
Il existe $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\R^n$ tel que $v = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i$ et $\lVert v\rVert_1 = \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i \vert.$
Utilisant l’inégalité triangulaire de la norme $\lVert \quad\rVert$ vous obtenez :
\begin{align*}
\lVert v \rVert &\leq \left\lVert \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i \right\rVert\\
&\leq \sum_{i=1}^n \left\lVert \lambda_i e_i \right\rVert \\
&\leq \sum_{i=1}^n\vert \lambda_i \vert \cdot \left \lVert e_i \right\rVert.
\end{align*}Comme l’ensemble $\{\lVert e_i \rVert, i\in\llbracket 1, n\rrbracket \}$ est fini, il admet un maximum. Notez $M$ ce maximum, qui correspond à la plus grande norme des vecteurs de la base $(e_1,\cdots,e_n).$ Vous avez donc :
\forall i\in\llbracket 1, n \rrbracket, \lVert e_i \rVert\leq M.
De plus, il existe un entier $p$ compris entre $1$ et $n$ tel que $M = \lVert e_p \rVert.$ Comme $e_p$ est un vecteur non nul, le réel $M$ est strictement positif.
Les majorations se poursuivent :
\begin{align*}
\lVert v \rVert &\leq \sum_{i=1}^n\vert \lambda_i \vert \cdot \left \lVert e_i \right\rVert \\
&\leq \sum_{i=1}^n\vert \lambda_i \vert M \\
&\leq M \cdot \sum_{i=1}^n\vert \lambda_i \vert\\
&\leq M \lVert v \rVert_1.
\end{align*}Il a été démontré qu’il existe un réel $M$ strictement positif tel que :
\boxed{\forall v\in E, \lVert v \rVert\leq M \lVert v \rVert_1.}Cela démontre le fait que la norme $\lVert \quad\rVert_1$ est plus fine que la norme $\lVert \quad\rVert.$
Prolongement
Vous souhaitez comprendre pourquoi le norme $\lVert \quad\rVert$ est plus fine que la norme $\lVert \quad\rVert_1$ ? Etablir ce résultat est plus difficile, il fait l’objet du contenu rédigé dans l'article 378.
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