377. Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes (partie 1/2)

Dans ce contenu, vous notez $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n$ où $n$ est un entier naturel non nul. Soit $\lVert\quad \rVert$ une norme sur $E.$

Fixez une base $(e_1,\dots,e_n)$ de $E.$ Vous allez, à partir de cette base, définir une nouvelle norme dite « norme 1 » sur $E$ notée $\lVert \quad\rVert_1$ et montrer que la norme $\lVert \quad\rVert_1$ est plus fine que la norme $\lVert\quad \rVert.$

Construisez une norme $\lVert\quad \rVert_1$

Tout vecteur $v$ appartenant à $E$ s’écrit de façon unique en utilisant ses coordonnées dans la base $(e_1,\dots,e_n).$ Autrement dit, quel que soit $v\in E$ il existe un unique $n$-uplet $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\R^n$ tel que :

v = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i.

À partir de cette écriture vous posez :

\lVert v \rVert_1 = \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i \vert.

Cette définition a un sens puisque les coordonnées de $v$ sont uniques, et $\lVert v \rVert_1$ est un réel positif ou nul comme somme de réels positifs ou nuls.

Il s’agit maintenant de démontrer que $\lVert\quad \rVert_1$ est une norme sur $E.$

Montrez la séparation en partant d’un vecteur $v\in E$ tel que $\lVert v \rVert_1 = 0$

Soit $v$ un vecteur de $E$ tel que $\lVert v \rVert_1 = 0.$

Il existe $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\R^n$ tel que $v = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i$ et $\sum_{i=1}^n \vert \lambda_i \vert = 0.$ La dernière somme est nulle et elle est formée de termes positifs ou nuls. Donc pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$ vous avez $\lambda_i = 0.$

Par suite, $v=0.$ L’implication suivante est acquise :

\boxed{\forall v\in E ,\,\lVert v \rVert_1 = 0 \implies v=0.}

Montrez l’homogénéité

Soit $v\in E$ et soit $k$ un nombre réel.

Il existe $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\R^n$ tel que $v = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i$ et $\lVert v\rVert_1 = \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i \vert.$

En développant, il vient $kv = k \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i\right) = \sum_{i=1}^n k \lambda_i e_i.$ Par unicité des coordonnées, celles de $kv$ sont $k\lambda_1,\dots,k\lambda_n.$

Du coup :

\begin{align*} \lVert kv\rVert_1 &= \sum_{i=1}^n \vert k \lambda_i\vert \\ &= \sum_{i=1}^n \vert k \vert \cdot \vert \lambda_i\vert \\ &= \vert k \vert \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i\vert \\ &= \vert k \vert \cdot\lVert v\rVert_1. \end{align*}

L’égalité suivante est acquise :

\boxed{\forall v\in E, \forall k\in\R, \lVert kv\rVert_1 = \vert k \vert \cdot \lVert v\rVert_1.}

Montrez l’inégalité triangulaire

Soient $v$ et $w$ deux vecteurs de $E.$ Il existe $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \R^n$ et il existe $(\mu_1,\dots, \mu_n)\in\R^n$ tels que :

\left\{\begin{align*} v &= \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i\\ w &= \sum_{i=1}^n \mu_i e_i\\ \lVert v\rVert_1 &= \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i \vert \\ \lVert w\rVert_1 &= \sum_{i=1}^n \vert \mu_i \vert. \end{align*}\right.

Par somme, il vient :

\begin{align*} v+w &= \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i + \sum_{i=1}^n \mu_i e_i\\ & = \sum_{i=1}^n (\lambda_i e_i + \mu_i e_i )\\ & = \sum_{i=1}^n (\lambda_i + \mu_i )e_i. \end{align*}

Du coup, par unicité des coordonnées, $\lVert v+w\rVert_1 = \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i +\mu_i\vert$ et par suite, grâce à l’inégalité triangulaire de la valeur absolue :

\begin{align*} \lVert v+w\rVert_1 &\leq \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i +\mu_i\vert \\ &\leq \sum_{i=1}^n (\vert \lambda_i\vert + \vert \mu_i\vert) \\ &\leq \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i\vert + \sum_{i=1}^n \vert \mu_i\vert \\ &\leq \lVert v\rVert_1 + \lVert w\rVert_1. \end{align*}

L’inégalité triangulaire est bien vérifiée :

\boxed{\forall v\in E, \forall w\in E, \lVert v+w\rVert_1 \leq \lVert v\rVert_1 + \lVert w\rVert_1.}

Concluez

Il a été démontré que $\lVert \quad\rVert_1$ est une norme sur $E.$

Montrez que la norme $\lVert \quad\rVert_1$ est plus fine que la norme $\lVert \quad\rVert$

Soit $v$ un vecteur de $E.$

Il existe $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\R^n$ tel que $v = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i$ et $\lVert v\rVert_1 = \sum_{i=1}^n \vert \lambda_i \vert.$

En utilisant l’inégalité triangulaire et l’homogénéité de la norme $\lVert \quad\rVert$ vous obtenez :

\begin{align*} \lVert v \rVert &\leq \left\lVert \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i \right\rVert\\ &\leq \sum_{i=1}^n \left\lVert \lambda_i e_i \right\rVert \\ &\leq \sum_{i=1}^n\vert \lambda_i \vert \cdot \left \lVert e_i \right\rVert. \end{align*}

Comme l’ensemble $\{\lVert e_i \rVert, i\in\llbracket 1, n\rrbracket \}$ est fini et non vide, il admet un maximum. Notez $M$ ce maximum, qui correspond à la plus grande norme des vecteurs de la base $(e_1,\dots,e_n).$ Vous avez donc :

\forall i\in\llbracket 1, n \rrbracket, \lVert e_i \rVert\leq M.

De plus, il existe un entier $p$ compris entre $1$ et $n$ tel que $M = \lVert e_p \rVert.$ Comme $e_p$ est un vecteur d’une base, il est non nul, donc le réel $M$ est strictement positif.

Les majorations se poursuivent :

\begin{align*} \lVert v \rVert &\leq \sum_{i=1}^n\vert \lambda_i \vert \cdot \left \lVert e_i \right\rVert \\ &\leq \sum_{i=1}^n\vert \lambda_i \vert M \\ &\leq M \cdot \sum_{i=1}^n\vert \lambda_i \vert\\ &\leq M \lVert v \rVert_1. \end{align*}

Il a été démontré qu’il existe un réel $M$ strictement positif tel que :

\boxed{\forall v\in E, \lVert v \rVert\leq M \lVert v \rVert_1.}

Cela démontre le fait que la norme $\lVert \quad\rVert_1$ est plus fine que la norme $\lVert \quad\rVert.$

Prolongement

Vous souhaitez comprendre pourquoi la norme $\lVert \quad\rVert$ est plus fine que la norme $\lVert \quad\rVert_1$ dans ce cadre ? Établir ce résultat est plus difficile, il fait l’objet d’un article à part entière.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 378.