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Il s’agit de démontrer :

• que la norme $\lVert \quad\rVert$ est plus fine que la norme $\lVert \quad\rVert_1$ puis ;
• que deux normes quelconques sur $E$ sont équivalentes.

Dans un premier temps, vous cherchez à démontrer que :

\exists R>0, \forall v \in E, \lVert v \rVert_1 \leq R\lVert v \rVert.

Raisonnez par l’absurde

Supposez que la proposition précédente ne soit pas satisfaite. Alors :

\forall R >0, \exists v\in E,  \lVert v \rVert_1 > R\lVert v \rVert.

Pour tout entier naturel $m$ non nul, $m$ est un réel strictement positif. Vous en déduisez que :

\forall m\in\NN, \exists v_m\in E,  \lVert v_m \rVert_1 > m\lVert v_m \rVert.

Cela définit une suite $(v_m)_{m\in\NN}.$

L’objectif étant d’obtenir une majoration par une quantité petite, à savoir $1/m$, vous écrivez que :

\forall m\in\NN, \lVert v_m \rVert <  \frac{1}{m}\lVert v_m \rVert_1.

S’il existait un entier $p\in\NN$ tel que $v_p$ était nul, alors $\lVert v_p \rVert_1$ serait nul, et l’inégalité $\frac{1}{p}\lVert v_p \rVert_1 > \lVert v_p \rVert$ donnerait $0> \lVert v_p \rVert$ ce qui est absurde.

Donc $\boxed{\forall m\in\NN, v_m\neq 0}$ et par suite $\lVert v_m \rVert_1 > 0.$

Pour tout $m\in\NN$ vous divisez l’inégalité $\lVert v_m \rVert < \frac{1}{m}\lVert v_m \rVert_1$ par $\lVert v_m \rVert_1.$ Cela fournit, pour tout $m\in\NN$ :

\begin{align*}
 \frac{1}{\lVert v_m \rVert_1} \lVert v_m \rVert < \frac{1}{m} \\
\left\lVert \frac{1}{\lVert v_m \rVert_1} v_m \right\rVert  < \frac{1}{m}.
\end{align*}

Pour tout $m\in\NN$ vous posez $x_m = \frac{1}{\lVert v_m \rVert_1} v_m.$ Vous avez obtenu ce qui suit :

\boxed{\forall m\in\NN, \lVert  x_m \rVert < \frac{1}{m}.}

Intuitivement, quand $m$ augmente, les normes $\lVert x_m \rVert$ deviennent de plus en plus petites.

Cependant, vous avez aussi, pour la norme 1, et pour tout $n\in\NN$ :

\begin{align*}
 \lVert  x_m \rVert_1 &= \left\lVert  \frac{1}{\lVert v_m \rVert_1} v_m \right\rVert_1 \\
&= \frac{1}{\lVert v_m \rVert_1}  \left\lVert v_m \right\rVert_1\\
&= 1.
\end{align*}

Vous obtenez le fait suivant :

\boxed{\forall m\in\NN, \lVert  x_m \rVert_1 = 1.}

Pour tout entier naturel $m$ non nul, les vecteurs $x_m$ appartiennent à la sphère unité de la norme 1.

Utilisez des suites extraites

Les deux conditions obtenues précédemment vont aboutir à une contradiction parce que $E$ est un espace vectoriel de dimension finie.

Vous allez utiliser la base $(e_1,\cdots, e_n)$ de $E.$

Pour tout entier naturel $m$ non nul, il existe $(\lambda_m^{(1)},\cdots,\lambda_m^{(n)})\in\R^n$ tel que :

\begin{align*}
x_m &= \sum_{i=1}^n \lambda_m^{(i)}e_i\\
\lVert x_m \rVert_1 &= \sum_{i=1}^n \vert \lambda_m^{(i)}\vert.
\end{align*}

Comme $\forall m\in\NN, \lVert x_m \rVert_1 = 1$ vous déduisez que, pour tout $u\in\llbracket 1, n\rrbracket$ et pour tout $m\in\NN, \vert \lambda_m^{(u)}\vert \leq 1.$

Du coup, la suite $\left(\lambda_m^{(1)}\right)_{m\in\NN}$ est réelle et bornée. D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une suite convergente. Il existe un réel $\lambda^{(1)}$ et une fonction $\varphi_1$ strictement croissante qui va de $\NN$ dans lui-même telle que :

\lambda_{\varphi_1(m)}^{(1)} \xrightarrow[m\to +\infty]{} \lambda^{(1)}.

Soit maintenant $i\in\llbracket 1, n-1\rrbracket.$ Supposez que vous ayez construit des fonctions strictement croissantes $\varphi_1,\dots,\varphi_i$ de $\NN$ dans lui-même et des réels $\lambda^{(1)}, \dots, \lambda^{(i)}$ tels que :

\forall j\in\llbracket 1, i\rrbracket, \lambda_{(\varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_i)(m)}^{(j)} \xrightarrow[m\to +\infty]{} \lambda^{(j)}.

Or, pour tout $u\in\llbracket 1, n\rrbracket$ et pour tout $m\in\NN$ vous avez $\vert \lambda_m^{(u)}\vert \leq 1.$ En particulier, vous avez $\forall m\in\NN, \left\vert \lambda_{(\varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_i)(m)}^{(i+1)} \right\vert\leq 1.$

La suite $\left(\lambda_{(\varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_i)(m)}^{(i+1)}\right)_{m\in\NN}$ est réelle et bornée, il existe, d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, un réel $\lambda^{(i+1)}$ et une fonction $\varphi_{i+1}$ strictement croissante de $\NN$ dans lui-même, telle que :

\begin{align*}
&\lambda_{(\varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_i)(\varphi_{i+1}(m))}^{(i+1)} \xrightarrow[m\to +\infty]{} \lambda^{(i+1)}\\
&\lambda_{(\varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_i\circ \varphi_{i+1})(m)}^{(i+1)} \xrightarrow[m\to +\infty]{} \lambda^{(i+1)}.
\end{align*}

Pour tout $j\in\llbracket 1, i\rrbracket$ la suite $\left(\lambda_{(\varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_i)(\varphi_{(i+1)}(m))}^{(j)}\right)_{m\in\NN}$ est une suite extraite de la suite $\left(\lambda_{(\varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_i)(m)}^{(j)}\right)_{m\in\NN}$ ce qui permet d’écrire que, pour tout $j\in\llbracket 1, i\rrbracket$ :

\begin{align*}
&\lambda_{(\varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_i)(\varphi_{i+1}(m))}^{(j)} \xrightarrow[m\to +\infty]{} \lambda^{(j)}\\
&\lambda_{(\varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_i\circ \varphi_{i+1})(m)}^{(j)} \xrightarrow[m\to +\infty]{} \lambda^{(j)}.
\end{align*}

Ainsi pour tout $j\in\llbracket 1, i+1\rrbracket$ vous avez :

\lambda_{(\varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_i\circ \varphi_{i+1})(m)}^{(j)} \xrightarrow[m\to +\infty]{} \lambda^{(j)}.

Vous avez ainsi montré par récurrence limitée qu’il existe $(\lambda^{(1)}, \dots, \lambda^{(n)})\in\R^n$ et des fonctions $\varphi_1, \dots, \varphi_n$ strictement croissantes de $\NN$ dans lui-même telles que :

\forall j\in\llbracket1, n\rrbracket, \lambda_{(\varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_n)(m)}^{(j)} \xrightarrow[m\to +\infty]{} \lambda^{(j)}.

Et maintenant aboutissez à une contradiction

Afin d’alléger les notations, vous posez $\varphi = \varphi_1\circ\cdots\circ\varphi_n.$ Comme composée de fonctions strictement croissantes de $\NN$ dans lui-même, la fonction $\varphi$ est strictement croissante de $\NN$ dans lui-même.

Vous avez établi que :

\forall j\in\llbracket1, n\rrbracket, \lambda_{\varphi(m)}^{(j)} \xrightarrow[m\to +\infty]{} \lambda^{(j)}.

Ainsi, pour tout $m\in\NN$ il vient :

x_{\varphi(m)} = \sum_{i=1}^n \lambda_{\varphi(m)}^{(i)}e_i.

Posez maintenant ce qui suit :

x = \sum_{i=1}^n \lambda^{(i)}e_i.

Vous effectuez la majoration suivante :

\begin{align*}
\lVert  x_{\varphi(m)}-x\rVert &\leq \left\lVert  \sum_{i=1}^n \lambda_{\varphi(m)}^{(i)}e_i -   \sum_{i=1}^n \lambda^{(i)}e_i\\ \right\rVert \\
&\leq \left\lVert  \sum_{i=1}^n (\lambda_{\varphi(m)}^{(i)}-\lambda^{(i)} )e_i \right\rVert \\
&\leq \sum_{i=1}^n \left\lVert   (\lambda_{\varphi(m)}^{(i)}-\lambda^{(i)} )e_i \right\rVert \\
&\leq \sum_{i=1}^n   \left\vert \lambda_{\varphi(m)}^{(i)}-\lambda^{(i)} ) \right\vert \left\lVert  e_i \right\rVert.
\end{align*}

Vous notez encore $M = \max \{\lVert e_i \rVert, i\in\llbracket 1, n\rrbracket \}.$

Vous obtenez alors :

\begin{align*}
\lVert  x_{\varphi(m)}-x\rVert
&\leq \sum_{i=1}^n   \left\vert \lambda_{\varphi(m)}^{(i)}-\lambda^{(i)} ) \right\vert \cdot  M\\
&\leq M\cdot\sum_{i=1}^n   \left\vert \lambda_{\varphi(m)}^{(i)}-\lambda^{(i)} ) \right\vert.
\end{align*}

Comme :

\forall j\in\llbracket1, n\rrbracket, \lambda_{\varphi(m)}^{(j)} \xrightarrow[m\to +\infty]{} \lambda^{(j)}.

Vous déduisez, la somme étant finie, que :

\begin{align*}
&\lVert  x_{\varphi(m)}-x\rVert\xrightarrow[m\to +\infty]{} 0\\
&\lVert  x-x_{\varphi(m)}\rVert\xrightarrow[m\to +\infty]{} 0.
\end{align*}

Pour tout $m\in\NN$ vous avez, par inégalité triangulaire :

\begin{align*}
\lVert x\rVert &\leq \lVert x-x_{\varphi(m)}+x_{\varphi(m)}\rVert \\
&\leq \lVert x-x_{\varphi(m)}\rVert +\lVert x_{\varphi(m)}\rVert \\
&\leq \lVert x-x_{\varphi(m)}\rVert +\frac{1}{\varphi(m)}.
\end{align*}

Comme $\varphi$ est strictement croissante, vous avez $\forall m\in\NN, \varphi(m) \geq m$ d’où :

\forall m\in\NN, \lVert x\rVert \leq \lVert x-x_{\varphi(m)}\rVert +\frac{1}{m}.

En faisant tendre $m$ vers $+\infty$ dans cette inégalité, vous avez $\lVert x \rVert \leq 0$ d’où $\lVert x \rVert = 0$ par positivité de la norme et donc $x=0.$

Or, quel que soit $m\in\NN, \lVert x_{\varphi(m)} \rVert_1 =1$ donc :

\forall m\in\NN,  \sum_{i=1}^n \left\vert \lambda_{\varphi(m)}^{(i)} \right\vert = 1.

En faisant tendre $m$ vers $+\infty$, vous obtenez :

\sum_{i=1}^n \left\vert \lambda^{(i)} \right\vert = 1.

Du coup :

\lVert x\rVert_1 = 1.

Puisque $x$ est nul, vous avez $\lVert x\rVert_1 = 0$ ce qui contredit l’égalité précédente. D’où une contradiction, comme annoncé.

Déduisez-en que toutes les normes de $E$ sont équivalentes

D’après ce qui a été effectué, la norme $\lVert \quad\rVert$ est plus fine que la norme $\lVert \quad\rVert_1.$ Dans le contenu rédigé [yanniswp_article_link nb= »377″ desc= »dans l’article 377″] il a été établi que la norme $\lVert \quad\rVert_1 $ est plus fine que la norme $\lVert \quad\rVert.$

Ainsi :

\exists R>0, \forall v \in E, \lVert v \rVert_1 \leq R\lVert v \rVert \\
\exists M>0, \forall v \in E, \lVert v \rVert \leq M\lVert v \rVert_1.

Vous en déduisez ce qui suit :

\exists (R, M)\in\R_{+}^{*}, \forall v \in E, \frac{1}{R}  \lVert v \rVert_1\leq  \lVert v \rVert \leq M  \lVert v \rVert_1

Autrement dit, les normes $\lVert \quad\rVert$ et $\lVert \quad\rVert_1$ sont équivalentes.

Soit maintenant $\lVert \quad\rVert’$ une autre norme de $E.$ En reprenant le raisonnement effectué, cette norme est aussi équivalente à $\lVert \quad\rVert_1$ donc :

\exists (R', M')\in(\R_{+}^{*})^2, \forall v \in E, \frac{1}{R'}  \lVert v \rVert_1\leq  \lVert v \rVert' \leq M'  \lVert v \rVert_1.

Soit maintenant $v\in E.$

D’une part :

\begin{align*}
\lVert v \rVert'  \leq M'  \lVert v \rVert_1 \leq M'R  \lVert v \rVert.
\end{align*}

D’autre part :

 \lVert v \rVert \leq M  \lVert v \rVert_1 \leq MR'  \lVert v \rVert'.

Ainsi :

\forall v\in E, \frac{1}{MR'} \lVert v \rVert \leq \lVert v \rVert' \leq M'R  \lVert v \rVert.

En posant $\alpha = \frac{1}{MR’}$ et $\beta = M’R$ vous avez $(\alpha, \beta)\in (\R_{+}^{*})^2$ et :

\boxed{\forall v\in E,\quad  \alpha \lVert v \rVert \leq \lVert v \rVert' \leq \beta  \lVert v \rVert.}

Ainsi, deux normes quelconques de $E$ sont équivalentes.