Soit $\theta$ un nombre réel. Vous souhaitez calculer $\cos 3\theta$ en fonction de $\cos \theta.$
Utilisez l’exponentielle complexe
Soit $a$ un nombre réel.
D’une part :
\e^{ia} = \cos a+ i\sin a.
D’autre part :
\e^{-ia}=\cos a-i\sin a.
Par somme, il vient :
\e^{ia}+\e^{-ia} = 2 \cos a.
Ainsi :
\boxed{\forall a\in\R, \e^{ia}+\e^{-ia} = 2 \cos a.}
Mettez au cube
En prenant $a=\theta$ vous déduisez :
\e^{i\theta}+\e^{-i\theta} =2\cos \theta.
L’égalité précédente est élevée au cube :
(\e^{i\theta}+\e^{-i\theta})^3 = 8\cos^3 \theta.
Vous utilisez la formule du binôme, à savoir :
\forall (u,v)\in\C^2, (u+v)^3=u^3+3u^2 v+3u v^2+v^3.
Avec $u= \e^{i\theta}$ et $v = \e^{-i\theta}$ vous obtenez :
\begin{align*}
8\cos^3 \theta &= (\e^{i\theta})^3+3(\e^{i\theta})^2\e^{-i\theta}+3\e^{i\theta}(\e^{-i\theta})^2+(\e^{-i\theta})^3\\
&=\e^{3i\theta}+3\e^{2i\theta}\e^{-i\theta}+3\e^{i\theta} \e^{-2i\theta}+\e^{-3i\theta}\\
&=\e^{3i\theta}+3\e^{i\theta}+3\e^{-i\theta} +\e^{-3i\theta}.
\end{align*}
Or, en prenant $a = 3\theta$ vous avez :
\e^{3i\theta}+\e^{-3i\theta} =2\cos 3\theta.
Du coup :
\begin{align*}
8\cos^3 \theta &= 2\cos 3\theta + 3(\e^{i\theta}+\e^{-i\theta})\\
&= 2\cos 3\theta + 6 \cos \theta.
\end{align*}
En divisant par $2$ vous avez :
4\cos^3 \theta = \cos 3\theta + 3\cos \theta.
Concluez
Il a été démontré que :
\boxed{\forall \theta\in\R, \cos 3\theta = 4\cos^3\theta-3\cos\theta.}