381. Une formule due à Machin avec la fraction 1/239

Le but de cet article est de démontrer, en utilisant les nombres complexes, que :

\frac{\pi}{4} = 4\arctan \frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}.

Cette formule est attribuée à Machin.

Introduisez deux nombres complexes

Vous posez :

\left\{\begin{align*} a &= 5+i\\ b&= 239+i. \end{align*} \right.

Mettez $a$ sous forme trigonométrique

Tout d’abord :

\begin{align*} \vert a \vert^2 &= 5^2+1^2\\ &=25+1\\ &=26. \end{align*}

Ainsi vous avez :

a= \sqrt{26}\left(\frac{5}{\sqrt{26}}+i\frac{1}{\sqrt{26}}\right).

D’autre part, comme $\left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2 = \frac{25}{26}+\frac{1}{26}=1$ vous déduisez qu’il existe un unique $\alpha\in]-\pi, \pi]$ tel que :

\left\{\begin{align*} \cos \alpha &= \frac{5}{\sqrt{26}}\\ \sin \alpha &= \frac{1}{\sqrt{26}}. \end{align*}\right.

De cette égalité vous déduisez :

\boxed{a = \sqrt{26}\,\e^{i\alpha}.}

Comme le sinus et le cosinus du nombre réel $\alpha$ sont strictement positifs, vous avez même $\alpha\in]0, \pi/2[.$

En calculant la tangente de $\alpha$ vous obtenez :

\begin{align*} \tan \alpha &= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\\ &= \frac{\frac{1}{\sqrt{26}}}{\frac{5}{\sqrt{26}}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{26}} \times \frac{\sqrt{26}}{5}\\ &= \frac{1}{5}. \end{align*}

Comme $\alpha \in ]-\pi/2, \pi/2[$ vous déduisez :

\boxed{\alpha = \arctan \frac{1}{5}.}

Mettez $b$ sous forme trigonométrique

De même, vous trouvez que :

\begin{align*} \vert b \vert^2 &= 239^2+1^2\\ &=57121+1\\ &=57122\\ &=2\times 28561\\ &= 2\times 169^2. \end{align*}

Ainsi $\vert b\vert = 169\sqrt{2}.$ Le raisonnement mené pour $a$ s’applique de la même façon : il existe un unique réel $\beta \in ]0, \pi/2[$ tel que $\cos\beta = \frac{239}{169\sqrt{2}}$ et $\sin\beta = \frac{1}{169\sqrt{2}}\comma$ et sa tangente vaut $\frac{1}{239}.$ En notant $\boxed{\beta = \arctan \frac{1}{239}}$, vous trouvez que la forme trigonométrique de $b$ est :

\boxed{b = 169\sqrt{2}\,\e^{i\beta}.}

Déterminez la forme trigonométrique d’un quotient

Le nombre $4\arctan \frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239} = 4\alpha – \beta$ est un argument du nombre complexe $\frac{a^4}{b}\comma$ dont vous trouvez la forme trigonométrique :

\begin{align*} \frac{a^4}{b} & = \frac{(\sqrt{26}\,\e^{i\alpha})^4}{169\sqrt{2}\,\e^{i\beta}}\\ &=\frac{26^2\,\e^{i4\alpha}}{169\sqrt{2}\,\e^{i\beta}}\\ &=\frac{676 }{169\sqrt{2} }\,\e^{i(4\alpha-\beta)}\\ &=\frac{4\times 169 }{169\sqrt{2} }\,\e^{i(4\alpha-\beta)}\\ &=\frac{4}{\sqrt{2} }\,\e^{i(4\alpha-\beta)}\\ &=\frac{4\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 }\,\e^{i(4\alpha-\beta)}\\ &=2 \sqrt{2}\,\e^{i(4\alpha-\beta)}. \end{align*}

Déterminez la forme algébrique du même quotient

Partant de $a = 5+i$ vous avez tout d’abord :

\begin{align*} a^2 &= 25-1+10i\\ &= 24+10i. \end{align*}

Ensuite :

\begin{align*} a^4 &= (a^2)^2\\ &= (24+10i)^2\\ &= 576-100+480i\\ &= 476+480i. \end{align*}

Ainsi :

\begin{align*} \frac{a^4}{b} &= \frac{476+480i}{239+i}\\ &= \frac{(476+480i)(239-i)}{239^2+1^2}\\ &=\frac{4(119+120i)(239-i)}{57122}\\ &=\frac{4\left[(119\times 239+120)+i(-119+120\times 239)\right]}{2\times 28561}\\ &=\frac{4(28561+28561i)}{2\times 28561}\\ &=\frac{4\times 28561(1+i)}{2\times 28561}\\ &=2(1+i)\\ &=2\sqrt{2} \, \e^{i\pi/4}. \end{align*}

Note. Il peut sembler surprenant que les nombres $119\times 239+120$ et $-119+120\times 239$ soient égaux. Cela peut être remarqué de la façon suivante :

\begin{align*} -119+120\times 239 &= -119+(119+1)\times 239\\ &= -119+239 + 119\times 239\\ &= 120 + 119\times 239. \end{align*}

Note. Pour voir que $119\times 239+120 =28561\comma$ vous pouvez écrire ce qui suit :

\begin{align*} 119\times 239+120 &= 119\times 239+119 + 1\\ &= 119\times 240 + 1\\ &= (120-1)\times 240 + 1\\ &= 120\times 240 – 240 + 1\\ &= 120\times 120\times 2 – 240 + 1\\ &= 14400\times 2 – 240 + 1\\ &= 28800- 240 + 1\\ &= 28560 + 1\\ &= 28561. \end{align*}

Concluez

Vous avez établi ce qui suit :

\frac{a^4}{b} = 2\sqrt{2} \, \e^{i\pi/4} = 2 \sqrt{2}\,\e^{i(4\alpha-\beta)}.

Donc il existe un entier relatif $k\in \Z$ tel que :

\frac{\pi}{4} = 4\alpha-\beta+2k\pi.

Pour montrer que $k = 0$ vous allez montrer que $4\alpha – \beta$ appartient à l’intervalle $[0, 2\pi/3].$

D’une part :

4\alpha -\beta = 3\alpha+(\alpha-\beta).

Comme $1/5$ est positif, $\alpha = \arctan \frac{1}{5}$ est positif aussi.

Il convient de constater aussi que $\frac{1}{5}\geq \frac{1}{239}.$ En appliquant la croissance de la fonction arctangente sur $\R$ vous déduisez que $\alpha \geq \beta.$ Donc $\alpha-\beta$ est positif.

Par somme, le réel $4\alpha-\beta$ est positif.

D’autre part, $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ avec $\pi/6$ appartenant à l’intervalle $]-\pi/2, \pi/2[$ si bien que $\frac{\pi}{6} = \arctan \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Or, les nombres considérés étant positifs, vous avez successivement :

\left\{\begin{align*} &75\geq 9\\ &25\times 3\geq 9\\ &5\sqrt{3}\geq 3\\ &\frac{\sqrt{3}}{3}\geq\frac{1}{5}. \end{align*} \right.

En appliquant la croissance de la fonction arctangente sur $\R$ vous déduisez que $\frac{\pi}{6}\geq \alpha.$

Donc $4\alpha \leq \frac{2\pi}{3}.$ Comme $\beta$ est positif :

4\alpha-\beta\leq 4\alpha\leq \frac{2\pi}{3}.

Ainsi :

4\alpha-\beta \in \left[0, \frac{2\pi}{3}\right].

Or, vous avez aussi :

\frac{\pi}{4} \in \left[0, \frac{2\pi}{3}\right].

Deux réels de l’intervalle $\left[0, \frac{2\pi}{3}\right]$ sont distants d’au plus $\frac{2\pi}{3}.$ Comme $\frac{\pi}{4}-(4\alpha-\beta) = 2k\pi\comma$ il vient :

\begin{align*} \left\vert \frac{\pi}{4}-(4\alpha-\beta) \right\vert &\leq \frac{2\pi}{3}\\ 2\vert k \vert \pi &\leq \frac{2\pi}{3}\\ \vert k \vert &\leq \frac{1}{3}. \end{align*}

Comme $k$ est un nombre entier, vous avez $k=0$ et donc $\frac{\pi}{4} = 4\alpha-\beta.$

La formule de Machin est ainsi établie :

\boxed{\frac{\pi}{4} = 4\arctan \frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}.}

Prolongements

Pourriez-vous démontrer la formule de Machin précitée en utilisant les formules d’addition de la fonction tangente ?

Vous souhaitez voir une autre formule attribuée à Machin qui se base sur cette technique ? Rendez-vous dans le contenu rédigé dans l’article 035.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 035.