Le but de cet article est de démontrer, en utilisant les nombres complexes, que :
\frac{\pi}{4} = 4\arctan \frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}.Cette formule est attribuée à Machin.
Introduisez deux nombres complexes
Vous posez :
\left\{\begin{align*}
a &= 5+i\\
b&= 239+i.
\end{align*}
\right.Mettez $a$ sous forme trigonométrique
Tour d’abord :
\begin{align*}
\vert a \vert^2 &= 5^2+1^2\\
&=25+1\\
&=26.
\end{align*}Ainsi vous avez :
a= \sqrt{26}\left(\frac{5}{\sqrt{26}}+i\frac{1}{\sqrt{26}}\right).D’autre part, comme $\left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2 = \frac{1}{26}+\frac{5}{26}=1$ vous déduisez qu’il existe un unique $\alpha\in]-\pi, \pi]$ tel que :
\left\{\begin{align*}
\cos \alpha &= \frac{5}{\sqrt{26}}\\
\sin \alpha &= \frac{1}{\sqrt{26}}.
\end{align*}\right.De cette égalité vous déduisez :
\boxed{a = \sqrt{26}\,\e^{i\alpha}.}Comme le sinus et le cosinus du nombre réel $\alpha$ sont strictement positifs, vous avez même $\alpha\in]0, \pi/2[.$
En calculant la tangente de $\alpha$ vous obtenez:
\begin{align*}
\tan \alpha &= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\\
&= \frac{\frac{1}{\sqrt{26}}}{\frac{5}{\sqrt{26}}}\\
&= \frac{1}{\sqrt{26}} \times \frac{\sqrt{26}}{5}\\
&= \frac{1}{5}.
\end{align*}Comme $\alpha \in ]-\pi/2, \pi/2[$ vous déduisez:
\boxed{\alpha = \arctan \frac{1}{5}.}Mettez $b$ sous forme trigonométrique
De même, vous trouvez que:
\begin{align*}
\vert b \vert^2 &= 239^2+1^2\\
&=57121+1\\
&=57122\\
&=2\times 28561\\
&= 2\times 169^2.
\end{align*}En posant $\boxed{\beta = \arctan \frac{1}{239}}$, vous trouvez que la forme trigonométrique de $b$ est:
\boxed{b = 169\sqrt{2}\,\e^{i\beta}.}Déterminez la forme trigonométrique d’un quotient
Le nombre $4\arctan \frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239} = 4\alpha – \beta$ n’est autre que l’argument du nombre complexe $\frac{a^4}{b}$ dont vous trouvez la forme trigonométrique:
\begin{align*}
\frac{a^4}{b} & = \frac{(\sqrt{26}\,\e^{i\alpha})^4}{169\sqrt{2}\,\e^{i\beta}}\\
&=\frac{26^2\,\e^{i4\alpha}}{169\sqrt{2}\,\e^{i\beta}}\\
&=\frac{676 }{169\sqrt{2} }\,\e^{i(4\alpha-\beta)}\\
&=\frac{4\times 169 }{169\sqrt{2} }\,\e^{i(4\alpha-\beta)}\\
&=\frac{4}{\sqrt{2} }\,\e^{i(4\alpha-\beta)}\\
&=\frac{4\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 }\,\e^{i(4\alpha-\beta)}\\
&=2 \sqrt{2}\,\e^{i(4\alpha-\beta)}.
\end{align*}Déterminez la forme algébrique du même quotient
Partant de $a = 5+i$ vous avez tout d’abord:
\begin{align*}
a^2 &= 25-1+10i\\
&= 24+10i.
\end{align*} Ensuite:
\begin{align*}
a^4 &= (a^2)^2\\
&= (24+10i)^2\\
&= 576-100+480i\\
&= 476+480i.
\end{align*}Ainsi:
\begin{align*}
\frac{a^4}{b} &= \frac{476+480i}{239+i}\\
&= \frac{(476+480i)(239-i)}{239^2+1^2}\\
&=\frac{4(119+120i)(239-i)}{57122}\\
&=\frac{4\left[(119\times 239+120)+i(-119+120\times 239)\right]}{2\times 28561}\\
&=\frac{4(28561+28561i)}{2\times 28561}\\
&=\frac{4\times 28561(1+i)}{2\times 28561}\\
&=2(1+i)\\
&=2\sqrt{2} \, \e^{i\pi/4}.
\end{align*}Note. Il peut sembler surprenant que les nombres $119\times 239+120$ et $-119+120\times 239$ soient égaux. Cela peut être remarqué de la façon suivante :
\begin{align*}
-119+120\times 239 &= -119+(119+1)\times 239\\
&= -119+239 + 119\times 239\\
&= 120 + 119\times 239.
\end{align*}Note. Pour voir que $119\times 239+120 =28561$ on peut écrire ce qui suit :
\begin{align*}
119\times 239+120 &= 119\times 239+119 + 1\\
&= 119\times 240 + 1\\
&= (120-1)\times 240 + 1\\
&= 120\times 240 - 240 + 1\\
&= 120\times 120\times 2 - 240 + 1\\
&= 14400\times 2 - 240 + 1\\
&= 28800- 240 + 1\\
&= 28560 + 1\\
&= 28561.
\end{align*}Concluez
Vous avez établi ce qui suit :
\frac{a^4}{b} = 2\sqrt{2} \, \e^{i\pi/4} = 2 \sqrt{2}\,\e^{i(4\alpha-\beta)}.Donc il existe un entier relatif $k\in \Z$ tel que :
\frac{\pi}{4} = 4\alpha-\beta+2k\pi.Pour montrer que $k = 0$ vous allez montrer que $4\alpha – \beta$ appartient à l’intervalle $[0, 2\pi/3].$
D’une part :
4\alpha -\beta = 3\alpha+(\alpha-\beta).
Comme $1/5$ est positif, $\alpha = \arctan \frac{1}{5}$ est positif aussi.
Il convient de constater aussi que $\frac{1}{5}\geq \frac{1}{239}.$ En appliquant la croissance de la fonction arctangente sur $\R$ vous déduisez que $\alpha \geq \beta.$ Donc $\alpha-\beta$ est positif.
Par somme, le réel $4\alpha-\beta$ est positif.
D’autre part, $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ avec $\pi/6$ appartenant à l’intervalle $]-\pi/2, \pi/2[$ si bien que $\frac{\pi}{6} = \arctan \frac{\sqrt{3}}{3}.$
Or:
\begin{align*}
75\geq 9\\
25\times 3\geq 9\\
5\sqrt{3}\geq 3\\
\frac{\sqrt{3}}{3}\geq\frac{1}{5}.
\end{align*}En appliquant la croissance de la fonction arctangente sur $\R$ vous déduisez que $\frac{\pi}{6}\geq \alpha.$
Donc $4\alpha \leq \frac{2\pi}{3}.$ Comme $\beta$ est positif:
4\alpha-\beta\leq 4\alpha\leq \frac{2\pi}{3}.Ainsi:
4\alpha-\beta \in \left[0, \frac{2\pi}{3}\right].Or, vous avez aussi :
\frac{\pi}{4} \in \left[0, \frac{2\pi}{3}\right].Du coup :
\begin{align*}
\left\vert \frac{\pi}{4}-(4\alpha-\beta) \right\vert \leq \frac{2\pi}{3}\\
2\vert k \vert \pi \leq \frac{2\pi}{3}\\
\vert k \vert \leq \frac{1}{3}.
\end{align*}Comme $k$ est un nombre entier, vous avez $k=0$ et donc $\frac{\pi}{4} = 4\alpha-\beta.$
La formule de Machin est ainsi établie :
\boxed{\frac{\pi}{4} = 4\arctan \frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}.}Prolongements
Pourriez-vous démontrer la formule de Machin précitée en utilisant les formules d’addition de la fonction tangente ?
Vous souhaitez voir une autre formule attribuée à Machin qui se base sur cette technique ? Rendez-vous dans le contenu rédigé dans l'article 035.
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