École AVOSZ

382. La théorie des déterminants d’ordre 1 à 4 (partie 1/3)

19 octobre 2025

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Le but de cette série de trois articles est de démontrer que l’on peut définir de façon récursive le déterminant par son développement selon la première ligne en utilisant des déterminants d’ordre inférieur, tout en établissant ses propriétés fondamentales.

Vous démontrerez ainsi qu’un déterminant d’ordre $n\comma$ pour $n$ compris entre $1$ et $4\comma$ est une forme $n$-linéaire alternée sur les lignes, qui prend la valeur $1$ sur l’identité. Vous démontrerez aussi que de tels déterminants se développent par rapport à n’importe laquelle de leurs lignes.

Dans toute la suite, vous supposez que les déterminants considérés prennent leurs valeurs dans un anneau commutatif unitaire noté $\A.$

Les déterminants d’ordre $1$

Pour tout $a\in\A$ vous posez :

\begin{vmatrix} a \end{vmatrix} = a.

Cette application définit bien une forme $1$-linéaire sur sa ligne, qui prend la valeur $1$ sur l’identité puisque $\begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1.$

Les déterminants d’ordre $2$

Suivant la définition récursive, vous posez :

\forall (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})\in\A^4, \quad \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} \end{vmatrix} -a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} \end{vmatrix}.

Compte tenu de la définition du déterminant d’ordre $1$ vous avez :

\forall (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})\in\A^4, \quad \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.

Note. Remarquez que :

\forall (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})\in\A^4, \quad-a_{21} \begin{vmatrix} a_{12} \end{vmatrix} +a_{22}\begin{vmatrix} a_{11} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}.

Le déterminant d’ordre $2$ peut donc aussi être développé par rapport à sa deuxième ligne.

Montrez que vous avez défini une forme $2$-linéaire sur les lignes

Pour la première ligne

Soit $(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}, b_{11}, b_{12}, \lambda )\in\A^7.$

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} + \lambda b_{11} & a_{12}+\lambda b_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} &= (a_{11} + \lambda b_{11}) a_{22} – (a_{12}+\lambda b_{12} )a_{21}\\ &=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})+\lambda(b_{11}a_{22}-b_{12}a_{21})\\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}. \end{align*}

La linéarité par rapport à la première ligne est démontrée.

Pour la deuxième ligne

Soit $(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}, b_{21}, b_{22}, \lambda) \in\A^7.$

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} + \lambda b_{21} & a_{22} + \lambda b_{22} \end{vmatrix} &= a_{11} ( a_{22} + \lambda b_{22}) – a_{12} (a_{21} + \lambda b_{21})\\ &=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})+\lambda(a_{11}b_{22}-a_{12}b_{21})\\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{vmatrix}. \end{align*}

La linéarité par rapport à la deuxième ligne est démontrée.

Montrez que vous avez défini une forme alternée sur les lignes

Il est rappelé qu’une forme est dite alternée sur les lignes, si et seulement si, elle vaut $0$ dès que deux lignes sont identiques.

Soit $(a,b) \in\A^2.$ Comme l’anneau $\A$ est commutatif, vous avez :

\begin{vmatrix} a & b\\ a & b \end{vmatrix} = ab-ba = 0.

Montrez que le déterminant d’ordre $2$ vaut $1$ sur l’identité

Vous effectuez le calcul directement :

\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\times 1 – 0\times 0 = 1.

Concluez

Le déterminant d’ordre $2$ est une forme $2$-linéaire alternée sur ses lignes, prenant la valeur $1$ sur l’identité. De plus, il se développe par rapport à n’importe laquelle de ses lignes.

Prolongement

Vous souhaitez voir comment cela se poursuit à l’ordre $3$ ? Allez lire le contenu rédigé dans l’article 383.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 383.