383. La théorie des déterminants d’ordre 1 à 4 (partie 2/3)

Ce document est le prolongement du contenu rédigé dans l'article 382, il en reprend les mêmes notations.

Les déterminants d’ordre 3

Quel que soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ vous définissez un déterminant d’ordre $3$ par le développement de la première ligne avec les déterminants d’ordre $2$ ce qui fournit :

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix}.

Montrez que vous avez défini une forme $3$-linéaire sur les lignes

Pour la première ligne

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ et soit $(b_{11}, b_{12}, b_{13}, \lambda)\in\A^4.$

Vous développez le déterminant ci-dessous par rapport à sa première ligne et constatez le caractère linéaire.

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} + \lambda b_{11} & a_{12} + \lambda b_{12} & a_{13} + \lambda b_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= (a_{11} + \lambda b_{11}) \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -(a_{12} + \lambda b_{12}) \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +(a_{13} + \lambda b_{13}) \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad + \lambda \left( b_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -b_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +b_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Pour la deuxième ligne

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ et soit $(b_{21}, b_{22}, b_{23}, \lambda)\in\A^4.$

Cette fois-ci, le développement du déterminant d’ordre $3$ par rapport à sa première ligne ne permet pas immédiatement de constater le caractère linéaire. Ce dernier provient du fait que tous les déterminants d’ordre $2$ apparaissant dans le calcul sont des formes $2$-linéaires, comme le montre le calcul suivant :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+ \lambda b_{21} & a_{22} + \lambda b_{22} & a_{23} + \lambda b_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} + \lambda b_{22} & a_{23} + \lambda b_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} + \lambda b_{21} & a_{23} + \lambda b_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} + \lambda b_{21} & a_{22} + \lambda b_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \left( \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{22} & b_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} \right) -a_{12} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{21} & b_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &\quad +a_{13} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{21} & b_{22} \\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +\lambda \left( a_{11} \begin{vmatrix} b_{22} &b_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} b_{21} & b_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} b_{21} & b_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Pour la troisième ligne

La méthode utilisée pour la deuxième ligne s’applique de façon similaire pour la troisième.

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ et soit $(b_{31}, b_{32}, b_{33}, \lambda)\in\A^4.$

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}+ \lambda b_{31} & a_{32} + \lambda b_{32} & a_{33}+ \lambda b_{33}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} + \lambda b_{32} & a_{33}+ \lambda b_{33} \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} + \lambda b_{31} & a_{33}+ \lambda b_{33} \\ \end{vmatrix} \\ &\quad + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} + \lambda b_{31} & a_{32}+ \lambda b_{32} \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \left( \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ b_{32} & b_{33} \\ \end{vmatrix} \right) -a_{12} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ b_{31} & b_{33} \\ \end{vmatrix} \right) \\ &\quad +a_{13} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ b_{31} & b_{32} \\ \end{vmatrix} \right) \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +\lambda \left( a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ b_{32} & b_{33}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ b_{31} & b_{33}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ b_{31} & b_{32}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ se développe par rapport à sa deuxième ligne

Par définition, le déterminant d’ordre $3$ se développe déjà par rapport à sa première ligne. Vous allez démontrer que cela reste vrai pour les autres lignes, mais des résultats préliminaires sont requis.

Les cas particuliers pour la deuxième ligne

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^6.$ Par définition du déterminant d’ordre $3$ vous avez :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 1 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}(0\times a_{33} - 0\times a_{32})-a_{12}(1\times a_{33} - 0\times a_{31})+a_{13}(1\times a_{32}-0\times a_{31})\\ &= a_{11}\times 0-a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32}\\ &= - (a_{12}a_{33}- a_{13}a_{32}) \\ &= - \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

De même :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}a_{33}-a_{12}\times 0+a_{13}\times (-a_{31})\\ &= a_{11}a_{33} - a_{13}a_{31}\\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & 0 & 1\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}\times (-a_{32}) -a_{12}\times (-a_{31})+a_{13}\times 0\\ &= a_{12}a_{31} - a_{11}a_{32}\\ &= - (a_{11}a_{32} - a_{12}a_{31}) \\ &= - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Et la linéarité par rapport à la deuxième ligne

$(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9.$

Vous utilisez la linéarité du déterminant par rapport à sa deuxième ligne :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & a_{22} & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & 0 & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{21}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 1 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} + a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} + a_{23} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & 0 & 1\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{21} \times \left(- \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}\right) +a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} + a_{23} \times \left( - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} \right) \\ &=-a_{21} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} +a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} -a_{23} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ se développe par rapport à sa troisième ligne

Les cas particuliers pour la troisième ligne

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})\in\A^6.$ Par définition du déterminant d’ordre $3$ vous avez :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 1 & 0 & 0\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ 1 & 0 \\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ 1 & 0 \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}\times 0 -a_{12}(- a_{23})+a_{13}(- a_{22})\\ &= a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}\\ &= \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 1 & 0\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ 1 & 0 \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ 0 & 0 \\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}(-a_{23})-a_{12}\times 0 + a_{13}a_{21}\\ &= a_{13}a_{21}-a_{11}a_{23} \\ &= -(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})\\ &= - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ 0 & 0 \\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}+a_{13}\times 0\\ &= a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Et la linéarité par rapport à la troisième ligne

$(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9.$

Vous utilisez la linéarité du déterminant par rapport à sa troisième ligne :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & 0 & 0\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & a_{32} & 0\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & a_{33}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{31}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 1 & 0 & 0\\ \end{vmatrix} + a_{32} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 1 & 0\\ \end{vmatrix} + a_{33} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} \\ &=a_{31} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \\ \end{vmatrix} -a_{32} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \\ \end{vmatrix} +a_{33} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ est alterné sur les lignes

Cas où les lignes $2$ et $3$ sont identiques

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})\in\A^6.$

Le développement par rapport à la première ligne et le caractère alterné des déterminants d’ordre $2$ permet de conclure.

En effet :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{22} & a_{23}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{21} & a_{23}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}\times 0+a_{12}\times 0+a_{13}\times 0\\ &=0. \end{align*}

Cas où les lignes $1$ et $3$ sont identiques

Dans ce cas, le développement par rapport à la première ligne ne permet plus de conclure en utilisant le même argument, parce que les déterminants d’ordre $2$ obtenus ne possèdent plus 2 lignes identiques.

Il a été démontré ci-dessus que le déterminant le développe par rapport à sa deuxième ligne, ce qui permet alors de conclure.

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})\in\A^6.$ Vous avez des déterminants d’ordre $2$ dont les lignes sont toutes identiques :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ \end{vmatrix} &= -a_{21} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{13} \\ \end{vmatrix} +a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{11} & a_{13} \\ \end{vmatrix} -a_{23} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{11} & a_{12} \\ \end{vmatrix} \\ &= -a_{21}\times 0 + a_{22}\times 0 - a_{23}\times 0\\ &=0. \end{align*}

Cas où les lignes $1$ et $2$ sont identiques

Vous développez le déterminant par rapport à sa troisième ligne.

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^6.$ Vous avez :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} &=a_{31} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{13} \\ \end{vmatrix} -a_{32} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{11} & a_{13} \\ \end{vmatrix} +a_{33} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{11} & a_{12} \\ \end{vmatrix} \\ &=a_{31}\times 0 - a_{32}\times 0 + a_{33}\times 0\\ &=0. \end{align*}

Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ vaut $1$ sur l’identité

Le développement du déterminant d’ordre $3$ par rapport à la première ligne fait apparaître le déterminant d’ordre $2$ sur l’identité qui vaut $1.$ Précisément :

\begin{align*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} &=1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} +0 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{vmatrix} \\ &=1. \end{align*}

Concluez

Le déterminant d’ordre $3$ est une forme $3$-linéaire alternée sur les lignes, qui vaut $1$ sur l’identité. De plus, il se développe par rapport à n’importe laquelle de ses lignes.

Prolongement

Vous souhaitez savoir comment les déterminants d’ordre $3$ permettent de construire les déterminants d’ordre $4$ ? Allez lire le contenu dans l'article 384.

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