Ce contenu est le prolongement d’un autre article, dont il reprend les mêmes notations.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 382.
Les déterminants d’ordre $3$
Quel que soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ vous définissez un déterminant d’ordre $3$ par le développement selon la première ligne, avec les déterminants d’ordre $2\comma$ ce qui fournit :
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix} =
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}.
Montrez que vous avez défini une forme $3$-linéaire sur les lignes
Pour la première ligne
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ et soit $(b_{11}, b_{12}, b_{13}, \lambda)\in\A^4.$
Vous développez le déterminant ci-dessous par rapport à sa première ligne et constatez le caractère linéaire.
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} + \lambda b_{11} & a_{12} + \lambda b_{12} & a_{13} + \lambda b_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
(a_{11} + \lambda b_{11})
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-(a_{12} + \lambda b_{12})
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+(a_{13} + \lambda b_{13})
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad + \lambda \left(
b_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-b_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+b_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Pour la deuxième ligne
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ et soit $(b_{21}, b_{22}, b_{23}, \lambda)\in\A^4.$
Cette fois-ci, le développement du déterminant d’ordre $3$ par rapport à sa première ligne ne permet pas immédiatement de constater le caractère linéaire. Ce dernier provient du fait que tous les déterminants d’ordre $2$ apparaissant dans le calcul sont des formes $2$-linéaires, comme le montre le calcul suivant :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21}+ \lambda b_{21} & a_{22} + \lambda b_{22} & a_{23} + \lambda b_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} + \lambda b_{22} & a_{23} + \lambda b_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} + \lambda b_{21} & a_{23} + \lambda b_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} + \lambda b_{21} & a_{22} + \lambda b_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11} \left(
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
b_{22} & b_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
\right)
-a_{12}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&\quad
+a_{13}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{22} \\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+\lambda
\left(
a_{11}
\begin{vmatrix}
b_{22} &b_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Pour la troisième ligne
La méthode utilisée pour la deuxième ligne s’applique de façon similaire pour la troisième.
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ et soit $(b_{31}, b_{32}, b_{33}, \lambda)\in\A^4.$
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31}+ \lambda b_{31} & a_{32} + \lambda b_{32} & a_{33}+ \lambda b_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} + \lambda b_{32} & a_{33}+ \lambda b_{33} \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} + \lambda b_{31} & a_{33}+ \lambda b_{33} \\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+ a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} + \lambda b_{31} & a_{32}+ \lambda b_{32} \\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
b_{32} & b_{33} \\
\end{vmatrix}
\right)
-a_{12}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
b_{31} & b_{33} \\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&\quad
+a_{13}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
b_{31} & b_{32} \\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad +\lambda
\left(
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
b_{32} & b_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
b_{31} & b_{33}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
b_{31} & b_{32}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
b_{31} & b_{32} & b_{33}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ se développe par rapport à sa deuxième ligne
Par définition, le déterminant d’ordre $3$ se développe déjà par rapport à sa première ligne. Vous allez démontrer que cela reste vrai pour les autres lignes, mais des résultats préliminaires sont requis.
Les cas particuliers pour la deuxième ligne
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^6.$ Par définition du déterminant d’ordre $3$ vous avez :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
1 & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11}(0\times a_{33} – 0\times a_{32})-a_{12}(1\times a_{33} – 0\times a_{31})+a_{13}(1\times a_{32}-0\times a_{31})\\
&= a_{11}\times 0-a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32}\\
&= – (a_{12}a_{33}- a_{13}a_{32}) \\
&=
– \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
De même :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
0 & 1 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}
\\
&= a_{11}a_{33}-a_{12}\times 0+a_{13}\times (-a_{31})\\
&= a_{11}a_{33} – a_{13}a_{31}\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
0 & 0 & 1\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}
\\
&= a_{11}\times (-a_{32}) -a_{12}\times (-a_{31})+a_{13}\times 0\\
&= a_{12}a_{31} – a_{11}a_{32}\\
&= – (a_{11}a_{32} – a_{12}a_{31}) \\
&=
– \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Et la linéarité par rapport à la deuxième ligne
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9.$
Vous utilisez la linéarité du déterminant par rapport à sa deuxième ligne :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
0 & a_{22} & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
0 & 0 & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{21}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
1 & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix} +
a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
0 & 1 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+
a_{23}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
0 & 0 & 1\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{21} \times \left(- \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}\right)
+a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
+
a_{23}
\times \left(
– \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=-a_{21} \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
+a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
-a_{23}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ se développe par rapport à sa troisième ligne
Les cas particuliers pour la troisième ligne
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})\in\A^6.$ Par définition du déterminant d’ordre $3$ vous avez :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
1 & 0 & 0\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
1 & 0 \\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
1 & 0 \\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11}\times 0 -a_{12}(- a_{23})+a_{13}(- a_{22})\\
&= a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & 1 & 0\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
1 & 0 \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
0 & 0 \\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}
\\
&= a_{11}(-a_{23})-a_{12}\times 0 + a_{13}a_{21}\\
&= a_{13}a_{21}-a_{11}a_{23} \\
&= -(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})\\
&= – \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{21} & a_{23} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
0 & 0 \\
\end{vmatrix}
\\
&= a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}+a_{13}\times 0\\
&= a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21}\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Et la linéarité par rapport à la troisième ligne
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9.$
Vous utilisez la linéarité du déterminant par rapport à sa troisième ligne :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & 0 & 0\\
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & a_{32} & 0\\
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & 0 & a_{33}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{31}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
1 & 0 & 0\\
\end{vmatrix} +
a_{32}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & 1 & 0\\
\end{vmatrix}
+
a_{33}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix}
\\
&=a_{31} \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23} \\
\end{vmatrix}
-a_{32}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{21} & a_{23} \\
\end{vmatrix}
+a_{33}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ est alterné sur les lignes
Cas où les lignes $2$ et $3$ sont identiques
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})\in\A^6.$
Le développement par rapport à la première ligne et le caractère alterné des déterminants d’ordre $2$ permettent de conclure.
En effet :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{22} & a_{23}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{21} & a_{23}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{21} & a_{22}\\
\end{vmatrix}
\\
&= a_{11}\times 0-a_{12}\times 0+a_{13}\times 0\\
&=0.
\end{align*}
Cas où les lignes $1$ et $3$ sont identiques
Dans ce cas, le développement par rapport à la première ligne ne permet plus de conclure en utilisant le même argument, parce que les déterminants d’ordre $2$ obtenus ne possèdent plus deux lignes identiques.
Il a été démontré ci-dessus que le déterminant se développe par rapport à sa deuxième ligne, ce qui permet alors de conclure.
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})\in\A^6.$ Les déterminants d’ordre $2$ obtenus ont chacun deux lignes identiques :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
\end{vmatrix}
&=
-a_{21} \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{12} & a_{13} \\
\end{vmatrix}
+a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{11} & a_{13} \\
\end{vmatrix}
-a_{23}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{11} & a_{12} \\
\end{vmatrix}
\\
&=
-a_{21}\times 0 + a_{22}\times 0 – a_{23}\times 0\\
&=0.
\end{align*}
Cas où les lignes $1$ et $2$ sont identiques
Vous développez le déterminant par rapport à sa troisième ligne.
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^6.$ Vous avez :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=a_{31} \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{12} & a_{13} \\
\end{vmatrix}
-a_{32}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{11} & a_{13} \\
\end{vmatrix}
+a_{33}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{11} & a_{12} \\
\end{vmatrix}
\\
&=a_{31}\times 0 – a_{32}\times 0 + a_{33}\times 0\\
&=0.
\end{align*}
Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ vaut $1$ sur l’identité
Le développement du déterminant d’ordre $3$ par rapport à la première ligne fait apparaître le déterminant d’ordre $2$ sur l’identité qui vaut $1.$ Précisément :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix}
&=1 \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}
-0
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}
+0
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{vmatrix}
\\
&= \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}
\\
&=1.
\end{align*}
Concluez
Le déterminant d’ordre $3$ est une forme $3$-linéaire alternée sur les lignes, qui vaut $1$ sur l’identité. De plus, il se développe par rapport à n’importe laquelle de ses lignes.
Prolongement
Vous souhaitez savoir comment les déterminants d’ordre $3$ permettent de construire les déterminants d’ordre quatre ? Allez lire l’article suivant.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 384.
