Ce document est le prolongement du contenu rédigé dans l’article 382, dont il reprend les mêmes notations.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 382.
Les déterminants d’ordre $3$
Quel que soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ vous définissez un déterminant d’ordre $3$ par le développement selon la première ligne, avec les déterminants d’ordre $2\comma$ ce qui fournit :
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix} =
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}.
Montrez que vous avez défini une forme $3$-linéaire sur les lignes
Pour la première ligne
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ et soit $(b_{11}, b_{12}, b_{13}, \lambda)\in\A^4.$
Vous développez le déterminant ci-dessous par rapport à sa première ligne et constatez le caractère linéaire.
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} + \lambda b_{11} & a_{12} + \lambda b_{12} & a_{13} + \lambda b_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
(a_{11} + \lambda b_{11})
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-(a_{12} + \lambda b_{12})
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+(a_{13} + \lambda b_{13})
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad + \lambda \left(
b_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-b_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+b_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Pour la deuxième ligne
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ et soit $(b_{21}, b_{22}, b_{23}, \lambda)\in\A^4.$
Cette fois-ci, le développement du déterminant d’ordre $3$ par rapport à sa première ligne ne permet pas immédiatement de constater le caractère linéaire. Ce dernier provient du fait que tous les déterminants d’ordre $2$ apparaissant dans le calcul sont des formes $2$-linéaires, comme le montre le calcul suivant :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21}+ \lambda b_{21} & a_{22} + \lambda b_{22} & a_{23} + \lambda b_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} + \lambda b_{22} & a_{23} + \lambda b_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} + \lambda b_{21} & a_{23} + \lambda b_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} + \lambda b_{21} & a_{22} + \lambda b_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11} \left(
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
b_{22} & b_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
\right)
-a_{12}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&\quad
+a_{13}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{22} \\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+\lambda
\left(
a_{11}
\begin{vmatrix}
b_{22} &b_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Pour la troisième ligne
La méthode utilisée pour la deuxième ligne s’applique de façon similaire pour la troisième.
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9$ et soit $(b_{31}, b_{32}, b_{33}, \lambda)\in\A^4.$
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31}+ \lambda b_{31} & a_{32} + \lambda b_{32} & a_{33}+ \lambda b_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} + \lambda b_{32} & a_{33}+ \lambda b_{33} \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} + \lambda b_{31} & a_{33}+ \lambda b_{33} \\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+ a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} + \lambda b_{31} & a_{32}+ \lambda b_{32} \\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
b_{32} & b_{33} \\
\end{vmatrix}
\right)
-a_{12}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
b_{31} & b_{33} \\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&\quad
+a_{13}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
b_{31} & b_{32} \\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad +\lambda
\left(
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
b_{32} & b_{33}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
b_{31} & b_{33}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
b_{31} & b_{32}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
b_{31} & b_{32} & b_{33}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ se développe par rapport à sa deuxième ligne
Par définition, le déterminant d’ordre $3$ se développe déjà par rapport à sa première ligne. Vous allez démontrer que cela reste vrai pour les autres lignes, mais des résultats préliminaires sont requis.
Les cas particuliers pour la deuxième ligne
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^6.$ Par définition du déterminant d’ordre $3$ vous avez :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
1 & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11}(0\times a_{33} – 0\times a_{32})-a_{12}(1\times a_{33} – 0\times a_{31})+a_{13}(1\times a_{32}-0\times a_{31})\\
&= a_{11}\times 0-a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32}\\
&= – (a_{12}a_{33}- a_{13}a_{32}) \\
&=
– \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
De même :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
0 & 1 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}
\\
&= a_{11}a_{33}-a_{12}\times 0+a_{13}\times (-a_{31})\\
&= a_{11}a_{33} – a_{13}a_{31}\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
0 & 0 & 1\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}
\\
&= a_{11}\times (-a_{32}) -a_{12}\times (-a_{31})+a_{13}\times 0\\
&= a_{12}a_{31} – a_{11}a_{32}\\
&= – (a_{11}a_{32} – a_{12}a_{31}) \\
&=
– \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Et la linéarité par rapport à la deuxième ligne
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9.$
Vous utilisez la linéarité du déterminant par rapport à sa deuxième ligne :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
0 & a_{22} & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
0 & 0 & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{21}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
1 & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix} +
a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
0 & 1 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
+
a_{23}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
0 & 0 & 1\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{21} \times \left(- \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}\right)
+a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
+
a_{23}
\times \left(
– \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=-a_{21} \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
+a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{vmatrix}
-a_{23}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ se développe par rapport à sa troisième ligne
Les cas particuliers pour la troisième ligne
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})\in\A^6.$ Par définition du déterminant d’ordre $3$ vous avez :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
1 & 0 & 0\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
1 & 0 \\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
1 & 0 \\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11}\times 0 -a_{12}(- a_{23})+a_{13}(- a_{22})\\
&= a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & 1 & 0\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
1 & 0 \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
0 & 0 \\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}
\\
&= a_{11}(-a_{23})-a_{12}\times 0 + a_{13}a_{21}\\
&= a_{13}a_{21}-a_{11}a_{23} \\
&= -(a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})\\
&= – \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{21} & a_{23} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
0 & 0 \\
\end{vmatrix}
\\
&= a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}+a_{13}\times 0\\
&= a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21}\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Et la linéarité par rapport à la troisième ligne
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^9.$
Vous utilisez la linéarité du déterminant par rapport à sa troisième ligne :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & 0 & 0\\
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & a_{32} & 0\\
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & 0 & a_{33}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{31}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
1 & 0 & 0\\
\end{vmatrix} +
a_{32}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & 1 & 0\\
\end{vmatrix}
+
a_{33}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix}
\\
&=a_{31} \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23} \\
\end{vmatrix}
-a_{32}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{21} & a_{23} \\
\end{vmatrix}
+a_{33}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ est alterné sur les lignes
Cas où les lignes $2$ et $3$ sont identiques
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})\in\A^6.$
Le développement par rapport à la première ligne et le caractère alterné des déterminants d’ordre $2$ permettent de conclure.
En effet :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
\end{vmatrix}
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{22} & a_{23}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{21} & a_{23}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{21} & a_{22}\\
\end{vmatrix}
\\
&= a_{11}\times 0-a_{12}\times 0+a_{13}\times 0\\
&=0.
\end{align*}
Cas où les lignes $1$ et $3$ sont identiques
Dans ce cas, le développement par rapport à la première ligne ne permet plus de conclure en utilisant le même argument, parce que les déterminants d’ordre $2$ obtenus ne possèdent plus $2$ lignes identiques.
Il a été démontré ci-dessus que le déterminant se développe par rapport à sa deuxième ligne, ce qui permet alors de conclure.
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23})\in\A^6.$ Les déterminants d’ordre $2$ obtenus ont chacun deux lignes identiques :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
\end{vmatrix}
&=
-a_{21} \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{12} & a_{13} \\
\end{vmatrix}
+a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{11} & a_{13} \\
\end{vmatrix}
-a_{23}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{11} & a_{12} \\
\end{vmatrix}
\\
&=
-a_{21}\times 0 + a_{22}\times 0 – a_{23}\times 0\\
&=0.
\end{align*}
Cas où les lignes $1$ et $2$ sont identiques
Vous développez le déterminant par rapport à sa troisième ligne.
Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{31}, a_{32}, a_{33})\in\A^6.$ Vous avez :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{vmatrix}
&=a_{31} \begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{12} & a_{13} \\
\end{vmatrix}
-a_{32}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{11} & a_{13} \\
\end{vmatrix}
+a_{33}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{11} & a_{12} \\
\end{vmatrix}
\\
&=a_{31}\times 0 – a_{32}\times 0 + a_{33}\times 0\\
&=0.
\end{align*}
Démontrez que le déterminant d’ordre $3$ vaut $1$ sur l’identité
Le développement du déterminant d’ordre $3$ par rapport à la première ligne fait apparaître le déterminant d’ordre $2$ sur l’identité qui vaut $1.$ Précisément :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix}
&=1 \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}
-0
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}
+0
\begin{vmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{vmatrix}
\\
&= \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{vmatrix}
\\
&=1.
\end{align*}
Concluez
Le déterminant d’ordre $3$ est une forme $3$-linéaire alternée sur les lignes, qui vaut $1$ sur l’identité. De plus, il se développe par rapport à n’importe laquelle de ses lignes.
Prolongement
Vous souhaitez savoir comment les déterminants d’ordre $3$ permettent de construire les déterminants d’ordre $4$ ? Allez lire le contenu rédigé dans l’article 384.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 384.
