384. La théorie des déterminants d’ordre 1 à 4 (partie 3/3)

Ce document s’inscrit dans la continuité des contenus rédigés dans l'article 382 et dans l'article 383, les mêmes notations y sont reprises.

Les déterminants d’ordre 4

Quels que soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4$ vous définissez un déterminant d’ordre $4$ par le développement de la première ligne avec les déterminants d’ordre $3$ précédemment définis comme suit :

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}.

Montrez que vous avez défini une forme $4$-linéaire sur les lignes

Pour la première ligne

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ puis $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4$ puis $(b_{11}, b_{12}, b_{13}, b_{14})\in \A^4$ et $\lambda\in\A.$

Vous développez le déterminant ci-dessous par rapport à sa première ligne et constatez le caractère linéaire.

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} +\lambda b_{11} & a_{12} +\lambda b_{12} & a_{13} +\lambda b_{13} & a_{14} +\lambda b_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &= (a_{11} +\lambda b_{11}) \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - (a_{12} +\lambda b_{12}) \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +(a_{13} +\lambda b_{13} ) \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -(a_{14} +\lambda b_{14}) \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +\lambda\left( b_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - b_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right. \\ &\quad \left. +b_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -b_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Pour la deuxième ligne

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ puis $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4$ puis $(b_{21}, b_{22}, b_{23}, b_{24})\in \A^4$ et $\lambda\in\A.$

Cette fois-ci, le développement du déterminant $D$ d’ordre $4$ par rapport à sa première ligne ne permet pas immédiatement de constater le caractère linéaire, comme le montre le calcul suivant :

\begin{align*} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} +\lambda b_{21} & a_{22} +\lambda b_{22} & a_{23} +\lambda b_{23} & a_{24} +\lambda b_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} +\lambda b_{22} & a_{23} +\lambda b_{23} & a_{24} +\lambda b_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} +\lambda b_{21} & a_{23} +\lambda b_{23} & a_{24} +\lambda b_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21}+\lambda b_{21} & a_{22} +\lambda b_{22}& a_{24}+\lambda b_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} +\lambda b_{21} & a_{22} +\lambda b_{22} & a_{23} +\lambda b_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Vous utilisez maintenant le fait que les déterminants d’ordre $3$ ci-dessus sont linéaires par rapport à leur première ligne.

\begin{align*} D &= a_{11} \left( \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) - a_{12} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{21} & b_{23} & b_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &\quad +a_{13} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{21} & b_{22} & b_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) -a_{14} \left( \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} +\lambda \begin{vmatrix} b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right). \end{align*}

Vous développez et factorisez par $\lambda.$

\begin{align*} D &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +\lambda\left( a_{11} \begin{vmatrix} b_{22} & b_{23} & b_{24}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} b_{21} & b_{23} & b_{24}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} b_{21} & b_{22} & b_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} b_{21} & b_{22} & b_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) \end{align*}

Ainsi :

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} +\lambda b_{21} & a_{22} +\lambda b_{22} & a_{23} +\lambda b_{23} & a_{24} +\lambda b_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} = D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} + \lambda \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}.

Pour la troisième ligne et la quatrième ligne

Vous utilisez un raisonnement similaire à celui présenté pour la deuxième ligne. Pour des raisons de longueur, le choix d’omettre les détails a été adopté.

Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ se développe par rapport à sa deuxième ligne

Par définition, le déterminant d’ordre $4$ se développe déjà par rapport à sa première ligne. Vous allez démontrer que cela reste vrai pour les autres lignes, mais des résultats préliminaires sont requis.

Les cas particuliers pour la deuxième ligne

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$ Par définition, vous avez :

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}= a_{11} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}.

Chaque déterminant d’ordre $3$ est alors développé par rapport à sa première ligne, si bien que :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}&= a_{11}\times 0 - a_{12} \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{32} & a_{34}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{32} & a_{33}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &=-\left( a_{12} \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{13} \begin{vmatrix} a_{32} & a_{34}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{14} \begin{vmatrix} a_{32} & a_{33}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right). \end{align*}

Vous reconnaissez le développement d’un déterminant d’ordre $3$ par rapport à sa première ligne. Donc :

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}.

Pour les positions restantes, vous effectuez la même démarche.

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$ Ainsi :

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}&= a_{11} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13}\left(- \begin{vmatrix} a_{31} & a_{34}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) -a_{14}\left(- \begin{vmatrix} a_{31} & a_{33}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{13} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{34}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{14} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{33}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}&= a_{11} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}\left(- \begin{vmatrix} a_{32} & a_{34}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) -a_{12}\left(- \begin{vmatrix} a_{31} & a_{34}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) +a_{14} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{32}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \\ &= -\left( a_{11} \begin{vmatrix} a_{32} & a_{34}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{34}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{32}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}&= a_{11} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}\ \begin{vmatrix} a_{32} & a_{33}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{33}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{31} & a_{32}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Et la linéarité par rapport à la deuxième ligne

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &=a_{21} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{23} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{24} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &=a_{21} \left( -\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) +a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{23} \left( -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) +a_{24} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= -a_{21} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{22} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{31} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad -a_{23} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{31} & a_{32} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{24} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ se développe par rapport à sa troisième ligne

Les propriétés de développement des déterminants d’ordre $3$ sont utilisées. La méthode décrite reprend la même démarche que celle exposée précédemment.

Les cas particuliers pour la troisième ligne

Vous développez les déterminants proposés en utilisant la définition, puis vous utilisez le fait que les déterminants d’ordre $3$ se développent par rapport à leur deuxième ligne.

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 1 & 0 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & 0\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ 1 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ 1 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 1 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= -a_{12}\left( - \begin{vmatrix} a_{23} & a_{24}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) +a_{13}\left( -\begin{vmatrix} a_{22} & a_{24}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) -a_{14} \left( - \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= a_{12} \begin{vmatrix} a_{23} & a_{24}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{13} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{24}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{14} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 1 & 0 & 0\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ 0 & 1 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 1 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \left(- \begin{vmatrix} a_{23} & a_{24}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{24}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= -\left( a_{11} \begin{vmatrix} a_{23} & a_{24}\\ a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{24}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 1 & 0\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 1 & 0\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ 0 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 1\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{24}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{24}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \left( - \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{24}\\ a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{24}\\ a_{41} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & 1\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & 1\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ 0 & 0 & 1\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{14} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11} \left( - \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) -a_{12} \left( - \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) +a_{13} \left( - \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= -\left( a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{41} & a_{43}\\ \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{41} & a_{42}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Et la linéarité par rapport à la troisième ligne

Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$

\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} &=a_{31} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{32} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{33} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{34} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &=a_{31} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{32} \left( - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &\quad +a_{33} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} +a_{34} \left( - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix} \right) \\ &= a_{31} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{32} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} \\ &\quad +a_{33} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{24}\\ a_{41} & a_{42} & a_{44}\\ \end{vmatrix} -a_{34} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43}\\ \end{vmatrix}. \end{align*}

Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ se développe par rapport à sa quatrième ligne

Vous utilisez un raisonnement similaire à celui présenté pour la troisième ligne. Pour des raisons de longueur, le choix d’omettre les détails a été adopté.

Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ est alterné sur les lignes

Soit $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4$ et $D$ le déterminant suivant :

D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}.

Supposez que le déterminant $D$ possède deux lignes identiques. Il existe un couple $(i,j)\in \llbracket 1, 4\rrbracket^2$ avec $i\neq j$ tel que les lignes $L_i$ et $L_j$ soient identiques.

Il existe alors un élément $k$ appartenant à l’ensemble $\llbracket 1, 4\rrbracket\setminus \{i, j\}.$

Vous développez le déterminant $D$ par rapport à la ligne $k$ ce qui est possible puisque $D$ est développable sur ses lignes peu importe laquelle. Il apparaît 4 déterminants d’ordre $3$ qui possèdent chacun deux lignes identiquement nulles. Comme il a été vu que les déterminants d’ordre $3$ sont alternés, vous en déduisez qu’ils sont tous nuls.

Vous déduisez donc par développement que $D = 0.$

Le déterminant d’ordre $4$ est ainsi alterné.

Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ vaut $1$ sur l’identité

Le développement du déterminant d’ordre $4$ par rapport à la première ligne fait apparaître le déterminant d’ordre $3$ sur l’identité qui vaut $1.$ Précisément :

\begin{align*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} &=1 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} +0 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} \\ &=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} \\ &=1. \end{align*}

Concluez

Le déterminant d’ordre $4$ est une forme $4$-linéaire alternée sur les lignes, qui vaut $1$ sur l’identité. De plus, il se développe par rapport à n’importe laquelle de ses lignes.

Prolongement

Pourriez-vous utiliser des notations adaptées pour démontrer que la méthode utilisée pour les déterminants d’ordre $2$ puis $3$ et $4$ se généralise aux déterminants d’ordre $n$ dès que $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$ ?

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