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Les déterminants d’ordre $4$
Quels que soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4$ vous définissez un déterminant d’ordre $4$ par le développement selon la première ligne, avec les déterminants d’ordre $3$ précédemment définis, comme suit :
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix} =
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}.
Montrez que vous avez défini une forme $4$-linéaire sur les lignes
Pour la première ligne
Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ puis $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4$ puis $(b_{11}, b_{12}, b_{13}, b_{14})\in \A^4$ et $\lambda\in\A.$
Vous développez le déterminant ci-dessous par rapport à sa première ligne et constatez le caractère linéaire.
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} +\lambda b_{11} & a_{12} +\lambda b_{12} & a_{13} +\lambda b_{13} & a_{14} +\lambda b_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
&=
(a_{11} +\lambda b_{11})
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– (a_{12} +\lambda b_{12})
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+(a_{13} +\lambda b_{13} )
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-(a_{14} +\lambda b_{14})
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+\lambda\left(
b_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– b_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\right.
\\
&\quad
\left.
+b_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-b_{14}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Pour la deuxième ligne
Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ puis $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4$ puis $(b_{21}, b_{22}, b_{23}, b_{24})\in \A^4$ et $\lambda\in\A.$
Cette fois-ci, le développement du déterminant $D$ d’ordre $4$ par rapport à sa première ligne ne permet pas immédiatement de constater le caractère linéaire, comme le montre le calcul suivant :
\begin{align*}
D &= \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} +\lambda b_{21} & a_{22} +\lambda b_{22} & a_{23} +\lambda b_{23} & a_{24} +\lambda b_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} +\lambda b_{22} & a_{23} +\lambda b_{23} & a_{24} +\lambda b_{24} \\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} +\lambda b_{21} & a_{23} +\lambda b_{23} & a_{24} +\lambda b_{24} \\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21}+\lambda b_{21} & a_{22} +\lambda b_{22}& a_{24}+\lambda b_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{21} +\lambda b_{21} & a_{22} +\lambda b_{22} & a_{23} +\lambda b_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Vous utilisez maintenant le fait que les déterminants d’ordre $3$ ci-dessus sont linéaires par rapport à leur première ligne.
\begin{align*}
D
&=
a_{11}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
b_{22} & b_{23} & b_{24} \\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\right)
– a_{12}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{23} & b_{24} \\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&\quad
+a_{13}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{22} & b_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\right)
-a_{14}
\left(
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
+\lambda
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{22} & b_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\right).
\end{align*}
Vous développez et factorisez par $\lambda.$
\begin{align*}
D &= a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+\lambda\left(
a_{11}
\begin{vmatrix}
b_{22} & b_{23} & b_{24}\\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– a_{12}
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{23} & b_{24}\\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{22} & b_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
b_{21} & b_{22} & b_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\right).
\end{align*}
Ainsi :
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} +\lambda b_{21} & a_{22} +\lambda b_{22} & a_{23} +\lambda b_{23} & a_{24} +\lambda b_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix} = D
=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix} + \lambda \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}.
Pour la troisième ligne et la quatrième ligne
Vous utilisez un raisonnement similaire à celui présenté pour la deuxième ligne. Pour des raisons de longueur, le choix d’omettre les détails a été adopté.
Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ se développe par rapport à sa deuxième ligne
Par définition, le déterminant d’ordre $4$ se développe déjà par rapport à sa première ligne. Vous allez démontrer que cela reste vrai pour les autres lignes, mais des résultats préliminaires sont requis.
Les cas particuliers pour la deuxième ligne
Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$ Par définition, vous avez :
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
1 & 0 & 0 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}=
a_{11}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0\\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– a_{12}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0\\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}.
Chaque déterminant d’ordre $3$ est alors développé par rapport à sa première ligne, si bien que :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
1 & 0 & 0 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}&=
a_{11}\times 0
– a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{33} & a_{34}\\
a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{32} & a_{34}\\
a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{32} & a_{33}\\
a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&=-\left(
a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{33} & a_{34}\\
a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{32} & a_{34}\\
a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{32} & a_{33}\\
a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\right).
\end{align*}
Vous reconnaissez le développement d’un déterminant d’ordre $3$ par rapport à sa première ligne. Donc :
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
1 & 0 & 0 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
=
-\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}.
Pour les positions restantes, vous effectuez la même démarche.
Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$ Ainsi :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
0 & 1 & 0 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0\\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– a_{12}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0\\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{33} & a_{34}\\
a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}\left(-
\begin{vmatrix}
a_{31} & a_{34}\\
a_{41} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\right)
-a_{14}\left(-
\begin{vmatrix}
a_{31} & a_{33}\\
a_{41} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{33} & a_{34}\\
a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{31} & a_{34}\\
a_{41} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{31} & a_{33}\\
a_{41} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} & a_{14}\\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
0 & 0 & 1 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 0\\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– a_{12}
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 0\\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 1\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11}\left(-
\begin{vmatrix}
a_{32} & a_{34}\\
a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\right)
-a_{12}\left(-
\begin{vmatrix}
a_{31} & a_{34}\\
a_{41} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\right)
-a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{31} & a_{32}\\
a_{41} & a_{42}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
-\left(
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{32} & a_{34}\\
a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{31} & a_{34}\\
a_{41} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{31} & a_{32}\\
a_{41} & a_{42}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
-\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{14}\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
0 & 0 & 0 & 1 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 1\\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– a_{12}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 1\\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 1\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{32} & a_{33}\\
a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{31} & a_{33}\\
a_{41} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{31} & a_{32}\\
a_{41} & a_{42}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Et la linéarité par rapport à la deuxième ligne
Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix} &=a_{21}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
1 & 0 & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
0 & 1 & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+a_{23}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
0 & 0 & 1 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{24}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
0 & 0 & 0 & 1\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\\
&=a_{21}
\left(
-\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\right)
+a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} & a_{14}\\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+a_{23}
\left(
-\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{14}\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\right)
+a_{24}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
-a_{21}
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} & a_{14}\\
a_{31} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
-a_{23}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{14}\\
a_{31} & a_{32} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{24}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ se développe par rapport à sa troisième ligne
Les propriétés de développement des déterminants d’ordre $3$ sont utilisées. La méthode décrite reprend la même démarche que celle exposée précédemment.
Les cas particuliers pour la troisième ligne
Vous développez les déterminants proposés en utilisant la définition, puis vous utilisez le fait que les déterminants d’ordre $3$ se développent par rapport à leur deuxième ligne.
Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
1 & 0 & 0 & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix} &=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
0 & 0 & 0\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24}\\
1 & 0 & 0\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24}\\
1 & 0 & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
1 & 0 & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&= -a_{12}\left(
– \begin{vmatrix}
a_{23} & a_{24}\\
a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\right)
+a_{13}\left(
-\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{24}\\
a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\right)
-a_{14} \left(
– \begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{23} & a_{24}\\
a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{24}\\
a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
0 & 1 & 0 & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix} &=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
1 & 0 & 0\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24}\\
0 & 0 & 0\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24}\\
0 & 1 & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & 1 & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&= a_{11}
\left(-
\begin{vmatrix}
a_{23} & a_{24}\\
a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\right)
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{24}\\
a_{41} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{41} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
-\left(
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{23} & a_{24}\\
a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{24}\\
a_{41} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{41} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
-\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{23} & a_{24} \\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
0 & 0 & 1 & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix} &=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
0 & 1 & 0\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24}\\
0 & 1 & 0\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24}\\
0 & 0 & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & 0 & 1\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&= a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{24}\\
a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{24}\\
a_{41} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\left(
– \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{41} & a_{42}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{24}\\
a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{24}\\
a_{41} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{41} & a_{42}\\
\end{vmatrix}
\\
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{24} \\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
0 & 0 & 0 & 1\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix} &=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
0 & 0 & 1\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
– a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24}\\
0 & 0 & 1\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24}\\
0 & 0 & 1\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
0 & 0 & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\\
&= a_{11}
\left(
–
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\right)
-a_{12}
\left(
–
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{41} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\right)
+a_{13}
\left(
– \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{41} & a_{42}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
-\left(
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{41} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{41} & a_{42}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
-\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Et la linéarité par rapport à la troisième ligne
Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4.$
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix} &=a_{31}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
1 & 0 & 0 & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{32}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
0 & 1 & 0 & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+a_{33}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
0 & 0 & 1 & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{34}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
0 & 0 & 0 & 1\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\\
&=a_{31}
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{32}
\left(
–
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{23} & a_{24}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&\quad
+a_{33}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{24}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
+a_{34}
\left(
–
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}
\right)
\\
&=
a_{31}
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{32}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{23} & a_{24}\\
a_{41} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
\\
&\quad
+a_{33}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{24}\\
a_{41} & a_{42} & a_{44}\\
\end{vmatrix}
-a_{34}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43}\\
\end{vmatrix}.
\end{align*}
Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ se développe par rapport à sa quatrième ligne
Vous utilisez un raisonnement similaire à celui présenté pour la troisième ligne. Pour des raisons de longueur, le choix d’omettre les détails a été adopté.
Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ est alterné sur les lignes
Soient $(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14})\in \A^4$ puis $(a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{24})\in \A^4$ puis $(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34})\in \A^4$ et $(a_{41}, a_{42}, a_{43}, a_{44})\in \A^4$ et $D$ le déterminant suivant :
D=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{vmatrix}.
Supposez que le déterminant $D$ possède deux lignes identiques. Il existe un couple $(i,j)\in \llbracket 1, 4\rrbracket^2$ avec $i\neq j$ tel que les lignes $L_i$ et $L_j$ soient identiques.
Il existe alors un élément $k$ appartenant à l’ensemble $\llbracket 1, 4\rrbracket\setminus \{i, j\}.$
Vous développez le déterminant $D$ par rapport à la ligne $k$ ce qui est possible puisque $D$ est développable sur ses lignes peu importe laquelle. Il apparaît $4$ déterminants d’ordre $3\comma$ qui possèdent chacun deux lignes identiques : en effet, la suppression de la ligne $k$ conserve les lignes $L_i$ et $L_j\comma$ chacune privée d’une même colonne. Comme il a été vu que les déterminants d’ordre $3$ sont alternés, vous en déduisez qu’ils sont tous nuls.
Vous déduisez donc par développement que $D = 0.$
Le déterminant d’ordre $4$ est ainsi alterné.
Démontrez que le déterminant d’ordre $4$ vaut $1$ sur l’identité
Le développement du déterminant d’ordre $4$ par rapport à la première ligne fait apparaître le déterminant d’ordre $3$ sur l’identité qui vaut $1.$ Précisément :
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix}
&=1 \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix}
-0
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix}
+0
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}
-0
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{vmatrix}
\\
&=\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix}
\\
&=1.
\end{align*}
Concluez
Le déterminant d’ordre $4$ est une forme $4$-linéaire alternée sur les lignes, qui vaut $1$ sur l’identité. De plus, il se développe par rapport à n’importe laquelle de ses lignes.
Prolongement
Pourriez-vous utiliser des notations adaptées pour démontrer que la méthode utilisée pour les déterminants d’ordre $2$ puis $3$ et $4$ se généralise aux déterminants d’ordre $n$ dès que $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$ ?