Pour $p=2$, le groupe des inversibles de $\Z/2\Z$ contient exactement un élément, le neutre de la multiplication, c’est bien un groupe cyclique.
Soit $p$ un nombre premier impair fixé. Vous notez $\left(\Z/p\Z\right)^{\times}$ le groupe des inversibles de $\Z/p\Z$ muni de la multiplication.
Étape préliminaire
Soit $k$ un nombre entier appartenant à l’intervalle $\llbracket 1, p-1\rrbracket.$
Comme $PGCD(k,p)$ divise $p$ qui est premier, vous avez $PGCD(k,p)\in\{1,p\}.$ Si $PGCD(k,p)=p$ alors $p$ divise $k$ donc $k\geq p.$ Mais ceci contredit l’inégalité $k\leq p-1.$ Donc $PGCD(k,p)=1.$
Pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $p-1$ la classe de $k$ dans $\Z/p\Z$ est inversible.
Si $k=p$, vous avez $PGCD(k,p) = p$ et comme $p\geq 2$ vous en déduisez que la classe de $p$ n’est pas inversible.
Ainsi, $\Z/p\Z$ contient exactement $p-1$ éléments, qui sont les classes de $k$ quand $k$ décrit l’intervalle $\llbracket 1, p-1\rrbracket.$
Les conséquences du théorème de Lagrange
Pour tout $k\in\llbracket 1, p-1\rrbracket$ la classe de $k$ élevée à la puissance $p-1$ est égale au neutre de $\left(\Z/p\Z\right)^{\times}.$ Cela entraîne le petit théorème de Fermat :
\forall k\in\llbracket 1, p-1\rrbracket, \ k^{p-1}\equiv 1\quad[p].L’idée est maintenant de considérer le polynôme $X^{p-1}-1$ à coefficients dans $\Z/p\Z.$ On rappelle que $\Z/p\Z$ est un anneau intègre. Comme $X^{p-1}-1$ est unitaire, possède déjà $p-1$ racines et a pour degré $p-1$ vous avez la factorisation suivante dans l’anneau $\Z/p\Z$ prouvant que $X^{p-1}-1$ est scindé :
X^{p-1}-1 = \prod_{k=1}^{p-1}(X-k).Pour tout diviseur $d$ de $p-1$ le polynôme $X^d-1$ divise le polynôme $X^{p-1}-1$ dans $\Z/p\Z$
Soit $d\in\NN$ un diviseur de $p-1.$ Il existe $d’\in\NN$ tel que $p-1 = dd’.$
Vous vous inspirez de $(X-1)(X^{d’-1}+\cdots +1)$ qui est égal à $X^{d’}-1$ comme le montre le développement suivant :
\begin{align*}
(X-1)\sum_{i=0}^{d'-1}X^i &= \sum_{i=0}^{d'-1}X^{i+1}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^i \\
&= \sum_{i=1}^{d'}X^{i}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^i \\
&= X^{d'}+\sum_{i=1}^{d'-1}X^{i}-\sum_{i=1}^{d'-1}X^i - 1 \\
&=X^{d'}-1.
\end{align*}Vous reprenez le même calcul en substituant $X$ par $X^d.$
\begin{align*}
(X^d-1)\sum_{i=0}^{d'-1}X^{id} &= \sum_{i=0}^{d'-1}X^{id+d}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^{id} \\
&= \sum_{i=0}^{d'-1}X^{(i+1)d}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^{id} \\
&= \sum_{i=1}^{d'}X^{id}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^{id} \\
&= X^{dd'}+\sum_{i=1}^{d'-1}X^{id}-\sum_{i=1}^{d'-1}X^{id} - 1 \\
&=X^{dd'}-1\\
&=X^{p-1}-1.
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