390. Pour tout nombre premier p le groupe des inversibles de Z/pZ est cyclique

Vous allez démontrer que, pour tout nombre premier $p\comma$ le groupe des inversibles de $\Z/p\Z$ est cyclique.

Pour $p=2\comma$ le groupe des inversibles de $\Z/2\Z$ contient exactement un élément, le neutre de la multiplication, c’est bien un groupe cyclique.

Soit $p$ un nombre premier impair fixé. Vous notez $\left(\Z/p\Z\right)^{\times}$ le groupe des inversibles de $\Z/p\Z$ muni de la multiplication.

Étape préliminaire

Soit $k$ un nombre entier appartenant à l’ensemble $\llbracket 1, p-1\rrbracket.$

Comme $\pgcd (k,p)$ divise $p$ qui est premier, vous avez $\pgcd (k,p)\in\{1,p\}.$ Si $\pgcd (k,p)=p$ alors $p$ divise $k$ donc $k\geq p.$ Mais ceci contredit l’inégalité $k\leq p-1.$ Donc $\pgcd (k,p)=1.$

Pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $p-1$ la classe de $k$ dans $\Z/p\Z$ est inversible.

Si $k=p\comma$ vous avez $\pgcd (k,p) = p$ et comme $p\geq 2$ vous en déduisez que la classe de $p$ dans $\Z/p\Z\comma$ qui est la classe nulle, n’est pas inversible.

Ainsi, $\left(\Z/p\Z\right)^{\times}$ contient exactement $p-1$ éléments, qui sont les classes de $k$ dans $\Z/p\Z$ quand $k$ décrit l’ensemble $\llbracket 1, p-1\rrbracket.$

Les conséquences du théorème de Lagrange

D’après le théorème de Lagrange, l’ordre de tout élément de $\left(\Z/p\Z\right)^{\times}$ divise le cardinal $p-1$ de ce groupe. Donc, pour tout $k\in\llbracket 1, p-1\rrbracket\comma$ la classe de $k$ élevée à la puissance $p-1$ est égale au neutre de $\left(\Z/p\Z\right)^{\times}.$ Cela entraîne le petit théorème de Fermat :

\forall k\in\llbracket 1, p-1\rrbracket, \ k^{p-1}\equiv 1\quad[p].

L’idée est maintenant de considérer le polynôme $X^{p-1}-1$ à coefficients dans $\Z/p\Z.$ Le nombre $p$ étant premier, le lemme d’Euclide implique que $\Z/p\Z$ est un anneau intègre. Le polynôme $X^{p-1}-1$ est unitaire, de degré $p-1\comma$ et il possède déjà $p-1$ racines deux à deux distinctes, à savoir les classes de $1, \dots, p-1.$ Vous en déduisez sa factorisation dans $\Z/p\Z[X]\comma$ et constatez qu’il est scindé à racines simples :

X^{p-1}-1 = \prod_{k=1}^{p-1}(X-k).

Pour tout diviseur $d$ de $p-1$ le polynôme $X^d-1$ divise le polynôme $X^{p-1}-1$ dans $\Z/p\Z[X]$

Soit $d\in\NN$ un diviseur de $p-1.$ Il existe $d’\in\NN$ tel que $p-1 = dd’.$

Vous vous inspirez du produit $(X-1)(X^{d’-1}+\cdots +1)$ qui est égal à $X^{d’}-1\comma$ comme le montre le développement suivant :

\begin{align*} (X-1)\sum_{i=0}^{d'-1}X^i &= \sum_{i=0}^{d'-1}X^{i+1}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^i \\ &= \sum_{i=1}^{d'}X^{i}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^i \\ &= X^{d'}+\sum_{i=1}^{d'-1}X^{i}-\sum_{i=1}^{d'-1}X^i – 1 \\ &=X^{d'}-1. \end{align*}

Vous reprenez le même calcul en substituant $X$ par $X^d$ ce qui fournit :

\begin{align*} (X^d-1)\sum_{i=0}^{d'-1}X^{id} &= \sum_{i=0}^{d'-1}X^{id+d}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^{id} \\ &= \sum_{i=0}^{d'-1}X^{(i+1)d}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^{id} \\ &= \sum_{i=1}^{d'}X^{id}-\sum_{i=0}^{d'-1}X^{id} \\ &= X^{dd'}+\sum_{i=1}^{d'-1}X^{id}-\sum_{i=1}^{d'-1}X^{id} – 1 \\ &=X^{dd'}-1\\ &=X^{p-1}-1. \end{align*}

Le polynôme $X^d-1$ divise donc le polynôme $X^{p-1}-1$ dans $\Z/p\Z[X].$

Construisez un élément d’ordre $p-1$ dans $\left(\Z/p\Z\right)^{\times}$

Le nombre $p-1$ est supérieur ou égal à $2.$ Il admet donc une décomposition en produit de facteurs premiers. Notez $p_1,\dots, p_n$ les nombres premiers deux à deux distincts intervenant dans cette décomposition, où $n$ est un entier naturel non nul. Il existe des exposants entiers $v_1, \dots, v_n$ tous strictement positifs, tels que $p-1 = \prod_{i=1}^n p_i^{v_i}.$

Soit maintenant $i$ un entier appartenant à l’ensemble $\llbracket 1, n\rrbracket.$ Comme $p_i^{v_i}$ divise $p-1\comma$ il s’ensuit que le polynôme $X^{p_i^{v_i}}-1$ divise le polynôme $X^{p-1}-1$ dans $\Z/p\Z[X].$ Comme $X^{p-1}-1$ est scindé et que ses racines sont simples, il en est de même pour $X^{p_i^{v_i}}-1.$ (La démonstration de ce résultat fait l’objet du prolongement ci-dessous.) Ainsi, dans $\Z/p\Z\comma$ l’équation $x^{p_i^{v_i}}=1$ admet exactement $p_i^{v_i}$ solutions.

De même, $p_i^{v_i-1}$ divise $p-1$ et vous trouvez que dans $\Z/p\Z$ l’équation $x^{p_i^{v_i-1}}=1$ admet exactement $p_i^{v_i-1}$ solutions.

Si $x\in\Z/p\Z$ vérifie $x^{p_i^{v_i-1}}=1\comma$ en élevant à la puissance $p_i\comma$ vous obtenez $\left(x^{p_i^{v_i-1}}\right)^{p_i}=1$ et par suite $x^{p_i \times p_i^{v_i-1}}=1$ soit $x^{p_i^{v_i}}=1.$ Donc, dans $\Z/p\Z\comma$ l’ensemble des solutions de l’équation $x^{p_i^{v_i-1}}=1$ est inclus dans l’ensemble des solutions de l’équation $x^{p_i^{v_i}}=1.$

Ainsi, il existe exactement $p_i^{v_i}-p_i^{v_i-1}$ éléments $x$ de $\Z/p\Z$ tels que $x^{p_i^{v_i}}=1$ et $x^{p_i^{v_i-1}}\neq 1.$

Comme $p_i^{v_i}-p_i^{v_i-1} = p_i^{v_i-1} (p_i-1)$ avec $p_i \geq 2$ vous avez $p_i^{v_i}-p_i^{v_i-1} \geq 1.$

Donc il existe un élément $x_i$ de $\Z/p\Z$ tel que $x_i^{p_i^{v_i}}=1$ et $x_i^{p_i^{v_i-1}}\neq 1.$

L’égalité $x_i^{p_i^{v_i}}=1$ montre que $x_i$ appartient à $\left(\Z/p\Z\right)^{\times}.$

Soit $d_i$ l’ordre de $x_i$ dans le groupe multiplicatif $\left(\Z/p\Z\right)^{\times}.$

Comme $x_i^{p_i^{v_i}}=1$ vous avez $d_i\mid p_i^{v_i}.$ Du coup il existe un entier naturel $r_i$ tel que $r_i\leq v_i$ et $d_i = p_i^{r_i}.$ Si $r_i \lt v_i$ alors $r_i \leq v_i-1.$ Or $x_i^{d_i}= 1$ d’où $x_i^{p_i^{r_i}}=1$ puis $\left(x_i^{p_i^{r_i}} \right)^{p_i^{v_i-1-r_i}}=1$ ce qui donne $x_i^{p_i^{v_i-1-r_i} p_i^{r_i}}=1$ et $x_i^{p_i^{v_i-1}}=1$ contradiction. Donc $r_i = v_i$ et $d_i = p_i^{v_i}.$

Pour tout $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$ il existe $x_i\in \left(\Z/p\Z\right)^{\times}$ tel que $x_i$ soit d’ordre $p_i^{v_i}.$

Vous considérez maintenant l’élément $x = \prod_{i=1}^n x_i$ de $\left(\Z/p\Z\right)^{\times}.$ Il est égal au produit commutatif d’éléments qui ont pour ordres respectifs $p_1^{v_1},\dots,p_n^{v_n}.$ Comme les nombres premiers $p_1,\dots,p_n$ sont deux à deux distincts, les nombres $p_1^{v_1},\dots,p_n^{v_n}$ sont premiers entre eux deux à deux. Ainsi, comme conséquence du résultat établi dans un autre article pour deux éléments, étendu à $n$ éléments par une récurrence immédiate, vous déduisez que $x$ a pour ordre $\prod_{i=1}^n p_i^{v_i} = p-1.$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 388.

Ainsi le groupe $\left(\Z/p\Z\right)^{\times}$ possède un élément d’ordre $p-1.$ Comme ce groupe possède exactement $p-1$ éléments, il est cyclique.

Prolongement

Démontrez le résultat qui a été utilisé dans ce contenu, à savoir : soit $A$ un anneau intègre unitaire et commutatif et soit $P$ un polynôme de $A[X]$ de degré supérieur ou égal à $1\comma$ qui soit scindé et à racines simples. Démontrez que, pour tout polynôme $Q\in A[X]\comma$ de degré supérieur ou égal à $1\comma$ si $Q$ divise le polynôme $P\comma$ alors $Q$ est également scindé à racines simples.