Dans ce contenu, qui constitue une suite de deux autres articles, vous travaillez avec des parties de $\R.$ À partir des notions topologiques de frontière, d’intérieur, d’adhérence, de parties ouvertes et de parties fermées, vous allez étudier les propriétés de l’ensemble suivant :

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 103.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 104.

Pour toute partie $P$ de $\R\comma$ vous notez :

• $\overline{P}$ la partie égale à l’adhérence de la partie $P\comma$ qui est constituée de l’union de $P$ et de sa frontière ;
• $\mathring{P}$ la partie égale à l’intérieur de la partie $P\comma$ qui est constituée de $P$ privée de sa frontière ;
• $P^c$ la partie appelée complémentaire de $P$ dans $\R.$ C’est la partie de $\R$ constituée par tous les réels n’appartenant pas à $P.$

Pour toute partie $P$ de $\R\comma$ vous appelez frontière de $P$ la partie de $\R$ notée $\partial P\comma$ constituée par l’ensemble des réels $x$ tels que, quel que soit $\varepsilon \gt0\comma$ l’intervalle $]x-\varepsilon, x+\varepsilon[$ contient au moins un élément de $P$ et au moins un réel n’appartenant pas à $P.$

Première partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $K$

Vous constatez que le complémentaire de $K$ dans $\R$ est :

Par ailleurs, la frontière de $K$ est :

Vous déduisez l’intérieur de $K\comma$ qui est égal à $K\setminus \partial K.$ Il vient :

Puis, vous formez l’adhérence de $K$ qui est égale à $K\cup \partial K.$ Vous obtenez :

À partir de l’ensemble $K\comma$ vous avez obtenu trois nouveaux ensembles. Cela est schématisé ci-dessous :

Deuxième partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $\mathring{K}$

Vous déterminez tout d’abord la frontière de l’ensemble $\mathring{K}.$ Vous obtenez :

L’intérieur de $\mathring{K}$ est égal à :

L’adhérence de $\mathring{K}$ est égale à :

Le complémentaire de $\mathring{K}$ est égal à :

Vous obtenez ainsi deux nouveaux ensembles, que vous rajoutez dans le graphe précédent.

Troisième partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $\overline{K}$

Vous déterminez tout d’abord la frontière de l’ensemble $\overline{K}.$ Vous obtenez :

L’intérieur de $\overline{K}$ est égal à :

L’adhérence de $\overline{K}$ est égale à :

Le complémentaire de $\overline{K}$ est égal à :

Vous obtenez encore deux nouveaux ensembles, que vous rajoutez dans le graphe précédent.

Quatrième partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $K^c$

Vous partez de :

Vous déterminez la frontière de l’ensemble $K^c.$ Vous obtenez :

L’intérieur de $K^c$ est égal à :

L’adhérence de $K^c$ est égale à :

Le complémentaire de $K^c$ est égal à $({K^c})^c = K.$

Vous n’obtenez aucun nouvel ensemble à rajouter.

Prolongement

Vous constatez qu’avec les notions d’intérieur, d’adhérence et de complémentaire, il a été possible de construire en tout huit ensembles.

Vous verrez ce qu’il advient si vous poursuivez ce processus.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 392.