Dans ce contenu, qui constitue une suite des éléments rédigés dans l'article 103 et dans l'article 104 vous travaillez avec des parties de $\R.$ À partir des notions topologiques de frontière, d’intérieur, d’adhérence, de parties ouvertes et de parties fermées, vous allez étudier les propriétés de l’ensemble suivant :
K = ]0,1[\cup]1, 2[\cup \{3\}\cup ([4,5]\cap \Q).Pour toute partie $P$ de $\R\comma$ vous notez :
- $\overline{P}$ la partie égale à l’adhérence de la partie $P\comma$ qui est constituée de l’union de $P$ et de sa frontière ;
- $\mathring{P}$ la partie égale à l’intérieur de la partie $P\comma$ qui est constituée de $P$ privée de sa frontière ;
- $P^c$ la partie appelée complémentaire de $P$ dans $\R.$ C’est la partie de $\R$ constituée par tous les réels n’appartenant pas à $P.$
Pour toute partie $P$ de $\R\comma$ vous appelez frontière de $P$ la partie de $\R$ notée $\partial P\comma$ constituée par l’ensemble des réels $x$ tels que, quel que soit $\varepsilon >0\comma$ l’intervalle $]x-\varepsilon, x+\varepsilon[$ contient au moins un élément de $P$ et au moins un réel n’appartenant pas à $P.$
Première partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $K$
Vous constatez que le complémentaire de $K$ dans $\R$ est:
K^c = ]-\infty,0]\cup \{1\} \cup [2,3[ \cup ]3, 4[ \cup (]4,5[ \cap \Q^c)\cup ]5, +\infty[.Par ailleurs, la frontière de $K$ est:
\partial K= \{0\}\cup \{1\} \cup \{2\} \cup \{3\} \cup [4,5].Vous déduisez l’intérieur de $K\comma$ qui est égal à $K\setminus \partial K.$ Il vient :
\mathring{K} = ]0,1[\cup]1, 2[.Puis, vous formez l’adhérence de $K$ qui est égale à $K\cup \partial K.$ Vous obtenez:
\overline{K} = [0, 2]\cup \{3\}\cup [4,5].À partir de l’ensemble $K\comma$ vous avez obtenu trois nouveaux ensembles. Cela est schématisé ci-dessous :
Deuxième partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $\mathring{K}$
Vous déterminez tout d’abord la frontière de l’ensemble $\mathring{K}.$ Vous obtenez :
\partial \mathring{K} = \{0\}\cup \{1\}\cup \{2\}.L’intérieur de $\mathring{K}$ est égal à :
\mathring{\mathring{K}}= \mathring{K}\setminus \partial \mathring{K} = ]0,1[\cup]1, 2[ = \mathring{K}.L’adhérence de $\mathring{K}$ est égale à:
\overline{\mathring{K}} = \mathring{K}\cup \partial \mathring{K} = [0,2].Le complémentaire de $\mathring{K}$ est égal à :
{(\mathring{K})}^{c} = ]-\infty, 0]\cup \{1\} \cup [2,+\infty[.Vous obtenez ainsi deux nouveaux ensembles, que vous rajoutez dans le graphe précédent.
Troisième partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $\overline{K}$
Vous déterminez tout d’abord la frontière de l’ensemble $\overline{K}.$ Vous obtenez:
\partial \overline{K} = \{0\}\cup \{2\}\cup \{3\}\cup \{4\}\cup \{5\}.L’intérieur de $\overline{K}$ est égal à:
\mathring{\overline{K}} = \overline{K} \setminus \partial \overline{K} = ]0,2[\cup ]4,5[.L’adhérence de $\overline{K}$ est égale à:
\overline{\overline{K}} = \overline{K} \cup \partial \overline{K} = [0, 2]\cup \{3\}\cup [4,5] = \overline{K}.Le complémentaire de $\overline{K}$ est égal à :
(\overline{K})^c = ]-\infty, 0[ \cup ]2, 3[\cup ]3, 4[\cup ]5, +\infty[.Vous obtenez encore deux nouveaux ensembles, que vous rajoutez dans le graphe précédent.
Quatrième partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $K^c$
Vous partez de:
K^c = ]-\infty,0]\cup \{1\} \cup [2,3[ \cup ]3, 4[ \cup (]4,5[ \cap \Q^c)\cup ]5, +\infty[.Vous déterminez la frontière de l’ensemble $K^c.$ Vous obtenez:
\partial K^c= \{0\}\cup \{1\} \cup\{2\} \cup \{3\}\cup [4,5].L’intérieur de $K^c$ est égal à :
\mathring{(K^c)} = K^c \setminus \partial K^c = ]-\infty,0[\cup ]2,3[ \cup ]3, 4[ \cup ]5, +\infty[ = (\overline{K})^c.L’adhérence de $K^c$ est égale à:
\overline{K^c} = K^c \cup \partial K^c = ]-\infty,0]\cup \{1\} \cup [2, +\infty[ = (\mathring{K})^c.Le complémentaire de $K^c$ est égal à $({K^c})^c = K.$
Vous n’obtenez aucun nouvel ensemble à rajouter.
Prolongement
Vous constatez qu’avec les notions d’intérieur, d’adhérence et de complémentaire, il a été possible de construire en tout huit d’ensembles.
Dans le contenu rédigé dans l'article 392 vous verrez ce qu’il advient si on poursuit ce processus.
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