Ce contenu est le prolongement de celui rédigé dans l'article 391. Les mêmes notations y sont reprises.
Première partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $\overline{\mathring{K}}$
Vous avez :
\overline{\mathring{K}} = [0,2].La frontière de $\overline{\mathring{K}}$ est :
\partial \overline{\mathring{K}} = \{0\}\cup \{2\}.L’intérieur de $\overline{\mathring{K}}$ est égal à :
\mathring{\overline{\mathring{K}}} = \overline{\mathring{K}} \setminus \partial \overline{\mathring{K}} = ]0,2[.L’adhérence de $\overline{\mathring{K}}$ est égale à:
\overline{\overline{\mathring{K}}} = \overline{\mathring{K}} \cup \partial \overline{\mathring{K}} = [0,2] = \overline{\mathring{K}} .Le complémentaire de $\overline{\mathring{K}}$ est égal à :
\left(\overline{\mathring{K}}\right)^c = ]-\infty,0[\cup ]2, +\infty[.Deux nouveaux ensembles apparaissent dans la schématisation.
Deuxième partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $(\mathring{K})^c$
La frontière de $(\mathring{K})^c$ est:
\partial (\mathring{K})^c = \{0\}\cup\{1\}\cup\{2\}.L’intérieur de $(\mathring{K})^c$ est égal à:
\mathring{\widehat{(\mathring{K})^c}} = ]-\infty, 0[\cup]2,+\infty[ = \left(\overline{\mathring{K}}\right)^c.L’adhérence de $(\mathring{K})^c$ est égale à:
\overline{(\mathring{K})^c} = ]-\infty, 0[\cup\{1\}\cup [2, +\infty[ = (\mathring{K})^c.Le complémentaire de $(\mathring{K})^c$ est égal à:
((\mathring{K})^c)^c =]0,1[\cup]1,2[= \mathring{K}.Aucun nouvel ensemble n’apparaît.
Troisième partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $(\overline{K})^c$
La frontière de $(\overline{K})^c$ est:
\partial (\overline{K})^c = \{0\}\cup \{2\} \cup\{3\}\cup\{4\}\cup\{5\}.L’intérieur de $(\overline{K})^c$ est égal à:
\mathring{\widehat{(\overline{K})^c}} = ]-\infty, 0[ \cup ]2, 3[\cup ]3, 4[\cup ]5, +\infty[ = (\overline{K})^c.L’adhérence de $(\overline{K})^c$ est égale à:
\overline{(\overline{K})^c} = ]-\infty, 0]\cup [2, 4]\cup [5, +\infty[.Le complémentaire de $(\overline{K})^c$ est égal à $\overline{K}.$
Un nouvel ensemble apparaît.
Quatrième partie, intérieur, adhérence et complémentaire de $\mathring{\overline{K}}$
La frontière de $\mathring{\overline{K}}$ est:
\partial \mathring{\overline{K}} = \{0\}\cup \{2\}\cup \{4\}\cup \{5\}.L’intérieur de $\mathring{\overline{K}}$ est égal à:
\mathring{\widehat{\mathring{\overline{K}}}} = ]0,2[\cup ]4,5[ = \mathring{\overline{K}}.L’adhérence de $\mathring{\overline{K}}$ est égale à:
\overline{\mathring{\overline{K}}} = [0,2]\cup [4,5].Le complémentaire de $\mathring{\overline{K}}$ est égal à :
\left(\mathring{\overline{K}}\right)^c = ]-\infty, 0]\cup [2,4]\cup [5, +\infty[ = \overline{(\overline{K})^c}.Un nouvel ensemble apparaît.
Prolongement
Vous constatez qu’avec les notions d’intérieur, d’adhérence et de complémentaire, il a été possible de construire en tout douze ensembles.
Dans le contenu rédigé dans l'article 393 vous verrez ce qu’il advient si on poursuit ce processus.
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