395. Le critère de Cauchy pour les fonctions HK-intégrables

Dans ce contenu, vous fixez deux réels $a$ et $b$ tels que $a\lt b$ et vous considérez une fonction $f$ définie sur le segment $[a,b]\comma$ à valeurs réelles.

Le terme jauge désigne une fonction définie sur $[a,b]$ à valeurs réelles strictement positives.

Vous appelez partition pointée de $[a,b]\comma$ ou plus simplement partition, tout ensemble $P$ de la forme :

P = \{(x_1,[a_0, a_1]), \dots, (x_m, [a_{m-1},a_m])\}

qui vérifie :

\left\{\begin{align*} &a=a_0\\ &a_0 \lt a_1 \lt \cdots \lt a_m\\ &a_m = b\\ &\forall i\in\llbracket 1, m\rrbracket, x_i\in [a_{i-1},a_i]. \end{align*} \right.

Pour une telle partition, vous notez $S(P)$ la somme de Riemann associée qui est égale à :

S(P)= \sum_{i=1}^m f(x_i)(a_i-a_{i-1}).

Si $\delta$ est une jauge, la partition $P$ est dite $\delta$-fine, si et seulement si :

\forall i\in\llbracket 1, m\rrbracket, [a_{i-1},a_i]\subset [x_i-\delta(x_i), x_i+\delta(x_i)].

La fonction $f$ est dite HK-intégrable sur $[a,b]$ (intégrable au sens de Henstock-Kurzweil), si et seulement s’il existe un réel $I$ tel que, pour tout réel $\varepsilon\gt0\comma$ il existe une jauge $\delta$ de sorte que, pour toute partition $P$ qui soit $\delta$-fine, vous ayez $\lvert S(P) – I\rvert \leq \varepsilon.$ Le réel $I$ est alors l’intégrale de $f$ sur $[a,b].$

La fonction $f$ vérifie le critère de Cauchy, si et seulement si, pour tout réel $\varepsilon\gt0\comma$ il existe une jauge $\delta$ de sorte que, quelles que soient les partitions $P$ et $Q$ qui soient $\delta$-fines, vous ayez $\lvert S(P) – S(Q)\rvert \leq \varepsilon.$

Montrez que si $f$ est HK-intégrable, elle vérifie le critère de Cauchy

Supposez que $f$ soit HK-intégrable et notez $I$ son intégrale sur $[a,b].$ Fixez un réel $\varepsilon$ qui soit strictement positif. En appliquant la définition avec le réel $\frac{\varepsilon}{2}\comma$ il existe une jauge $\delta$ telle que pour toute partition $P$ qui soit $\delta$-fine :

\lvert S(P) – I\rvert \leq \frac{\varepsilon}{2}.

Soient $P$ et $Q$ deux partitions qui sont $\delta$-fines. Alors, par inégalité triangulaire :

\begin{align*} \lvert S(P) – S(Q)\rvert &\leq \lvert S(P) – I \rvert + \lvert I-S(Q)\rvert\\ &\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &\leq \varepsilon. \end{align*}

Ainsi la fonction $f$ vérifie le critère de Cauchy.

Réciproquement, montrez que si $f$ vérifie le critère de Cauchy, alors elle est HK-intégrable

Supposez que $f$ vérifie le critère de Cauchy, c’est-à-dire que, pour tout $\varepsilon\gt0\comma$ il existe une jauge $\delta$ de sorte que quelles que soient les partitions $P$ et $Q$ qui soient $\delta$-fines vous ayez :

\lvert S(P) – S(Q)\rvert \leq \varepsilon.

Avant de montrer que $f$ est HK-intégrable, vous vous attachez à définir une suite de partitions dont les sommes de Riemann vont converger vers un réel.

Vous commencez en déduisant, en particulier, que pour tout entier naturel $n$ non nul, il existe une jauge $\delta_n$ de sorte que quelles que soient les partitions $P$ et $Q$ qui soient $\delta_n$-fines vous ayez :

\lvert S(P) – S(Q)\rvert \leq \frac{1}{n}.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, vous définissez une jauge $\tau_n$ par :

\forall x\in[a,b], \tau_n(x) = \min\{\delta_i(x), i\in\llbracket 1, n\rrbracket\}.

Comme minimum d’un nombre fini de réels strictement positifs, $\tau_n(x)$ est strictement positif pour tout $x\in[a,b]\comma$ donc $\tau_n$ est bien une jauge. Or, pour tout entier naturel $n$ non nul, il existe une partition $P_n$ qui soit $\tau_n$-fine, ceci résultant du lemme de Cousin.

Soit $n$ un entier naturel non nul et $p$ un entier naturel. La partition $P_{n+p}$ est $\tau_{n+p}$-fine. Or, pour tout réel $x\in[a,b]\comma$ $\tau_{n+p}(x) \leq \tau_n(x)\leq \delta_n(x)\comma$ donc $P_{n+p}$ est aussi $\delta_n$-fine. Comme $P_n$ est elle-même $\tau_n$-fine donc $\delta_n$-fine, vous déduisez :

\lvert S(P_n) – S(P_{n+p})\rvert \leq \frac{1}{n}.

Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif et soit $N$ un entier naturel non nul tel que $\frac{1}{N}\leq\varepsilon.$ Pour tout entier $n\geq N$ et pour tout entier naturel $p\comma$ vous avez $\lvert S(P_n) – S(P_{n+p})\rvert \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} \leq \varepsilon.$

Ainsi, la suite $(S(P_n))_{n\geq 1}$ est une suite de réels qui est de Cauchy, donc elle converge d’après le critère de Cauchy pour les suites réelles, démontré dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 396.

Il existe donc un réel $I$ tel que :

\lim_{n\to +\infty} S(P_n) = I.

Ces résultats préliminaires étant acquis, vous possédez les outils pour montrer que $f$ est HK-intégrable.

Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. Vous posez $N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1$ de sorte que $N$ est un entier naturel non nul et $N\gt \frac{1}{\varepsilon}$ d’où $\frac{1}{N}\leq \varepsilon.$

Pour cet entier $N\comma$ la jauge $\delta_N$ est telle que, quelles que soient les partitions $P$ et $Q$ qui soient $\delta_N$-fines, vous ayez :

\lvert S(P) – S(Q)\rvert \leq \frac{1}{N}\leq \varepsilon.

Soit $P$ une partition qui soit $\delta_N$-fine.

Pour tout entier naturel $p\comma$ la partition $P_{N+p}$ est $\tau_{N+p}$-fine donc $\delta_N$-fine. Il en résulte que :

\forall p\in\N, \lvert S(P) – S(P_{N+p})\rvert \leq \varepsilon.

Or :

\lim_{p\to +\infty} S(P_{N+p}) = I.

En faisant tendre $p$ vers $+\infty$ dans l’inégalité précitée il vient :

\lvert S(P) – I\rvert \leq \varepsilon.

Ainsi, pour tout réel $\varepsilon\gt0\comma$ il existe une jauge, à savoir $\delta_N\comma$ telle que toute partition $P$ qui soit $\delta_N$-fine vérifie $\lvert S(P) – I\rvert \leq \varepsilon.$ Donc $f$ est bien HK-intégrable, et son intégrale sur $[a,b]$ est égale à $I.$

Prolongement

En utilisant les propriétés des nombres réels, pourriez-vous démontrer le lemme de Cousin, qui affirme que pour toute jauge $\delta\comma$ il existe au moins une partition de $[a,b]$ qui soit $\delta$-fine ?