Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle, telle que :
\forall \varepsilon>0, \exists N\in\N, \forall n\geq N, \forall p\in\N, \vert u_n-u_{n+p}\vert \leq \varepsilon. Une telle suite, lorsqu’elle satisfait cet énoncé, vérifie ce qui appelé le critère de Cauchy. Vous allez démontrer qu’elle est convergente.
Démontrez que la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est bornée
En choisissant $\varepsilon =1$ vous déduisez qu’il existe un entier naturel $N$ tel que :
\forall n\geq N, \forall p\in\N, \vert u_n-u_{n+p}\vert \leq 1.En choisissant $n=N$ vous déduisez, en particulier, que :
\forall p\in\N, \vert u_N-u_{N+p}\vert \leq 1.Vous posez alors $M = 1+\max\{\vert u_i\vert, i\in\llbracket 0, N\rrbracket\}.$
Soit $n$ un entier naturel.
Si $n > N$, alors vous posez $p = n-N$ qui est en entier naturel. Par inégalité triangulaire :
\begin{align*}
\vert u_n \vert &\leq \vert u_{N+p}\vert\\
&\leq \vert u_{N+p}-u_N\vert + \vert u_N\vert \\
&\leq 1 + \vert u_N\vert\\
&\leq 1 + \max\{\vert u_i\vert, i\in\llbracket 0, N\rrbracket\}\\
&\leq M.
\end{align*}Si $n\leq N$ alors vous avez :
\begin{align*}
\vert u_n\vert &\leq \max\{\vert u_i\vert, i\in\llbracket 0, N\rrbracket\}\\
&\leq 1+ \max\{\vert u_i\vert, i\in\llbracket 0, N\rrbracket\}\\
&\leq M.
\end{align*}Ainsi, pour tout entier naturel $n$ vous avez $\vert u_n\vert \leq M.$
La suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est bornée.
Construisez une extractrice $\varphi$ de sorte que la suite $(u_{\varphi(n)})_{n\geq 0}$ soit convergente
Vous introduisez la notion d’entier culminant. Un entier naturel $n$ sera dit culminant, si et seulement si, tous les termes de la suite $(u_m)_{m\geq n+1}$ sont strictement inférieurs au réel $u_n.$
Soit $A$ l’ensemble des entiers culminants. Deux cas se présentent.
L’ensemble des points culminants est infini
Si $A$ est infini, il existe une infinité d’entiers naturels appartenant à $A\comma$ notés $n_0, n_1,n_2\dots$ de sorte que $n_0<n_1<n_2<\dots.$ Autrement dit, pour tout entier naturel $k\comma$ il existe une suite $(n_k)_{k\geq 0}$ strictement croissante telle que pour tout $k\in\N, n_k\in A.$ Or, si $k$ est un entier naturel, $n_k$ est culminant. Comme $n_{k+1}> n_k$ vous avez $u_{n_{k+1}}< u_{n_k}.$
Pour tout entier naturel $k\comma$ vous posez $\varphi(k) = n_k.$ La fonction $\varphi$ est une application de $\N$ dans $\N$ qui est strictement croissante, c’est une extractrice. La suite $(u_{\varphi(n)})_{n\geq 0}$ est décroissante. Comme la suite $(u_m)_{m\geq 0}$ est bornée, elle est minorée. Du coup, la suite $(u_{\varphi(n)})_{n\geq 0}$ est décroissante et minorée, donc convergente.
L’ensemble des points culminants est fini
Si $A$ est fini, soit il est vide, soit il possède un plus grand élément. Il existe donc un entier naturel $N$ tel que $\forall n\geq N, n\notin A.$ Vous posez $\varphi(0) = N$ et $\varphi(0)$ n’est pas culminant. Donc il existe un entier $\varphi(1)>\varphi(0)$ tel que $u_{\varphi(1)} \geq u_{\varphi(0)}.$
Soit $k$ un entier naturel non nul. Supposez que vous ayez construit des entiers naturels $\varphi(0),\dots,\varphi(k)$ tels que :
\begin{align*}
&N\leq \varphi(0)<\cdots<\varphi(k)\\
&u_{\varphi(0)}\leq \cdots \leq u_{\varphi(k)}.
\end{align*}Comme $\varphi(k)\geq N\comma$ vous avez $\varphi(k)\notin A\comma$ donc $\varphi(k)$ n’est pas culminant. Donc il existe un entier naturel $\varphi(k+1)> \varphi(k)$ tel que $u_{\varphi(k)} \leq u_{\varphi(k+1)}.$
Vous avez donc montré par récurrence qu’il existe une suite d’entiers naturels $(\varphi(k))_{k\geq 0}$ strictement croissante, telle que la suite $(u_{\varphi(k)})_{k\geq 0}$ soit croissante. Au passage, vous constatez que vous avez défini une application $\varphi$ de $\N$ dans $\N$ qui est strictement croissante, donc $\varphi$ est une extractrice. Or, comme la suite $(u_m)_{m\geq 0}$ est bornée, elle est majorée. Du coup, la suite $(u_{\varphi(n)})_{n\geq 0}$ est croissante et majorée, donc convergente.
Note. Vous avez dans cette section démontré le théorème de Bolzano-Weierstrass, qui précise que de toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente. Compte tenu de son importance, le choix de présenter une démonstration de ce résultat a été suivi.
Note. Il est également possible de démontrer une version différente de ce théorème, avec l’utilisation de la notion de quasi-majorant. Vous êtes invité à lire le contenu rédigé dans l'article 397 pour en savoir davantage.
Montrez que la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est convergente
D’après la section précédente, il existe une extractrice $\varphi$ et un réel $\ell$ tel que la suite $(u_{\varphi(n)})_{n\geq 0}$ converge vers $\ell.$
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. Comme la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ vérifie le critère de Cauchy, il existe un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\geq N$ et pour tout $p\in\N\comma$ vous ayez $\vert u_n – u_{n+p}\vert \leq \varepsilon.$ Vous en déduisez que quel que soit $n\geq N$ et quel que soit $m\geq N\comma$ vous avez $\vert u_n – u_m\vert \leq \varepsilon.$
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $N\comma$ fixé.
Soit $p$ un entier naturel. $\varphi$ étant une extractrice, vous avez $\forall m\in\N, \varphi(m)\geq m.$ En particulier, $\varphi(n+p) \geq n+p \geq n \geq N.$ Comme $n$ et $\varphi(n+p)$ sont supérieurs ou égaux à $N\comma$ vous avez :
\vert u_n - u_{\varphi(n+p)}\vert \leq \varepsilonDonc :
\forall p\in\N, \vert u_n - u_{\varphi(n+p)}\vert \leq \varepsilon.Cette inégalité étant vraie pour tout entier naturel $p\comma$ vous faites tendre $p$ vers $+\infty.$
Comme $\lim_{p\to +\infty} u_{\varphi(p)} = \ell\comma$ et comme $\lim_{p\to +\infty} n+p = +\infty\comma$ vous avez aussi $\lim_{p\to +\infty} u_{\varphi(n+p)} = \ell$ par composée. Du coup, vous avez obtenu :
\vert u_n - \ell\vert \leq \varepsilon.
La suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est bien convergente.
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