Etudiez la suite définie par $u_{n+1}=1-\frac{1}{u_n}$.
Recherchez les comportements
Choisissez un premier terme, par exemple $u_1=1$
$u_2 = 1-1 = 0$ exemple mal choisi, la suite $(u_n)$ n’est alors plus définie à cause de la division par 0.
Choisissez un autre premier terme, par exemple $u_1=2$
$u_2 = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$u_3 = 1-\frac{1}{\frac{1}{2}} = 1-2 = -1$
$u_4 = 1-\frac{1}{-1} = 1+1 = 2 = u_1$
du coup, vous pouvez montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+3}=u_n$, autrement dit, la suite $(u_n)$ est 3-périodique.
Le comportement identifié se reproduit-il ou est-il fortuit ?
Testez avec un autre premier terme, par exemple $u_1=13$
$u_2 = 1-\frac{1}{13} = \frac{12}{13}$
$u_3 = 1-\frac{1}{\frac{12}{13}} = 1-\frac{13}{12}= -\frac{1}{12}$
$u_4 = 1-\frac{1}{-\frac{1}{12}} = 1+12= 13 = u_1$
On a une confirmation.
Adoptez une démonstration
Montrez que, $\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+3}=u_n.$
$u_{n+1} = 1-\frac{1}{u_n} = \frac{u_n-1}{u_n}$
$u_{n+2} = 1-\frac{1}{\frac{u_n-1}{u_n}} = 1-\frac{u_n}{u_n-1}= \frac{u_n-1-u_n}{u_n-1} =-\frac{1}{u_n-1}$
$u_{n+3} = 1-\frac{ 1 }{-\frac{1}{u_n-1} }=1+u_n-1=u_n.$
Et voilà, vous avez terminé.
Que manque-t-il ?
La démonstration précédente présuppose que la suite est bien définie. Or, vous avez vu au début de cet article que si $u_1=1$, il y a un souci.
Déterminez pour finir pour quelles sont les valeurs possibles du premier terme $u_1$ pour que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ soit bien définie. Cela ne sera pas traité ici… à vous de jouer !
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