Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle telle que :
\left\{\begin{align*}
&\forall n\in\NN, u_n\neq 0\\
&\forall n\in\NN, u_{n+1} = 1-\frac{1}{u_n}.
\end{align*}
\right.
Il s’agit d’étudier une telle suite.
Recherchez des comportements
Effectuez des suppositions sur le premier terme
Supposez que $u_1=2.$ Alors :
\left\{\begin{align*}
&u_2 = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\\
&u_3 = 1-\frac{1}{\frac{1}{2}} = 1-2 = -1\\
&u_4 = 1-\frac{1}{-1} = 1+1 = 2 = u_1.
\end{align*}
\right.
Effectuez une conjecture
Comme $u_1 = u_4\comma$ il semble que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ soit $3$-périodique.
Vérifiez que le comportement identifié se reproduit
Supposez que $u_1=13.$ Alors :
\left\{\begin{align*}
&u_2 = 1-\frac{1}{13} = \frac{12}{13}\\
&u_3 = 1-\frac{1}{\frac{12}{13}} = 1-\frac{13}{12}= -\frac{1}{12}\\
&u_4= 1-\frac{1}{-\frac{1}{12}} = 1+12= 13 = u_1.
\end{align*}
\right.
Le comportement est confirmé, il est temps d’aller plus loin.
Adoptez une démonstration
Soit $n$ un entier naturel non nul. Par hypothèse, $u_n\neq 0$ ce qui permet d’écrire ce qui suit :
\begin{align*}
u_{n+1} = 1-\frac{1}{u_n} = \frac{u_n-1}{u_n}.
\end{align*}
Comme $u_{n+1}$ n’est pas nul non plus, vous avez $u_n\neq 1$ et :
\begin{align*}
u_{n+2} &= 1-\frac{1}{\frac{u_n-1}{u_n}}\\
&= 1-\frac{u_n}{u_n-1}\\
&= \frac{u_n-1-u_n}{u_n-1}\\
&=-\frac{1}{u_n-1}.
\end{align*}
Vous poursuivez :
\begin{align*}
u_{n+3} = 1-\frac{ 1 }{-\frac{1}{u_n-1} }=1+u_n-1=u_n.
\end{align*}
Concluez
Il a été démontré que :
\boxed{\forall n\in\NN, u_{n+3} = u_n.}
La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est bien $3$-périodique.