037. Etudiez la suite définie par $u_{n+1}=1-\frac{1}{u_n}$.

Recherchez les comportements

Choisissez un premier terme, par exemple \(u_1=1\).

\(u_2 = 1-1 = 0\) exemple mal choisi, la suite \((u_n)\) n’est alors plus définie à cause de la division par 0.

Choisissez un autre premier terme, par exemple \(u_1=2\)

\(u_2 = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
\(u_3 = 1-\frac{1}{\frac{1}{2}} = 1-2 = -1\)
\(u_4 = 1-\frac{1}{-1} = 1+1 = 2 = u_1\)
du coup, vous pouvez montrer par récurrence que \(\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+3}=u_n\), autrement dit, la suite \((u_n)\) est 3-périodique.

Le comportement identifié se reproduit-il ou est-il fortuit ?

Testez avec un autre premier terme, par exemple \(u_1=13\)

\(u_2 = 1-\frac{1}{13} = \frac{12}{13}\)
\(u_3 = 1-\frac{1}{\frac{12}{13}} = 1-\frac{13}{12}= -\frac{1}{12}\)
\(u_4 = 1-\frac{1}{-\frac{1}{12}} = 1+12= 13 = u_1\)
On a une confirmation.

Adoptez une démonstration

Montrez que, \(\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+3}=u_n\).
\(u_{n+1} = 1-\frac{1}{u_n} = \frac{u_n-1}{u_n}\)
\(u_{n+2} = 1-\frac{1}{\frac{u_n-1}{u_n}} = 1-\frac{u_n}{u_n-1}= \frac{u_n-1-u_n}{u_n-1} =-\frac{1}{u_n-1} \)
\(u_{n+3} = 1-\frac{ 1  }{-\frac{1}{u_n-1} }=1+u_n-1=u_n\).
Et voilà, vous avez terminé.

Que manque-t-il ?

La démonstration précédente présuppose que la suite est bien définie. Or, vous avez vu au début de cet article que si \(u_1=1\), il y a un souci.
Déterminez pour finir pour quelles sont les valeurs possibles du premier terme \(u_1 \) pour que la suite \((u_n)_{n\geq 1}\) soit bien définie. Cela ne sera pas traité ici… à vous de jouer !

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