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045. La somme infinie $\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}+\cdots$ vaut $\dfrac{\pi^2}{6}.$

Il s’agit d’une adaptation d’un article dû à Matsuoka en 1961.

Gardez en tête les propriétés vérifiées par les fonctions sinus et cosinus, valables pour tout nombre réel \(t\).
\(\begin{align*}
&\sin'(t)=\cos t\\
&\cos'(t)=-\sin t\\
&\cos^2 t + \sin^2 t =1.
\end{align*}\)

Les intégrales de Wallis

Pour tout entier naturel \(n\) définissez les suites d’intégrales positives suivantes, comme étant des intégrales de fonctions positives :

$$W_n = \int_{0}^{\pi/2} \cos^n t\,\mathrm dt$$

$$I_n = \int_{0}^{\pi/2}t^2 \cos^{n} t\,\mathrm dt$$

Calculez les premiers termes

\(I_0 =\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} t^2 \text{ d}t = \frac{\pi^3/8}{3}=\frac{\pi^3}{24}.\)
\(W_0 =\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} 1 \text{ d}t = \frac{\pi}{2}.\)
\(\begin{align*}
W_1 &= \int_{0}^{\pi/2} \cos t\text{ d}t\\
&=\left[ \sin t \right]_0^{\pi/2}\\
&=1.
\end{align*}\)
\(\begin{align*}
I_1 &= \int_{0}^{\pi/2}t^2 \cos t\text{ d}t\\
&=\left[t^2 \sin t \right]_0^{\pi/2} – 2 \int_{0}^{\pi/2} t \sin t\text{ d}t\\
&=\frac{\pi^2}{4} – 2 \left( \left[-t \cos t \right]_0^{\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2} \cos t\text{ d}t \right)\\
&=\frac{\pi^2}{4}-2 W_1\\
&=\frac{\pi^2}{4}-2. \\
\end{align*}\)

Leurs valeurs serviront plus loin.

Lien entre les termes de $W$

Soit \(n\) un entier naturel. Utilisez deux intégrations par parties.

\(\begin{align*}
W_{n+2}&= \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n+2} t\text{ d}t\\
&=\int_{0}^{\pi/2}\cos t \cos^{n+1} t \text{ d}t\\
&=\left[ \sin t \cos^{n+1} t \right]_0^{\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2} (n+1)\cos^{n} t\sin^2 t \text{ d}t\\
&=(n+1) \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n} t(1-\cos^2 t) \text{ d}t\\
&=(n+1)(W_n – W_{n+2})
\end{align*}\)

Déduisez-en une relation reliant \(W_n\) avec \(W_{n+2}\).

\(\begin{align*}
W_{n+2}&=(n+1)(W_n – W_{n+2})\\
(1 + n+1)W_{n+2}& = (n+1)W_n\\
(n+2)W_{n+2}& = (n+1)W_n
\end{align*}\)

Lien entre $I$ et $W$

Stratégie

Partez de la définition de \(W_n\) et du fait que \(\cos^n t\) peut être écrit sous forme du produit \(1\times \cos^n t\). Deux intégrations par parties permettront de faire apparaître \(t^2\) puis \(I_n\).

Calculs

\(\begin{align*}
W_{n+2} &= \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n+2} t\text{ d}t\\
&=\int_{0}^{\pi/2} 1\times \cos^{n+2} t\text{ d}t\\
&=\left[t \times \cos^{n+2} t\right]_0^{\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2} t\times (n+2) \cos^{n+1} t \sin t\text{ d}t\\
&=(n+2) \int_{0}^{\pi/2} t \cos^{n+1} t \sin t\text{ d}t\\
\end{align*}\)

\(\begin{align*}
\frac{W_{n+2}}{n+2} &= \int_{0}^{\pi/2} t \cos^{n+1} t \sin t\text{ d}t\\
&= \left[\frac{t^2}{2} \cos^{n+1} t \sin t \right]_0^{\pi/2}-\int_{0}^{\pi/2} \frac{t^2}{2} \left(\cos^{n+2}t-(n+1)\cos^n t\sin^2 t \right)\text{ d}t\\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} t^2 \left((n+1)\cos^n t(1-\cos^2 t)-\cos^{n+2}t \right)\text{ d}t\\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} t^2 \left((n+1)\cos^n t-(n+1)\cos^{n+2} t-\cos^{n+2}t \right)\text{ d}t\\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} t^2 \left((n+1)\cos^n t-(n+2)\cos^{n+2} t \right)\text{ d}t\\
&=\frac{(n+1)I_n-(n+2)I_{n+2}}{2}\\
\end{align*}\)

Conclusion

Pour tout entier naturel \(n\), \(2W_{n+2}=(n+1)(n+2)I_n-(n+2)^2I_{n+2}.\)

Une somme télescopique

La fonction cosinus étant positive, continue et non identiquement nulle sur \(\left[0,\pi/2\right]\), pour tout entier naturel \(n\), \(W_n > 0\).

Pour tout entier naturel \(n\) :
\(\begin{align*}
2 &=(n+1)(n+2)\frac{I_n}{W_{n+2}}-(n+2)^2\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\\
2 &=(n+1)(n+2)^2\frac{I_n}{(n+2)W_{n+2}}-(n+2)^2\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\\
2 &=(n+1)(n+2)^2\frac{I_n}{(n+1)W_{n}}-(n+2)^2\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\\
2 &=(n+2)^2\frac{I_n}{W_{n}}-(n+2)^2\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\\
\end{align*}\)
Et voilà, vous obtenez l’important résultat : \(\displaystyle\frac{2}{(n+2)^2}=\frac{I_n}{W_{n}}-\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}.\)

Vous allez maintenant sommer avec le symbole “sigma”.
Soit \(N\) un entier naturel supérieur ou égal à 2.
\(\begin{align*}
\sum_{n=0}^N \frac{1}{(n+2)^2} &=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^N\left( \frac{I_n}{W_{n}}-\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\right)\\
&=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^N \frac{I_n}{W_{n}}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^N \frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\\
&=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^N \frac{I_n}{W_{n}}-\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{N+2} \frac{I_{n}}{W_{n}}\\
&=\frac{1}{2}\frac{I_0}{W_0} + \frac{1}{2}\frac{I_1}{W_1}+ \frac{1}{2}\sum_{n=2}^N \frac{I_n}{W_{n}}-\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{N+2} \frac{I_{n}}{W_{n}}\\
&=\frac{1}{2}\frac{I_0}{W_0} + \frac{1}{2}\frac{I_1}{W_1}- \frac{1}{2}\frac{I_{N+1}}{W_{N+1}}-\frac{1}{2}\frac{I_{N+2}}{W_{N+2}}\\
\end{align*}\)

Le calcul de $1/1^2+1/2^2+1/3^2+\cdots+1/N^2$

Soit \(N\) un entier naturel supérieur ou égal à 4, de sorte que \(N-2\) est supérieur ou égal à 2, ce qui permet d’utiliser le résultat précédent.
\(\begin{align*}
\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2} &= 1 +\sum_{n=2}^N \frac{1}{n^2}\\
&= 1 +\sum_{n=0}^{N-2} \frac{1}{(n+2)^2}\\
&= 1 +\frac{1}{2}\frac{I_0}{W_0} + \frac{1}{2}\frac{I_1}{W_1}- \frac{1}{2}\frac{I_{N-1}}{W_{N-1}}-\frac{1}{2}\frac{I_{N}}{W_{N}}\\
\end{align*}\)

Une majoration de $I/W$

Une majoration importante : $\sin t\leq \frac{2}{\pi} t$

Pour tout réel \(t\in \mathbb{R}\) posez \(f(t) = \displaystyle\frac{\pi}{2}\sin t – t\). La fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \( \mathbb{R}\) avec \(f'(t) = \displaystyle\frac{\pi \cos t – 2}{2}\) et \(f^{\prime\prime}(t) = -\displaystyle\frac{\pi \sin t}{2} \).

Sur l’intervalle \(\left]0 ; \pi/2 \right[\), la fonction \(f^{\prime\prime}\) est strictement négative. La fonction \(f’\) est continue sur \(\left[0 ; \pi/2 \right]\) donc \(f’\) est strictement décroissante sur l’intervalle \(\left[0 ; \pi/2 \right]\).

Comme \(f'(0) \geq \displaystyle\frac{\pi-2}{2} > 0\) et \(f’\left(\frac{\pi}{2}\right)\leq -1 < 0\), vous déduisez l’existence d’un unique réel \( \alpha\in\left]0 ; \pi/2 \right[\) tel que \(f'(\alpha)=0\).

Sur l’intervalle \([0,\alpha]\), la fonction \(f\) est croissante. Pour tout \(t\in [0,\alpha] \), \(f(t)\geq f(0)\geq 0\).
Sur l’intervalle \(\left[\alpha,\frac{\pi}{2}\right]\), la fonction \(f\) est décroissante. Pour tout \(t\in \left[\alpha,\frac{\pi}{2}\right]\), \(f(t)\geq f\left(\frac{\pi}{2}\right)\geq 0\).

D’où la majoration, valable pour tout \(t\in \left[0 ; \pi/2 \right]\) : \(t\leq \displaystyle\frac{\pi}{2}\sin t\).

Cela est aussi une conséquence de ce qui s’appelle la “concavité” de la fonction sinus sur \(\left[0 ; \pi/2 \right]\), mais ce n’est pas l’objet de cet article.

$I/W$ est majoré et a $0$ pour limite

\(\begin{align*}
0\leq I_n &\leq \int_{0}^{\pi/2}t^2 \cos^{n} t\text{ d}t\\
&\leq \frac{\pi^2}{4} \int_{0}^{\pi/2}\sin t^2 \cos^{n} t\text{ d}t\\
&\leq \frac{\pi^2}{4} \int_{0}^{\pi/2}(1-\cos t^2) \cos^{n} t\text{ d}t\\
&\leq \frac{\pi^2}{4} (W_n-W_{n+2})\\
&\leq \frac{\pi^2}{4(n+2)} ((n+2)W_n-(n+2)W_{n+2})\\
&\leq \frac{\pi^2}{4(n+2)} ((n+2)W_n-(n+1)W_{n})\\
&\leq \frac{\pi^2}{4(n+2)} W_n
\end{align*}\)

Vous avez \(\displaystyle\lim_{n\to + \infty} \frac{I_n}{W_n}=0\).

Comment obtenir le $\pi^2 /6$ ?

D’après tout ce qui précède, la limite \(\displaystyle\lim_{N\to +\infty}\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2}\) est finie, notez-la \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}\) et calculez-la explicitement.
\(\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} &= 1 +\frac{1}{2}\frac{I_0}{W_0} + \frac{1}{2}\frac{I_1}{W_1}\\
&=1+\frac{\pi^2}{24}+\frac{\pi^2}{8}-1\\
&=\frac{\pi^2}{24}+\frac{3\pi^2}{24}\\
&=\frac{4\pi^2}{24}\\
&=\frac{\pi^2}{6}.
\end{align*}\)

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