Dans cet article, vous trouverez une démonstration de l’égalité suivante :
\lim_{N\to +\infty} \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.
Utilisez les intégrales de Wallis
Définissez deux suites
Pour tout entier naturel $n\comma$ vous posez :
\left\{
\begin{align*}
&W_n = \int_{0}^{\pi/2} \cos^n t\ \dt\\
&I_n = \int_{0}^{\pi/2}t^2 \cos^{n} t\ \dt.
\end{align*}
\right.
Calculez le premier terme de chaque suite
En remplaçant $n$ par $0$ dans les égalités précédentes, vous trouvez :
\left\{\begin{align*}
&W_0 =\int_{0}^{\pi/2} 1 \dt = \frac{\pi}{2}\\
&I_0 =\int_{0}^{\pi/2} t^2 \dt = \frac{\pi^3/8}{3}=\frac{\pi^3}{24}.
\end{align*}
\right.
Trouvez une relation de récurrence pour la suite $(W_n)_{n\geq 0}$
Soit $n$ un entier naturel, vous utilisez deux intégrations par parties.
\begin{align*}
W_{n+2}&= \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n+2} t\ \dt\\
&=\int_{0}^{\pi/2}\cos t\ \cos^{n+1} t \ \dt\\
&=\left[ \sin t\ \cos^{n+1} t \right]_0^{\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2} (n+1)\cos^{n} t\ \sin^2 t \ \dt\\
&=(n+1) \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n} t\ (1-\cos^2 t) \ \dt\\
&=(n+1) \int_{0}^{\pi/2} (\cos^{n} t -\cos^{n+2} t) \ \dt\\
&=(n+1)(W_n – W_{n+2}).
\end{align*}
En regroupant les termes en $W_{n+2}$ ensemble, il vient :
\begin{align*}
(n+2)W_{n+2}& = (n+1)W_n \\
W_{n+2} &= \frac{n+1}{n+2}W_n.
\end{align*}
Exprimez $W_{n+2}$ en fonction de $I_n$ et de $I_{n+2}$
Soit $n$ un entier naturel.
Commencez par une première intégration par parties
Partez de la définition de $W_{n+2}$ et du fait que $\cos^{n+2} t$ peut être écrit sous forme du produit $1\times \cos^{n+2} t.$
\begin{align*}
W_{n+2} &= \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n+2} t\ \dt\\
&=\int_{0}^{\pi/2} 1\times \cos^{n+2} t \dt\\
&=\left[t \times \cos^{n+2} t\right]_0^{\pi/2} + (n+2)\int_{0}^{\pi/2} t \cos^{n+1} t\ \sin t\ \dt\\
&=(n+2) \int_{0}^{\pi/2} t \cos^{n+1} t\ \sin t\ \dt.
\end{align*}
Vous posez $J_n = \int_{0}^{\pi/2} t \cos^{n+1}t\ \sin t\ \dt\comma$ et vous obtenez $W_{n+2} = (n+2)J_n.$
Pour calculer l’intégrale $J_n\comma$ vous utilisez une seconde intégration par parties.
\begin{align*}
J_n
&= \left[\frac{t^2}{2} \cos^{n+1}t\ \sin t \right]_0^{\pi/2}\\
&\quad-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} t^2 \left(-(n+1)\cos^n t\ \sin^2 t+\cos^{n+2}t \right)\dt\\
&=\frac{n+1}{2}\int_{0}^{\pi/2} t^2 \cos^n t\ \sin^2 t\ \dt-\frac{1}{2}I_{n+2}.
\end{align*}
Après multiplication par $2$ vous avez :
\begin{align*}
2J_n &= (n+1)\int_{0}^{\pi/2} t^2 \cos^n t\ \sin^2 t\ \dt-I_{n+2}\\
&=(n+1)\int_{0}^{\pi/2} t^2 \cos^n t\ (1-\cos^2 t)\dt-I_{n+2}\\
&=(n+1)I_n-(n+1)I_{n+2}-I_{n+2}\\
&=(n+1)I_n-(n+2)I_{n+2}.
\end{align*}
De ce qui précède, vous avez obtenu :
\begin{align*}
2W_{n+2} &= (n+2)(2J_n)\\
&= (n+1)(n+2)I_n – (n+2)^2I_{n+2}.
\end{align*}
Faites apparaître une somme télescopique
Soit $n$ un entier naturel. La fonction cosinus étant positive, continue et non identiquement nulle sur $\left[0,\pi/2\right]\comma$ vous avez $W_n \gt 0$ et $W_{n+2} \gt 0.$
Vous déduisez que :
\begin{align*}
&2 =(n+1)(n+2)\frac{I_n}{W_{n+2}}-(n+2)^2\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\\
&2 =(n+1)(n+2)^2\frac{I_n}{(n+2)W_{n+2}}-(n+2)^2\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\\
&2 =(n+1)(n+2)^2\frac{I_n}{(n+1)W_{n}}-(n+2)^2\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}\\
&2 =(n+2)^2\frac{I_n}{W_{n}}-(n+2)^2\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}.
\end{align*}
Ainsi :
\boxed{\forall n\in\N, \frac{2}{(n+2)^2} = \frac{I_n}{W_n}-\frac{I_{n+2}}{W_{n+2}}.}
En utilisant des entiers pairs, vous déduisez que :
\forall n\in\N, \frac{2}{(2n+2)^2} = \frac{I_{2n}}{W_{2n}}-\frac{I_{2n+2}}{W_{2n+2}}.
Soit $N$ un entier naturel supérieur ou égal à $2.$ Vous allez sommer :
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{2}{(2n+2)^2} = \sum_{n=0}^{N-1}\frac{I_{2n}}{W_{2n}}-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{I_{2n+2}}{W_{2n+2}}.
Vous utilisez le télescopage :
\begin{align*}
\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{(n+1)^2} &= \sum_{n=0}^{N-1}\frac{I_{2n}}{W_{2n}} – \sum_{n=1}^{N}\frac{I_{2n}}{W_{2n}}\\
&= \frac{I_0}{W_0}+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{I_{2n}}{W_{2n}}
-\frac{I_{2N}}{W_{2N}}-\sum_{n=1}^{N-1}\frac{I_{2n}}{W_{2n}}\\
&=\frac{I_0}{W_0} – \frac{I_{2N}}{W_{2N}}.
\end{align*}
Puis :
\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{(n+1)^2} = \frac{2I_0}{W_0}-\frac{2I_{2N}}{W_{2N}}.
Du coup, après changement d’indice :
\boxed{\forall N\geq 2, \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^2} = \frac{2I_0}{W_0}-\frac{2I_{2N}}{W_{2N}}.}
Calculez la limite de $\frac{I_{2N}}{W_{2N}}$ quand $N$ tend vers $+\infty$
Minorez la fonction sinus sur $[0,\pi/2]$
Pour tout réel $t$ appartenant à l’intervalle $[0, \pi/2]\comma$ vous posez $f(t) = \sin t-\frac{t}{2}.$
La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0,\pi/2]$ et pour tout réel $t$ de cet intervalle :
f^{\prime}(t) = \cos t – \frac{1}{2}.
La fonction cosinus étant strictement décroissante sur l’intervalle $[0, \pi/2]$ avec $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\comma$ vous déduisez que :
\left\{\begin{align*}
&\forall t\in[0,\pi/3], f^{\prime}(t)\geq 0\\
&\forall t\in[\pi/3,\pi/2], f^{\prime}(t)\leq0.
\end{align*}
\right.
La fonction $f$ est croissante sur $[0, \pi/3]$ et elle est décroissante sur $[\pi/3, \pi/2].$
La fonction $f$ présente ainsi un minimum sur $[0, \pi/2].$ Ce minimum est atteint lorsque $t$ vaut $0$ ou $\pi/2.$
D’une part, $f(0)=0.$ D’autre part, $f(\pi/2)=1-\frac{\pi}{4} = \frac{4-\pi}{4}\comma$ donc $f(\pi/2) \gt f(0).$ Le minimum de la fonction $f$ sur $[0, \pi/2]$ est égal à $0.$ Ainsi :
\forall t\in[0, \pi/2], \frac{t}{2}\leq \sin t.
Effectuez une majoration de $I_{2N}$ à l’aide de $W_{2N}$
Soit $N$ un entier supérieur ou égal à $2.$ Comme $I_{2N} = \int_{0}^{\pi/2} t^2\cos^{2N}t\ \dt\comma$ vous obtenez :
\begin{align*}
I_{2N} &\leq \int_{0}^{\pi/2} (2\sin t)^2 \cos^{2N}t \ \dt\\
&\leq 4 \int_{0}^{\pi/2} (\sin t)^2 \cos^{2N}t \ \dt\\
&\leq 4 \int_{0}^{\pi/2} (1-\cos^2 t) \cos^{2N}t \ \dt\\
&\leq 4 (W_{2N}-W_{2N+2})\\
&\leq 4 \left(W_{2N} – \frac{2N+1}{2N+2}W_N\right)\\
&\leq 4W_{2N}\left(1-\frac{2N+1}{2N+2}\right)\\
&\leq \frac{4W_{2N}}{2N+2}\\
&\leq \frac{2W_{2N}}{N+1}.
\end{align*}
En divisant par $W_{2N}$ qui est strictement positif, vous obtenez l’encadrement :
\forall N\geq 2, 0\leq \frac{I_{2N}}{W_{2N}}\leq \frac{2}{N+1}.
Ainsi, par le théorème des gendarmes, vous avez :
\lim_{N\to + \infty} \frac{I_{2N}}{W_{2N}}=0.
Concluez
Vous obtenez de ce qui précède que :
\begin{align*}
\lim_{N\to +\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^2} &= \frac{2I_0}{W_0}\\
&= \frac{\frac{\pi^3}{12}}{\frac{\pi}{2}}\\
&=\frac{\pi^2}{6}.
\end{align*}
La somme infinie des inverses des carrés est déterminée :
\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.}
