Vous voulez connaître la décomposition en éléments simples de x^6/(x^2+1)(x^4+1) sans utiliser les nombres complexes ?

Etape 1 : trouvez la partie entière de $\dfrac{x^6}{(x^2+1)(x^4+1)}$

Divisez le polynôme $A(x)=x^6$ par le polynôme $B(x)=(x^2+1)(x^4+1)=x^6+x^4+x^2+1$.

Vous trouvez comme quotient $Q(x)=1$ et comme reste $R(x)=-x^4-x^2-1$.

Vous avez $\dfrac{x^6}{(x^2+1)(x^4+1)}=1-\dfrac{x^4+x^2+1}{(x^2+1)(x^4+1)}.$

Etape 2 : trouvez la partie polaire de $\dfrac{x^4+x^2+1}{(x^2+1)(x^4+1)}$ relative à $x^2+1$

Considérez $y=x^2+1$.

Alors $x^2=y-1$ et $x^4=(y-1)^2=y^2-2y+1.$

$\dfrac{x^4+x^2+1}{(x^2+1)(x^4+1)}=\dfrac{(y^2-2y+1)+(y-1)+1}{y(y^2-2y+2)}=\dfrac{y^2-y+1}{y(y^2-2y+2)}.$

Pour trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $\dfrac{y^2-y+1}{y(y^2-2y+2)}$ on effectue une division suivant les puissances croissantes.

$y^2-y+1=\dfrac{1}{2}\times (y^2-2y+2)+\dfrac{1}{2}y^2$

$\dfrac{y^2-y+1}{y(y^2-2y+2)}=\dfrac{1}{2y}+\dfrac{y}{2(y^2-2y+2)}$

Du coup : $\dfrac{x^4+x^2+1}{(x^2+1)(x^4+1)}=\dfrac{1}{2(x^2+1)}+\dfrac{x^2+1}{2(x^4+1)}.$

Etape 3 : trouvez la décomposition de $\dfrac{x^2+1}{x^4+1}$

Factorisez d’abord $x^4+1$ dans $\mathbb{R}[X]$.

$x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1).$

Il s’agit de trouver la décomposition en éléments simples de $\dfrac{x^2+1}{x^4+1}=\dfrac{x^2+1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1).}$

Pour avancer, vous posez $y=x^2+\sqrt{2}x+1$.

Alors $x^2=y-\sqrt{2}x-1$ et
$\begin{align*}x^4+1&=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)\\ &=y(x^2-\sqrt{2}x+1)\\ &=y(y-2\sqrt{2}x).\end{align*}$

$\dfrac{x^2+1}{x^4+1}=\dfrac{y-\sqrt{2}x}{y(y-2\sqrt{2}x)}.$

Vous trouvez la décomposition de la fraction rationnelle $\dfrac{y-\sqrt{2}x}{y(y-2\sqrt{2}x)}$ en effectuant une division suivant les puissances croissantes.

$y-\sqrt{2}x=(y-2\sqrt{2}x)\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}y$

d’où $\dfrac{y-\sqrt{2}x}{y(y-2\sqrt{2}x)}=\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{2(y-2\sqrt{2}x)}.$

Par suite $\dfrac{x^2+1}{x^4+1}=\dfrac{1}{2(x^2+\sqrt{2}x+1)}+\dfrac{1}{2(x^2-\sqrt{2}x+1)}.$

Etape 4 : concluez

$\begin{align*}\dfrac{x^6}{(x^2+1)(x^4+1)} &= 1-\dfrac{x^4+x^2+1}{(x^2+1)(x^4+1)} \\ &=1- \dfrac{1}{2(x^2+1)}-\dfrac{x^2+1}{2(x^4+1)} \\ &=1- \dfrac{1}{2(x^2+1)}-\dfrac{1}{4(x^2+\sqrt{2}x+1)}-\dfrac{1}{4(x^2-\sqrt{2}x+1)}.\end{align*}$

Cet article vous a plu  ? 

Vous pouvez m’aider en déposant un “j’aime” pour cet article sur les réseaux sociaux ou en partageant cet article auprès de vos connaissances susceptibles d’être concernées. Merci d’avance.