073. Divergence de la série harmonique

Pour tout $n\in\N^{*}$ considérez la suite définie par $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$.

Cette suite est à termes positifs et $\forall n\in\N^{*}, u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{n+1}$ est positif.

La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est croissante. Soit elle converge vers un réel, soit elle diverge vers $+\infty$.

Raisonnez par l’absurde

Supposez qu’il existe un nombre réel $\ell$ tel que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = \ell $.
Vous voulez arriver à une impossibilité.

Définissez des notations utiles

Notez $2\N$ l’ensemble des entiers naturels pairs et $2\N+1$ l’ensemble des entiers naturels impairs.

Pour tout réel $x$, notez $[x]$ le plus grand entier inférieur ou égal à $x$, appelé aussi partie entière de $x$.

Séparez les termes pairs des termes impairs

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.

$\begin{align*}
u_{n} &= \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} \\
&= \sum_{k\in[1,n]\cap 2\N} \dfrac{1}{k} + \sum_{k\in[1,n]\cap (2\N+1)} \dfrac{1}{k} \\
&= \sum_{p=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \dfrac{1}{2p}+ \sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} \\
&=\dfrac{1}{2} \sum_{p=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \dfrac{1}{p}+ \sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} \\
\end{align*}$

Aussitôt : $\displaystyle\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} = u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}.$

Effectuez une soustraction à partir de la relation précédente

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.

Vous allez effectuer une soustraction en majorant le dénominateur $2p+1$ par $2p+2$. Vous faites apparaître une nouvelle somme grâce à la relation :$$ \forall p\in\N, \dfrac{1}{2p+1} – \dfrac{1}{2p+2} = \dfrac{1}{(2p+1)(2p+2)}. $$

$\begin{align*}
\displaystyle\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} -\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+2} &= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+2}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{p+1}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=1}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]+1} \dfrac{1}{p}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=1}^{\left[\frac{n+1}{2}\right]} \dfrac{1}{p}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}.\\
\end{align*}$

Aussitôt : $$\displaystyle\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{(2p+1)(2p+2)}= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}.$$

Vous avez dans le terme de gauche une somme de termes strictement positifs. Vous la minorez par son premier terme lorsque $p=0$ :

$$\forall n\geq 3, \dfrac{1}{2}\leq u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}.$$

Passez à la limite

Pour tout entier naturel $n$, $\left[\frac{n+1}{2}\right] > \frac{n+1}{2} -1$ et $\left[\frac{n}{2}\right] > \frac{n}{2} -1$.

Aussitôt, quand $n\to +\infty$, $\left[\frac{n+1}{2}\right]\to +\infty$ et $\left[\frac{n}{2}\right]\to +\infty.$

Et l’impossibilité apparaît

Par passage à la limite dans la relation : $$\forall n\geq 3, \dfrac{1}{2}\leq u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}$$

vous en déduisez que :
$$\begin{align*}
\dfrac{1}{2}&\leq \ell – \dfrac{1}{2}\ell – \dfrac{1}{2}\ell\\
\dfrac{1}{2}&\leq 0.
\end{align*}$$

Contradiction.

Conclusion

La série harmonique diverge vers $+\infty$.

$$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k} = +\infty.$$

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