Vous souhaitez étudier la nature de la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k}.$
Pour tout $n\in\NN$ vous posez $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}.$ Vous avez défini une suite $(u_n)_{n\geq 1}\comma$ appelée suite des sommes partielles de la série précitée.
Pour tout entier $n\geq 1\comma$ vous avez $u_{n+1}-u_n = \frac{1}{n+1}$ qui est positif.
La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est donc croissante : soit elle converge vers un nombre réel, soit elle diverge vers $+\infty$.
Raisonnez par l’absurde
Supposez qu’il existe un nombre réel $\ell$ tel que $\lim_{n\to +\infty} u_n = \ell.$ Vous allez arriver à une impossibilité.
Définissez des notations utiles
Notez $2\N$ l’ensemble des entiers naturels pairs et $2\N+1$ l’ensemble des entiers naturels impairs.
Pour tout réel $x\comma$ notez $\lfloor x\rfloor$ le plus grand entier inférieur ou égal à $x\comma$ appelé aussi partie entière de $x.$
Séparez les termes pairs des termes impairs
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3.$
\begin{align*}
u_{n} &= \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} \\
&= \sum_{k\in \llbracket 1,n\rrbracket\cap 2\N} \dfrac{1}{k} + \sum_{k\in \llbracket 1,n\rrbracket\cap (2\N+1)} \dfrac{1}{k} \\
&= \sum_{p=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} \dfrac{1}{2p}+ \sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \dfrac{1}{2p+1} \\
&=\dfrac{1}{2} \sum_{p=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} \dfrac{1}{p}+ \sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \dfrac{1}{2p+1}.
\end{align*}
Vous déduisez de ce qui précède que :
\boxed{\forall n\geq 3, \sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \frac{1}{2p+1} = u_n – \dfrac{1}{2} u_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}.}
Effectuez une soustraction à partir de la relation précédente
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3.$
Vous allez effectuer une soustraction en utilisant un dénominateur pair. Vous obtenez ce qui suit :
\begin{align*}
\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \dfrac{1}{2p+1} -\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \dfrac{1}{2p+2} &= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}-\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \dfrac{1}{2p+2}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \dfrac{1}{p+1}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1} \dfrac{1}{p}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} \dfrac{1}{p}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}-\dfrac{1}{2}u_{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor}.
\end{align*}
Vous utilisez une mise au même dénominateur :
\forall p\in\N, \frac{1}{2p+1}-\frac{1}{2p+2}=\frac{1}{(2p+1)(2p+2)}.
Ainsi :
\sum_{p=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} \dfrac{1}{(2p+1)(2p+2)}= u_n – \frac{1}{2} u_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}-\frac{1}{2}u_{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor}.
Vous avez dans le terme de gauche une somme de termes strictement positifs. Vous la minorez par son premier terme lorsque $p=0\comma$ ce qui fournit :
\boxed{\forall n\geq 3, \frac{1}{2}\leq u_n – \dfrac{1}{2} u_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}-\dfrac{1}{2}u_{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor}.}
Passez à la limite
Pour tout entier naturel $n\comma$ $\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor \gt \frac{n+1}{2} -1$ et $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor \gt \frac{n}{2} -1.$
Ainsi, quand $n\to +\infty\comma$ $\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor\to +\infty$ et $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\to +\infty.$
Vous avez donc :
\left\{\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} u_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}& = \ell\\
\lim_{n\to +\infty} u_{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor}& = \ell.
\end{align*}
\right.
Déduisez-en une contradiction
Vous faites tendre $n$ vers $+\infty$ dans la relation suivante :
\forall n\geq 3, \frac{1}{2}\leq u_n – \dfrac{1}{2} u_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}-\dfrac{1}{2}u_{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor}.
Il vient :
\frac{1}{2} \leq \ell – \frac{1}{2}\ell-\frac{1}{2}\ell.
Du coup : $\frac{1}{2}\leq 0\comma$ ce qui est une contradiction.
Conclusion
La série harmonique diverge vers $+\infty\comma$ et vous avez :
\boxed{\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k} = +\infty.}
Note. Cela s’écrit aussi : $\sum_{k=1}^{+\infty} =+\infty.$
