Pour tout $n\in\N^{*}$ considérez la suite définie par $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$.
Cette suite est à termes positifs et $\forall n\in\N^{*}, u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{n+1}$ est positif.
La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est croissante. Soit elle converge vers un réel, soit elle diverge vers $+\infty$.
Raisonnez par l’absurde
Supposez qu’il existe un nombre réel $\ell$ tel que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = \ell $.
Vous voulez arriver à une impossibilité.
Définissez des notations utiles
Notez $2\N$ l’ensemble des entiers naturels pairs et $2\N+1$ l’ensemble des entiers naturels impairs.
Pour tout réel $x$, notez $[x]$ le plus grand entier inférieur ou égal à $x$, appelé aussi partie entière de $x$.
Séparez les termes pairs des termes impairs
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.
\begin{aligned}
u_{n} &= \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} \\
&= \sum_{k\in[1,n]\cap 2\N} \dfrac{1}{k} + \sum_{k\in[1,n]\cap (2\N+1)} \dfrac{1}{k} \\
&= \sum_{p=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \dfrac{1}{2p}+ \sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} \\
&=\dfrac{1}{2} \sum_{p=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \dfrac{1}{p}+ \sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} \\
\end{aligned}
Aussitôt : $\displaystyle\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} = u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}.$
Effectuez une soustraction à partir de la relation précédente
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.
Vous allez effectuer une soustraction en majorant le dénominateur $2p+1$ par $2p+2$. Vous faites apparaître une nouvelle somme grâce à la relation :$ \forall p\in\N, \dfrac{1}{2p+1} – \dfrac{1}{2p+2} = \dfrac{1}{(2p+1)(2p+2)}. $
\begin{aligned}
\displaystyle\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+1} -\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+2} &= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{2p+2}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{p+1}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=1}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]+1} \dfrac{1}{p}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}\sum_{p=1}^{\left[\frac{n+1}{2}\right]} \dfrac{1}{p}\\
&= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}.\\
\end{aligned}
Aussitôt : $\displaystyle\sum_{p=0}^{\left[\frac{n-1}{2}\right]} \dfrac{1}{(2p+1)(2p+2)}= u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}.$
Vous avez dans le terme de gauche une somme de termes strictement positifs. Vous la minorez par son premier terme lorsque $p=0$ :
$\forall n\geq 3, \dfrac{1}{2}\leq u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}.$
Passez à la limite
Pour tout entier naturel $n$, $\left[\frac{n+1}{2}\right] > \frac{n+1}{2} -1$ et $\left[\frac{n}{2}\right] > \frac{n}{2} -1$.
Aussitôt, quand $n\to +\infty$, $\left[\frac{n+1}{2}\right]\to +\infty$ et $\left[\frac{n}{2}\right]\to +\infty.$
Et l’impossibilité apparaît
Par passage à la limite dans la relation : $\forall n\geq 3, \dfrac{1}{2}\leq u_n – \dfrac{1}{2} u_{\left[\frac{n}{2}\right]}-\dfrac{1}{2}u_{\left[\frac{n+1}{2}\right]}$
vous en déduisez que :
\begin{aligned}
\dfrac{1}{2}&\leq \ell – \dfrac{1}{2}\ell – \dfrac{1}{2}\ell\\
\dfrac{1}{2}&\leq 0.
\end{aligned}
Contradiction.
Conclusion
La série harmonique diverge vers $+\infty$.
$\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k} = +\infty.$
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