081. Polynômes caractéristiques de $AB$ et de $BA$

Dans cet article, vous considérez deux matrices carrées $A$ et $B$ à coefficients dans un corps $\K$, lorsque $\K = \R$ ou $\K=\C.$ Notez $I$ la matrice identité.

Que peut-on dire, en général, des polynômes caractéristiques des matrices $AB$ et $BA$ ?

Les deux polynômes sont égaux quand $A$ est inversible

Supposez que $A$ soit inversible.

Les matrices $AB$ et $BA$ sont semblables :
$A^{-1}(AB)A = (A^{-1}A)(BA) = IBA = BA.$

De ce fait elles ont le même polynôme caractéristique.

Que faire lorsque la matrice $A$ n’est pas inversible ?

Vous disposez d’un argument de topologie pour y répondre.

Notez $P(x) = \det(xI-A)$ le polynôme caractéristique de $A$. C’est un polynôme non constant à coefficients dans $\K$. Il est scindé dans $\C$ et admet un nombre fini de racines.

  • Soit $0$ est sa seule racine. Dans ce cas, pour tout $x\in ]0,+\infty[$, $P(x)\neq 0$. En particulier $\forall x\in ]0,1[, P(x)\neq 0.$
  • Soit il admet une ou plusieurs racines différentes de $0$. Notez $r>0$ le plus petit module de toutes ces racines. Alors $\forall x\in ]0,r[, P(x)\neq 0.$

Vous constatez que dans les deux cas énumérés ci-dessus il existe toujours un réel $\alpha>0$ tel que $\forall x\in ]0,\alpha[, P(x)\neq 0.$

Vous en déduisez que $\forall x\in ]0,\alpha[, A-xI$ est inversible.

D’après la partie précédente, pour tout $y$ tel que $0<y<\alpha$, $(A-yI)B$ et $B(A-yI)$ ont le même polynôme caractéristique.

Vous en déduisez que $\forall x\in\K, \forall y\in]0,r[$, $\det(xI-(A-yI)B)=\det(xI-B(A-yI)).$

Les deux déterminants ci-dessus sont des polynômes à deux variables en $x$ et $y$. Ce sont, en particulier, des fonctions continues à deux variables. Fixez $x\in\K$ et passez à la limite dans l’égalité $\det(xI-(A-yI)B)=\det(xI-B(A-yI))$ en faisant tendre $y$ vers $0$.

Vous obtenez l’égalité $\det(xI-AB)=\det(xI-BA).$

Concluez

Quelles que soient les matrices réelles ou complexes $A$ et $B$, les matrices $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.

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