Dans cet article, $n$ désigne un entier naturel non nul. Vous considérez deux matrices $A$ et $B$ carrées d’ordre $n$ à coefficients complexes. Vous notez $I$ la matrice identité d’ordre $n.$

Vous allez démontrer que les matrices $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.

Étudiez le cas où la matrice $A$ est inversible

Supposez que la matrice $A$ soit inversible. Alors les matrices $AB$ et $BA$ sont semblables. En effet :

Ainsi, les polynômes caractéristiques de matrices $AB$ et $BA$ sont égaux.

Utilisez un argument de passage à la limite

Soit $P$ le polynôme caractéristique de la matrice $A.$ Il est défini par $P(X) = \det(XI-A).$ C’est un polynôme à coefficients complexes de degré $n$ et il est scindé. Il admet par conséquent un nombre non nul et fini de racines.

Si $0$ est la seule racine du polynôme $P\comma$ alors, pour tout entier naturel $m\geq 1\comma$ vous avez $P\left(\frac{1}{m}\right)\neq 0.$

Si le polynôme $P$ admet une ou plusieurs racines différentes de $0\comma$ vous notez $r$ le plus petit module des racines différentes de $0$ de $P.$ Soit $M$ l’entier naturel non nul défini par $M = \lfloor\frac{1}{r}\rfloor+1.$ Vous constatez que l’entier $M$ est strictement supérieur à $\frac{1}{r}.$ Donc $r\gt \frac{1}{M}.$ Pour tout entier $m$ supérieur ou égal à $M\comma$ vous avez alors $0\lt \frac{1}{m} \leq \frac{1}{M} \lt r$ et $\frac{1}{m}$ ne peut pas être une racine du polynôme $P.$

Vous constatez que, dans les deux cas énumérés ci-dessus, il existe toujours un entier naturel $M$ non nul tel que $\forall m\geq M, P(\frac{1}{m})\neq 0.$

Vous en déduisez que pour tout entier $m\geq M\comma$ la matrice $A-\frac{1}{m}I$ est inversible.

Or, d’après la partie précédente, pour tout entier $m\geq M\comma$ les matrices $\left(A-\frac{1}{m}I\right)B$ et $B\left(A-\frac{1}{m}I\right)$ ont le même polynôme caractéristique.

Vous en déduisez que $\forall m\geq M, \det\left(XI-\left(A-\frac{1}{m}I\right)B\right)=\det\left(XI-B\left(A-\frac{1}{m}I\right)\right).$

Pour tout entier naturel $m\geq M\comma$ vous posez :

Pour tout entier naturel $m\geq M\comma$ le polynôme $Q_m$ est le polynôme nul de $\C[X].$ Or, les coefficients de $Q_m$ des polynômes à coefficients complexes évalués en $\frac{1}{m}.$ Ce sont, en particulier, des fonctions continues. En passant à la limite lorsque $m$ tend vers $+\infty\comma$ pour chaque coefficient du polynôme $Q_m\comma$ la limite obtenue est nulle, puisque chaque coefficient est nul. Vous obtenez l’égalité $\det(XI-AB)-\det(XI-BA) = 0.$

Concluez

Quelles que soient les matrices complexes $A$ et $B\comma$ les matrices $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.

Prolongement

Vous souhaitez démontrer ce résultat mais sans utiliser de passage à la limite ?

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 092.