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082. Démontrez l’équivalence d’inversibilité entre les matrices I−AB et I−BA

Yannis TRIANTAPHYLIDES

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Soit $n$ un entier naturel non nul. Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d’ordre $n\comma$ à coefficients dans un corps $\K.$ Vous notez $I$ la matrice identité d’ordre $n.$

Pour arriver au résultat annoncé dans le titre de cet article, vous notez qu’il suffit de montrer que, si la matrice $I-BA$ est inversible, alors $I-AB$ l’est aussi.

En effet, en échangeant les matrices $A$ et $B\comma$ vous déduisez le résultat dans l’autre sens, stipulant que si $I-AB$ est inversible, alors $I-BA$ l’est aussi.

Dans la toute la suite, vous supposez que la matrice $I-BA$ est inversible. Alors il existe une matrice $J$ carrée d’ordre $n$ telle que :

\left\{\begin{align*} (I-BA)J&=I\\ J(I-BA)&=I. \end{align*} \right.

Vous développez et vous obtenez ce qui suit :

\left\{\begin{align*} J-BAJ&=I\\ J-JBA&=I. \end{align*} \right.

Passez à l’analyse de la situation

Vous cherchez à montrer que la matrice $I-AB$ est inversible. Votre objectif est de trouver une matrice $K$ carrée d’ordre $n$ telle que :

\left\{ \begin{align*} K-ABK&=I\\ K-KAB&=I. \end{align*} \right.

Supposez qu’une telle matrice existe. Vous partez de la relation $K-KAB=I\comma$ qui permet d’obtenir $K=I+KAB.$ Vous multipliez à droite cette égalité par la matrice $AJ.$ Vous avez :

\left\{ \begin{align*} K(AJ)&=AJ+KAB(AJ)\\ KAJ&=AJ+KA(BAJ). \end{align*} \right.

Or, $J-BAJ=I$ donc vous avez $BAJ = J-I.$ Du coup, il vient :

\left\{ \begin{align*} KAJ&=AJ+KA(J-I)\\ KAJ&=AJ+KAJ-KA\\ KA &= AJ. \end{align*} \right.

Vous déduisez que :

\begin{align*} K &= I+KAB\\ &= I+(KA)B\\ &=I+(AJ)B. \end{align*}

Ainsi, vous avez obtenu l’égalité suivante : $\boxed{K=I+AJB.}$

Démontrez que les matrices $I-AB$ et $I+AJB$ sont inverses l’une de l’autre

Utilisant à l’analyse précédente, vous procédez au développement suivant :

\begin{align*} (I-AB)(I+AJB) &= I-AB+AJB+ABAJB\\ &= I-AB+AJB+A(BAJ)B\\ &= I-AB+AJB-A(J-I)B\\ &=I-AB+AJB-AJB+AB\\ &=I. \end{align*}

Vous procédez au second développement qui suit :

\begin{align*} (I+AJB)(I-AB) &= I-AB+AJB-AJBAB\\ &= I-AB+AJB-A(JBA)B\\ &= I-AB+AJB-A(J-I)B\\ &=I-AB+AJB+AJB+AB\\ &=I. \end{align*}

Le résultat annoncé est démontré.

Prolongement

Ce résultat vous montre que $1$ est valeur propre de la matrice $AB\comma$ si et seulement si, $1$ est valeur propre de la matrice $BA.$

Pourriez-vous montrer que, pour tout scalaire $\lambda\in\K\comma$ la matrice $\lambda I – AB$ est inversible, si et seulement si, la matrice $\lambda I -BA$ est inversible ?