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082. La matrice $I-AB$ est inversible, si et seulement si, la matrice $I-BA$ est inversible

Dans cet article, vous allez faire des calculs matriciels.

Notez qu’il suffit de montrer que, si $I-BA$ est inversible, alors $I-AB$ l’est. En effet, en échangeant les matrices $A$ et $B$, vous déduisez le résultat “dans l’autre sens”, stipulant que si $I-AB$ est inversible, alors $I-BA$ l’est aussi.

Passez à l’analyse, ce qui est le plus intéressant

Supposez que la matrice $I-BA$ soit inversible. Vous disposez d’une matrice inversible $J = (I-BA)^{-1}$, telle que :

$\begin{align*}
(I-BA)J&=I\\
J(I-BA)&=I.
\end{align*}$

Développez, vous avez $J-JBA = I$ et $J-BAJ=I.$

Vous cherchez à montrer que $I-AB$ est inversible, ce qui fait que vous cherchez une matrice $K$ telle que :

$\begin{align*}
(I-AB)K&=I\\
K(I-AB)&=I.
\end{align*}$

Toujours en développant, vous cherchez une matrice $K$ telle que $K-KAB=I$ et $K-ABK=I.$

Le but du jeu c’est de trouver une expression de $K$ en fonction de $A$, $B$ et $J$.

La relation $K-KAB=I$ permet d’écrire $K=I+KAB.$

Maintenant, il faut bien faire quelque chose à partir des relations existant avec la matrice $J$. Il faut utiliser les matrices $JBA$ ou $BAJ$ et elles ne vont pas apparaître toutes seules ! C’est parti, utilisez la méthode de la force.

De $K=I+KAB$, vous multipliez à droite par $AJ$.

$KAJ=AJ+KABAJ$.

De $J-BAJ=I$ vous avez $BAJ = J-I$. Du coup, $KAJ=AJ+KA(J-I).$

Développez : $KAJ=AJ+KAJ-KA$ et vous avez $0=AJ-KA$ soit $AJ=KA$.

Substituez dans $K=I+KAB$ et vous avez $\boxed{K=I+AJB}.$

Démontrez en bonne intelligence que les matrices $I-AB$ et $I+AJB$ sont inverses l’une de l’autre

L’analyse vous a permis de savoir pourquoi il fallait choisir $I+AJB$.

Maintenant que le plus dur est fait, développez :

$\begin{align*}
(I-AB)(I+AJB) &= I-AB+AJB+A(BAJ)B\\
&= I-AB+AJB-A(J-I)B\\
&=I-AB+AJB-AJB+AB\\
&=I.
\end{align*}$

Et dans l’autre sens.

$\begin{align*}
(I+AJB)(I-AB) &= I-AB+AJB-A(JBA)B\\
&= I-AB+AJB-A(J-I)B\\
&=I-AB+AJB+AJB+AB\\
&=I.
\end{align*}$

Vous voyez des prolongements ?

Ce résultat vous montre que $1$ est valeur propre de la matrice $AB$, si et seulement si, $1$ est valeur propre de la matrice $BA$.

Vous pouvez montrer que, pour tout scalaire $\lambda$, $\lambda I – AB$ est inversible, si et seulement si, $\lambda I -BA$ est inversible.

A vous de jouer !

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