089. Indépendance de vecteurs avec les projections orthogonales

Tester l’indépendance linéaire de vecteurs sans résoudre de systèmes linéaires ? Est-ce possible ? Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt permet de répondre par l’affirmative.

Pour y voir plus clair, travaillez dans $\R^3$ muni du produit scalaire usuel noté $(.|.)$ et considérez les vecteurs suivants :
$u_1 = (2,-1,3)$, $u_2 = (3,-2,7)$ et $u_3=(8,-5,17).$ La famille $(u_1,u_2,u_3)$ est-elle libre ou liée ?

Les calculs vont prendre du temps et c’est tout à fait normal puisqu’on forme une base orthogonale de l’espace engendré par les trois vecteurs $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

Qu’est-ce que le procédé de Gram-Schmidt ?

Pour chaque vecteur, de la gauche vers la droite, parmi $u_1$, $u_2$ et $u_3$, vous remplacez chaque vecteur par sa différence avec sa projection orthogonale sur l’espace engendré par les vecteurs précédents.

Par exemple, $u_2$ sera remplacé par $u_2-\alpha$ où $\alpha$ est la projection orthogonale de $u_2$ sur l’espace engendré par $u_1$.

De même, $u_3$ sera remplacé par $u_3-\beta$ où $\beta$ est la projection orthogonale de $u_3$ sur l’espace engendré par $u_1$ et $u_2$.

Appliquez l’orthogonalisation de Gram-Schmidt sur $u_1$ et $u_2$

Projetez orthogonalement le vecteur $u_2$ sur l’espace vectoriel engendré par $u_1$, notez $p(u_2)$ ce vecteur pour l’instant.

L’expression de cette projection pose souvent des difficultés.

Analyse

Par définition de la projection orthogonale, $p(u_2)$ est colinéaire à $u_1$. D’autre part, les vecteurs $u_2-p(u_2)$ et $u_1$ sont orthogonaux.

Il existe un réel $k$ tel que $p(u_2) = ku_1.$

Pour trouver ce réel $k$, vous utilisez le produit scalaire.

$\begin{align*}
(u_2-p(u_2)|u_1)&=0 \\
(u_2-k u_1)|u_1)&=0 \\
(u_2|u_1) -k ||u_1||^2 &=0\\
k &=\dfrac{(u_2|u_1)}{||u_1||^2}
\end{align*}$

Synthèse

Posez $p(u_2) = \dfrac{(u_2|u_1)}{||u_1||^2} u_1.$

$p(u_2)$ est bien colinéaire à $u_1$.

D’autre part :

$\begin{align*}
(u_2-p(u_2)|u_1)&=(u_2|u_1)-\left(\dfrac{(u_2|u_1)}{||u_1||^2} u_1 |u_1\right) \\
&=(u_2|u_1)-\dfrac{(u_2|u_1)}{||u_1||^2} ||u_1||^2 \\
&=0.
\end{align*}$

Procédez au calcul

$(u_2|u_1) = 6+2+21=29.$
$||u_1||^2=4+1+9=14.$

Notez $v_2 = u_2-p(u_2).$

Alors
$\begin{align*}
v_2 &= (3,-2,7) – \dfrac{29}{14} (2,-1,3) \\
&= \dfrac{1}{14}( (42,-28,98) – (58,-29,87))\\
&=\dfrac{1}{14} (-16,1,11).
\end{align*}$

Quel intérêt ?

La famille $(u_1,v_2)$ est orthogonale. L’espace engendré par $u_1$ et $u_2$ est le même que celui qui est engendré par $u_1$ et $v_2$. La famille $(u_1,v_2)$ est donc une base de l’espace engendré par $u_1$ et $u_2$.

Projetez le vecteur $u_3$ orthogonalement sur l’espace engendré par $u_1$ et $u_2$

Afin de ne pas compliquer les notations, notez $p(u_3)$ le projeté orthogonal cherché. Notez bien qu’il suffit de projeter orthogonalement $u_3$ sur l’espace engendré par $u_1$ et $v_2$. Pour se débarrasser des fractions, vous projetez sur l’espace engendré par $u_1$ et $w_2 = 14v_2=(-16,1,11)$.

En suivant une méthode analogue, vous trouvez que :

$p(u_3) = \dfrac{(u_3|u_1)}{||u_1||^2}u_1 + \dfrac{(u_3|w_2)}{||w_2||^2}w_2.$

Passez au calcul de $p(u_3)$ et concluez

$(u_3|u_1) = 16+5+51 = 21+51=72.$
$||u_1||^2=14.$

$(u_3|w_2) = – 128-5+187 = -133+187=54.$
$||w_2||^2=256+1+121=257+121=378.$

$\begin{align*}
p(u_3)&=\dfrac{72}{14}(2,-1,3)+\dfrac{54}{378}(-16,1,11)\\
&=\dfrac{36}{7}(2,-1,3)+\dfrac{27}{189}(-16,1,11)\\
&=\dfrac{36}{7}(2,-1,3)+\dfrac{1}{7}(-16,1,11)\\
&=\dfrac{1}{7}((72,-36,108)+(-16,1,11))\\
&=\dfrac{1}{7}(56,-35,119)\\
&=(8,-5,17)\\
\end{align*}$

Dans la suite de Gram-Schmidt, vous calculez $u_3-p(u_3)$ et ici, le résultat est le vecteur nul. A partir de ce stade, vous savez que la famille $(u_1,u_2,u_3)$ est liée puisque $u_3=p(u_3)$ et que $p(u_3)$ est une combinaison linéaire de $u_1$ et de $u_2$.

Bonus : trouvez la décomposition de $u_3$ sur les vecteurs précédents

$\begin{align*}
u_3 &= p(u_3)\\
&=\dfrac{(u_3|u_1)}{||u_1||^2}u_1 + \dfrac{(u_3|w_2)}{||w_2||^2}w_2\\
&=\dfrac{36}{7} u_1 + \dfrac{1}{7}\times 14 v_2\\
&=\dfrac{36}{7} u_1 + 2 v_2\\
&=\dfrac{36}{7} u_1 + 2 \left(u_2 – \dfrac{29}{14}u_1\right)\\
&=\left(\dfrac{36}{7} – \dfrac{29}{7} \right)u_1 + 2u_2\\
&=u_1+2u_2.
\end{align*}$

Prolongement

Démontrez que l’ensemble $\left\{\displaystyle\int_0^1 (x^3-ax-b)^2 \text{d}x, (a,b)\in\R^2\right\}$ admet un plus petit élément $d$. Trouvez la valeur exacte du nombre $d$. Déterminez toutes les valeurs de $a$ et de $b$ pour lesquelles le nombre $d$ est atteint.

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