090. Un vecteur est caractérisé par les valeurs des produits scalaires qu’il prend avec les vecteurs d’une base

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$, muni d’un produit scalaire noté $(.|.)$.

Par le procédé de Gram-Schmidt, vous savez qu’il existe une base de $E$, par exemple $(e_1,\dots,e_n)$ qui est orthonormale. Elle restera fixée une bonne fois pour toutes dans tout cet article.

L’intérêt d’une base orthonormée c’est qu’il est facile de décomposer un vecteur sur cette base en utilisant des produits scalaires.

Le lemme

Vous allez démontrer le résultat suivant :

Quels que soient les scalaires $k_1$, …, $k_n$ du corps $K$ il existe un unique vecteur $x\in E$ tel que $\forall i\in\N, 1\leq i\leq n \Rightarrow (x|e_i)=k_i.$

Procédez par analyse-synthèse.

Analyse

Soient $k_1$, …, $k_n$ des éléments de $K$. Supposez qu’il existe un vecteur $x\in E$ tel que, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, le produit scalaire $(x|e_i)$ est égal à $k_i.$

Comme $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, le vecteur $x$ se décompose dessus. Il existe $n$ scalaires $\ell_1$,…,$\ell_n$ tels que $x=\sum_{j=1}^n \ell_j e_j.$

Soit $i$ un entier compris entre $1$ et $n$. Vous calculez le produit scalaire $(x|e_i)$ par distributivité.

$\begin{align*}
(x|e_i) &= \sum_{j=1}^n \ell_j (e_j|e_i) \\
&= \ell_i + \sum_{j\neq i} \ell_j (e_j|e_i) \\
&= \ell_i.
\end{align*}$

Il s’ensuit que, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $\ell_i =(x|e_i) = k_i.$

Vous en déduisez que $x = \sum_{j=1}^n k_j e_j$ d’où l’unicité.

Synthèse

Soient $k_1$, …, $k_n$ des éléments de $K$.

Considérez le vecteur $x = \sum_{j=1}^n k_j e_j$. Alors, pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$ :

$\begin{align*}
(x|e_i) &= \sum_{j=1}^n k_j (e_j|e_i) \\
&= k_i + \sum_{j\neq i} k_j (e_j|e_i) \\
&= k_i.
\end{align*}$

et le vecteur $x$ convient.

Le résultat avec une base quelconque

Soit $(u_1,…,u_n)$ une base de $E$. Vous utilisez la base ortonormée $(e_1,…,e_n)$ précédente. Il existe $n^2$ scalaires $(\lambda_{ij})_{1\leq i \leq n ; 1\leq j \leq n}$ tels que :$\forall i \in \N, 1\leq i \leq n \Longrightarrow e_i = \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} u_j.$

De même, il existe $n^2$ scalaires $(\mu_{ij})_{1\leq i \leq n ; 1\leq j \leq n}$ tels que :$\forall i \in \N, 1\leq i \leq n \Longrightarrow u_i = \sum_{j=1}^n \mu_{ij} e_j.$

Soient $p$ et $j$ deux entiers compris entre $1$ et $n$. Vous aurez besoin d’évaluer une somme double.

Partez du vecteur $u_p$, $u_p = \sum_{q=1}^n \mu_{pq} e_q$, puis décomposez tous les vecteurs $e_q.$

$\begin{align*}
u_p &= \sum_{q=1}^n \mu_{pq} \left( \sum_{i=1}^n \lambda_{qi} u_i \right) \\
&= \sum_{q=1}^n \mu_{pq} \sum_{i=1}^n \lambda_{qi} u_i \\
&= \sum_{i=1}^n \sum_{q=1}^n \mu_{pq}\lambda_{qi} u_i \\
&= \sum_{i=1}^n \left(\sum_{q=1}^n \mu_{pq}\lambda_{qi}\right) u_i \\
\end{align*}$

Par unicité de la décomposition d’un vecteur dans une base, il en résulte que :

$\sum_{q=1}^n \mu_{pq}\lambda_{qi} = 1$ si $i=p.$

$\sum_{q=1}^n \mu_{pq}\lambda_{qi} = 1$ si $i\neq p.$

Cela permet de démontrer le résultat suivant, plus large.

Quels que soient les scalaires $k_1$, …, $k_n$ du corps $K$ il existe un unique vecteur $x\in E$ tel que $\forall i\in\N, 1\leq i\leq n \Rightarrow (x|u_i)=k_i.$

Analyse

Soient $k_1$, …, $k_n$ des éléments de $K$. Supposez qu’il existe un vecteur $x\in E$ tel que, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, le produit scalaire $(x|u_i)$ est égal à $k_i.$

Vous déduisez que, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$ :

$\begin{align*}
(x|e_i) &= \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} (x|u_j) \\
&= \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} k_j.
\end{align*}$

D’après le lemme, l’unicité du vecteur $x$ est assurée.

Synthèse

Soient $k_1$, …, $k_n$ des éléments de $K$.

Considérons le vecteur $x$ défini par $x = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} k_j \right)e_i.$

Soit $p$ un entier compris entre $1$ et $n$.

$\begin{align*}
(x|u_p) &= \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} k_j \right) (e_i | u_p)\\
&= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} k_j (e_i | u_p) \\
&= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{q=1}^n \lambda_{ij}\mu_{pq} k_j (e_i | e_q) \\
&= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_{ij}\mu_{pi} k_j \\
&=\sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^n \lambda_{ij}\mu_{pi}\right) k_j \\
&=\sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^n\mu_{pi} \lambda_{ij}\right) k_j \\
&=\left( \sum_{i=1}^n\mu_{pi} \lambda_{ip}\right) k_p + \sum_{j\neq p} \left( \sum_{i=1}^n\mu_{pi} \lambda_{ij}\right) k_j \\
&= 1 k_p + \sum_{j\neq p} 0 k_j \\
&= k_p.
\end{align*}$

Voilà prouvé que le vecteur $x$ convient bien.

Cela achève la démonstration.

Note. Les lecteurs avertis auront remarqué que nous utilisons le fait que les matrices de passage des bases $(e_i)$ vers $(u_i)$ et vice-versa sont inversibles et inverses l’une de l’autre. Nous nous en passons ici afin de manipuler les symboles sigmas.

Prolongement

Dans $\R^3$ on note $u = (1,1,1)$, $v=(1,2,1)$ et $w=(2,3,-1)$. Le produit scalaire usuel est noté $(.|.).$
Montrez qu’il existe un unique vecteur $x$ tel que $(x|u)=1$, $(x|v)=3$, $(x|w)=2$ et déterminez ce vecteur.

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