090. Montrez qu’un vecteur est caractérisé par les valeurs des produits scalaires qu’il prend avec les vecteurs d’une base

Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie non nulle $n\comma$ muni d’un produit scalaire réel qui est noté $\langle \cdot,\cdot \rangle.$

Par le procédé de Gram-Schmidt, vous savez qu’il existe une base orthonormale de $E.$ Vous la noterez $(e_1,\dots,e_n)\comma$ elle restera fixée dans tout cet article.

Établissez un lemme

Vous allez tout d’abord démontrer le résultat suivant. Quels que soient les réels $k_1,\dots,k_n\comma$ il existe un unique vecteur $x\in E$ tel que :

\forall i\in\llbracket1, n\rrbracket, \langle x,e_i\rangle = k_i.

Vous procédez par analyse-synthèse.

Analyse

Soient $k_1,\dots,k_n$ des nombres réels. Vous supposez qu’il existe un vecteur $x\in E$ tel que :

\forall i\in\llbracket1, n\rrbracket, \langle x,e_i\rangle = k_i.

Comme la famille $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E\comma$ il existe $n$ réels notés $\ell_1,\dots,\ell_n$ tels que :

x=\sum_{j=1}^n \ell_j e_j.

Soit $i$ un entier appartenant à l’intervalle $\llbracket 1, n\rrbracket.$ Vous calculez le produit scalaire $\langle x,e_i\rangle$ par distributivité :

\begin{align*} \langle x,e_i\rangle &= \sum_{j=1}^n \ell_j \langle e_j,e_i\rangle \\ &= \ell_i \lVert e_i\rVert^2+ \sum_{j\neq i} \ell_j \langle e_j,e_i\rangle \\ &= \ell_i. \end{align*}

Il s’ensuit que :

\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, \ell_i = \langle x,e_i\rangle=k_i.

Ainsi :

x = \sum_{j=1}^n k_j e_j.

L’unicité du vecteur $x$ est acquise.

Synthèse

Soient $k_1,\dots, k_n$ des nombres réels. Vous posez :

x = \sum_{j=1}^n k_j e_j.

Alors, pour tout entier $i$ appartenant à l’intervalle $\llbracket 1, n\rrbracket\comma$ vous avez :

\begin{align*} \langle x,e_i\rangle &= \sum_{j=1}^n k_j \langle e_j,e_i\rangle \\ &= k_i\lVert e_i\rVert^2 + \sum_{j\neq i} k_j \langle e_j,e_i\rangle \\ &= k_i. \end{align*}

Le vecteur $x$ convient.

Prouvez le résultat avec une base quelconque

Soit $(u_1,…,u_n)$ une base quelconque de $E.$ Vous utilisez la base orthonormée $(e_1,…,e_n)$ précédente.

Il existe $n^2$ nombres réels $(\lambda_{ij})_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq n}}$ tels que :

\forall i \in \llbracket 1, n\rrbracket, e_i = \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} u_j.

De même, il existe $n^2$ nombres réels $(\mu_{ij})_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq n}}$ tels que :

\forall i \in \llbracket 1, n\rrbracket, u_i = \sum_{j=1}^n \mu_{ij} e_j.

Soient $p$ et $j$ deux entiers appartenant à l’intervalle $\llbracket 1, n\rrbracket.$ Vous allez évaluer une somme double.

Vous partez du vecteur $u_p$ avec $u_p = \sum_{q=1}^n \mu_{pq} e_q$, puis vous décomposez tous les vecteurs $e_q.$ Cela fournit ce qui suit :

\begin{align*} u_p &= \sum_{q=1}^n \mu_{pq} \left( \sum_{i=1}^n \lambda_{qi} u_i \right) \\ &= \sum_{q=1}^n \mu_{pq} \sum_{i=1}^n \lambda_{qi} u_i \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{q=1}^n \mu_{pq}\lambda_{qi} u_i \\ &= \sum_{i=1}^n \left(\sum_{q=1}^n \mu_{pq}\lambda_{qi}\right) u_i \\ \end{align*}

Par unicité de la décomposition d’un vecteur dans une base, il en résulte que :

\sum_{q=1}^n \mu_{pq}\lambda_{qi} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = p,\\ 0 & \text{si } i \neq p. \end{cases}

Vous allez maintenant démontrer que, quels que soient les nombres réels $k_1,\dots,k_n\comma$ il existe un unique vecteur $x\in E$ tel que :

\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, \langle x, u_i\rangle = k_i.

Vous procédez par analyse-synthèse.

Analyse

Soient $k_1,\dots,k_n$ des nombres réels. Vous supposez qu’il existe un vecteur $x\in E$ tel que :

\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, \langle x, u_i\rangle = k_i.

Vous déduisez que, pour tout entier $i$ appartenant à l’intervalle $\llbracket 1,n\rrbracket\comma$ vous avez :

\begin{align*} \langle x,e_i\rangle &= \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} \langle x,u_j\rangle \\ &= \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} k_j. \end{align*}

D’après le lemme précité, l’unicité du vecteur $x$ est assurée.

Synthèse

Soient $k_1,\dots,k_n$ des nombres réels. Vous considérez le vecteur $x$ de $E$ défini par :

x = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} k_j \right)e_i.

Soit $p$ un entier appartenant à l’intervalle $\llbracket 1, n\rrbracket.$ Il vient :

\begin{align*} \langle x, u_p \rangle &= \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} k_j \right) \langle e_i, u_p \rangle\\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_{ij} k_j \langle e_i, u_p \rangle \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{q=1}^n \lambda_{ij}\mu_{pq} k_j \langle e_i, e_q \rangle \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_{ij}\mu_{pi} k_j \\ &= \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^n \lambda_{ij}\mu_{pi} \right) k_j \\ &= \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^n \mu_{pi} \lambda_{ij} \right) k_j \\ &= \left( \sum_{i=1}^n \mu_{pi} \lambda_{ip} \right) k_p + \sum_{j\neq p} \left( \sum_{i=1}^n \mu_{pi} \lambda_{ij} \right) k_j \\ &= 1 \cdot k_p + \sum_{j\neq p} 0 \cdot k_j \\ &= k_p. \end{align*}

Ainsi, le vecteur $x$ convient bien.

Prolongement

Dans $\R^3\comma$ vous considérez les vecteurs suivants :

\left\{\begin{align*} u &= (1,1,1)\\ v&=(1,2,1)\\ w&=(2,3,-1). \end{align*} \right.

Le produit scalaire usuel est noté $\langle \cdot,\cdot \rangle.$

Justifiez directement qu’il existe un unique vecteur $x$ de $\R^3$ tel que :

\left\{\begin{align*} \langle x,u\rangle&=1\\ \langle x,v\rangle &=3\\ \langle x,w\rangle&=2. \end{align*} \right.

Déterminez aussi les coordonnées de ce vecteur dans la base canonique.