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091. Comment calculer la somme des nombres impairs compris entre 12 et 120 ?

Il s’agit de calculer la somme $13+15+…+119$ en progression arithmétique.

Utilisez le nombre du milieu

Le nombre du milieu est égal à $\dfrac{13+119}{2} = \dfrac{12+120}{2}=66$, c’est-à-dire que la somme peut être partagée en deux de la façon suivante autour de 66.

Elle est égale à $(13+15+…+63+65) + (67+69+…+117+119).$
On remarque que $13+119 = 132$, que $15+117=132$, …, que $65+67 = 132.$
Par conséquent la somme $13+15+…+119$ est égale à $132$ fois la moitié du nombre de termes de cette somme.

Déterminez le nombre de termes de la somme

Pour calculer le nombre de termes de la somme, c’est plus délicat.

On peut procéder ainsi. 13 est le terme 1, 15 est le terme 2, …, 119 est le terme $n$. Il faut calculer $n$.

Notez $f$ la fonction qui, à chaque rang, associe son terme dans la somme.

$f(1)=13$, $f(2)=15$, …, $f(n)=119.$

Comme la progression est arithmétique, la fonction $f$ est affine.

Les écarts entre les termes de la sommes sont proportionnels aux écarts des rangs. Par conséquent :

$\dfrac{f(n)-f(1)} {n-1} = \dfrac{ f(2)-f(1) }{ 2 – 1}.$

D’où : $\dfrac{119-13}{n-1}=2.$

Soit $n-1 = \dfrac{119-13}{ 2} = \dfrac{120-14}{2}=60-7=53.$ On en déduit $n=54.$

Concluez

La moitié de $54$ étant $27$, la somme cherchée est égale à $27\times 132 = 3564.$

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