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092. $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique

17/07/2020 - 0071

Dans le cas réel ou complexe, avec la topologie, on y arrive

Dans la littérature mathématique, on trouve beaucoup de preuves de ce résultat dans $\R$ ou $\C$, avec des arguments de densité.

On commence par montrer que, si $A$ ou $B$ est inversible, supposons par exemple que ce soit la matrice $A$, alors les deux polynômes caractéristiques sont égaux :
$\begin{align*}
\det(xI – AB) &= \det(A^{-1}) \det(xI – AB) \det(A) \\
&= \det( A^{-1}(xI – AB)A )\\
&= \det( xI – A^{-1}ABA)\\
&=\det (xI -BA).
\end{align*}$

Note. Les lecteurs avertis auront remarqué que les matrices $AB$ et $BA$ sont semblables lorsque la matrice $A$ ou la matrice $B$ est inversible.

Puis on conclut par passage à la limite dans le cas général.

Est-on limité aux cas réels et complexes ?

Il est surprenant de trouver des preuves de ce type, basées sur la densité et la topologie, alors qu’en fait, la propriété fondamentale du déterminant $\det(AB)=\det(A) \det(B)$ permet de conclure avec de l’algèbre.

Vous allez voir comment.

Il y a mieux, le résultat est valable dans n’importe quel corps commutatif

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d’ordre $n$ à coefficients dans un corps commutatif $K$ (qui n’est pas forcément réel ou complexe).

Il s’agit de montrer que $\forall x\in K, \det(xI-AB)=\det(xI-BA).$

Comme on ne sait pas si la matrice $A$ est inversible ou non, on utilise seulement $\det(A)$.

Remarquez que :

$\begin{align*}
\det(A) \det(xI-BA) &= \det( A(xI- BA ))\\
&= \det(xA-ABA)\\
&= \det ((xI-AB)A)\\
&=\det (xI-AB)\det(A)
\end{align*}$.

Mais problème, il s’agit de simplifier par $\det(A)$, ce qui ne pourrait se faire que si $A$ est inversible… et on se mord la queue.

Comment s’en sortir ? La simplification est possible dans un anneau commutatif intègre. Or, si $K$ est un corps, l’anneau des polynômes à une indéterminée $K[X]$ l’est.

Vous allez reprendre le même calcul que précédemment mais en travaillant avec la matrice $A-XI$ à la place de la matrice $A$. Les matrices $A-XI$ et $B$ sont maintenant vues comme des matrices à coefficients dans l’anneau $K[X]$.

$\begin{align*}
\det(A-XI) \det(xI-B(A-XI)) &= \det( (A-XI)(xI- B(A-XI) ))\\
&= \det(x(A-XI)-(A-XI)B(A-XI))\\
&= \det ((xI-(A-XI)B)(A-XI))\\
&=\det (xI-(A-XI)B)\det(A-XI)
\end{align*}$.

Cette égalité est vraie dans l’anneau $K[X]$. Or $\det(A-XI)$ est un polynôme de degré $n$, de coefficient dominant $(-1)^n.$ Par conséquent, il est non nul dans $K[X].$

Il en résulte que, dans $K[X]$, $\det(xI-B(A-XI))=\det(xI-(A-XI)B).$ On substitue $X$ par $0$ (le neutre de l’addition dans $K$) et on obtient le résultat voulu $\det(xI-BA)=\det(xI-AB).$

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