Dans le cas réel ou complexe, avec la topologie

Dans la littérature mathématique, on trouve beaucoup de preuves de ce résultat dans $\R$ ou $\C$, avec des arguments de densité.

On commence par montrer que les deux polynômes caractéristiques sont égaux dans le cas où l’une des matrices est inversible, puis on conclut par passage à la limite dans l’hypothèse où aucune des matrices n’est inversible.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 081.

Montrez que le résultat est valable dans n’importe quel corps

Soit $n$ un entier naturel non nul. Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d’ordre $n$ à coefficients dans un corps commutatif $\K.$ Notez $I$ la matrice identité d’ordre $n.$

Il s’agit de montrer que les deux polynômes $\det(XI-AB)$ et $\det(XI-BA)$ sont égaux dans $\K[X].$

Comme vous ne savez pas si la matrice $A$ est inversible ou non, vous utilisez seulement $\det A.$ Vous remarquez que :

Le problème qui se pose c’est que, pour pouvoir simplifier, il faudrait pouvoir éliminer $\det A.$ Mais on ne sait pas à ce stade s’il est nul ou non.

Vous allez maintenant travailler avec des matrices à coefficients dans l’anneau des polynômes à deux variables $\K[X,Y].$ Vous reprenez le même calcul que précédemment, mais avec la matrice $A-YI$ à la place de la matrice $A.$ Vous obtenez :

Le polynôme $\det(A-YI)$ n’est pas le polynôme nul, puisque son coefficient dominant est $(-1)^n Y^n.$

Comme $\K[X,Y]$ est un anneau intègre, il est possible de simplifier l’expression précédente par $\det(A-YI).$ Cela fournit :

Comme cette égalité est vraie dans $\K[X,Y]\comma$ vous pouvez substituer $0$ pour la variable $Y\comma$ ce qui fournit finalement :

Les polynômes caractéristiques des matrices $AB$ et $BA$ sont égaux.