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094. Calculez le polynôme caractéristique d’une matrice avec le déterminant

Yannis TRIANTAPHYLIDES

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Précisez l’objectif

Considérez la matrice $A$ à coefficients réels définie par :

A=\begin{pmatrix} 7&1&2&2\\ 1&4&-1&-1\\ -2&1&5&-1\\ 1&1&2&8 \end{pmatrix}.

Vous notez $I$ la matrice identité d’ordre $4.$

Pour parvenir à trouver une représentation plus simple de cette matrice, vous êtes amené à déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de $A.$

Cela revient à déterminer tous les réels $\lambda$ de sorte qu’il existe un vecteur $X$ non nul vérifiant $AX=\lambda X.$ Cette égalité amène à $(A-\lambda I)X=0\comma$ avec $X\neq 0.$

L’égalité $(A-\lambda I)X = 0$ avec $X$ non nul force la matrice $A-\lambda I$ a être non inversible. Par conséquent, le déterminant $\det(\lambda I-A)$ est nul.

Précisez les outils à utiliser

Un déterminant d’ordre $3$ peut être calculé avec la règle de Sarrus, ce qui donne $6$ termes. Cependant, à partir de l’ordre $4\comma$ d’autres techniques doivent être envisagées.

En utilisant des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, vous avez deux priorités : factoriser par un polynôme de degré $1\comma$ faire apparaître des zéros pour se ramener à un déterminant d’ordre inférieur.

Exemple pour le déterminant de la matrice $A$

Pour déterminer les valeurs propres de $A\comma$ vous êtes amené à calculer le polynôme réel suivant :

\det(XI-A)=\begin{vmatrix} X-7 & -1 & -2 & -2\\ -1 & X-4 & 1 & 1\\ 2 & -1 & X-5 & 1\\ -1 & -1 & -2 & X-8 \end{vmatrix}.

Le plus important est d’arriver à former une colonne qui soit factorisable par un polynôme de degré $1.$ Effectuez l’opération élémentaire $C_1\leftarrow C_1+C_2-C_3.$ Vous obtenez :

\begin{align*} \det(XI-A) &= \begin{vmatrix} X-6 & -1 & -2 & -2\\ X-6 & X-4 & 1 & 1\\ 0 & -1 & X-5 & 1\\ -X+6 & -1 & -2 & X-8 \end{vmatrix}\\ &=(X-6)\begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 & -2\\ 1 & X-4 & 1 & 1\\ 0 & -1 & X-5 & 1\\ -1 & -1 & -2 & X-8 \end{vmatrix}. \end{align*}

Ensuite, vous forcez l’apparition de deux zéros supplémentaires sur la première colonne avec les opérations élémentaires $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_4\leftarrow L_4+L_1.$ Cela fournit :

\begin{align*} \det(XI-A)&=(X-6)\begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 & -2\\ 0 & X-3 & 3 & 3\\ 0 & -1 & X-5 & 1\\ 0 & -2 & -4 & X-10 \end{vmatrix}\\ &=(X-6)\begin{vmatrix} X-3 & 3 & 3\\ -1 & X-5 & 1\\ -2 & -4 & X-10 \end{vmatrix}. \end{align*}

Puis, vous effectuez l’opération élémentaire $C_2\leftarrow C_2-C_3.$ Il vient :

\begin{align*} \det(XI-A) &=(X-6)\begin{vmatrix} X-3 & 0 & 3\\ -1 & X-6 & 1\\ -2 & -X+6 & X-10 \end{vmatrix}\\ &=(X-6)^2\begin{vmatrix} X-3 & 0 & 3\\ -1 & 1 & 1\\ -2 & -1 & X-10 \end{vmatrix}. \end{align*}

Vous forcez l’apparition d’un zéro supplémentaire sur la colonne $2$ en effectuant $L_3\leftarrow L_3+L_2.$ Ainsi :

\begin{align*} \det(XI-A) &= (X-6)^2\begin{vmatrix} X-3 & 0 & 3\\ -1 & 1 & 1\\ -3 & 0 & X-9 \end{vmatrix}\\ &= (X-6)^2\begin{vmatrix} X-3 & 3\\ -3 & X-9 \end{vmatrix}. \end{align*}

Puis, vous effectuez l’opération élémentaire $C_1\leftarrow C_1-C_2.$ Cela donne :

\begin{align*} \det(XI-A) &= (X-6)^2\begin{vmatrix} X-6 & 3\\ -X+6 & X-9 \end{vmatrix}\\ &= (X-6)^3\begin{vmatrix} 1 & 3\\ -1 & X-9 \end{vmatrix}. \end{align*}

Enfin, vous forcez l’apparition d’un zéro sur la colonne $1$ avec l’opération $L_2\leftarrow L_2+L_1.$ Cela vous permet de conclure :

\begin{align*} \det(XI-A) &= (X-6)^3\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 0 & X-6 \end{vmatrix}\\ &=(X-6)^4. \end{align*}

Ainsi le polynôme caractéristique de la matrice $A$ est égal à $(X-6)^4$ ce qui prouve que $6$ est la seule valeur propre de $A.$

Prolongement

Procédez à la réduction la plus poussée de la matrice $A\comma$ en précisant la matrice de changement de base utilisée.