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094. Comment bien calculer un déterminant ?

17/07/2020 - 0057

Pourquoi calculer un déterminant ?

Considérez la matrice $A=\begin{pmatrix}
7&1&2&2\\
1&4&-1&-1\\
-2&1&5&-1\\
1&1&2&8
\end{pmatrix}.$

Pour parvenir à trouver une représentation plus simple de cette matrice, vous êtes plus ou moins amenés à déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de $A$, c’est-à-dire tous les réels $x\in\R$ de sorte qu’il existe un vecteur $X$ non nul tel que $AX=xX.$ Cette égalité amène à $(A-xI)X=0$ avec $X\neq 0$ autrement dit, le réel $x$ ne peut pas être choisi n’importe comment.

L’égalité $(A-xI)X = 0$ avec $X$ non nul force la matrice $A-xI$ a être singulière ou non inversible. Par conséquent le déterminant $\det(xI-A)$ est nul. Le choix de $xI-A$ au lieu de $A-xI$ pour le calcul du déterminant est motivé par le fait que, pour toute matrice réelle $T$ carrée d’ordre $n$, $\det(xI-T)$ est un polynôme unitaire de degré $n$, ce qui n’est pas le cas de $\det(A-xI)$ quand $n$ est impair.

Quels outils utiliser pour développer un déterminant ?

Un déterminant de taille $3\times 3$ peut être calculé avec la règle de Sarrus, ce qui donne 6 termes, ce qui est faisable, mais fastidieux… et puis si le déterminant de départ est de taille $4\times 4$ vous êtes ramenés à développer avec une formule à 24 termes. Il faut bannir ces utilisations-là.

Utilisez plutôt les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.

  • Priorité 1 : cherchez à factoriser par un polynôme de degré 1.
  • Priorité 2 : faites apparaître des zéros pour vous ramener à un déterminant de taille inférieure, et recommencez.

Calcul bien mené d’un déterminant $4×4$

Pour déterminer les valeurs propres de $A$, vous êtes amené à calculer :

$\begin{align*}
\det(xI-A)&=\begin{vmatrix}
x-7 & -1 & -2 & -2\\
-1 & x-4 & 1 & 1\\
2 & -1 & x-5 & 1\\
-1 & -1 & -2 & x-8
\end{vmatrix}
\end{align*}$

Le plus important ensuite c’est d’arriver à former une colonne qui soit factorisable par un polynôme de degré 1. Remplacez la colonne 1 avec l’opération élémentaire $C_1\leftarrow C_1+C_2-C_3.$

$\begin{align*}
\det(xI-A) &= \begin{vmatrix}
x-6 & -1 & -2 & -2\\
x-6 & x-4 & 1 & 1\\
0 & -1 & x-5 & 1\\
-x+6 & -1 & -2 & x-8
\end{vmatrix}\\
&=(x-6)\begin{vmatrix}
1 & -1 & -2 & -2\\
1 & x-4 & 1 & 1\\
0 & -1 & x-5 & 1\\
-1 & -1 & -2 & x-8
\end{vmatrix}.
\end{align*}$

Ensuite vous forcez l’apparition de trois zéros sur la première colonne avec les opérations élémentaires suivantes :
$L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_4\leftarrow L_4+L_1.$

$\begin{align*}
\det(xI-A)&=(x-6)\begin{vmatrix}
1 & -1 & -2 & -2\\
0 & x-3 & 3 & 3\\
0 & -1 & x-5 & 1\\
0 & -2 & -4 & x-10
\end{vmatrix}\\
&=(x-6)\begin{vmatrix}
x-3 & 3 & 3\\
-1 & x-5 & 1\\
-2 & -4 & x-10
\end{vmatrix}\\
\end{align*}$

Puis vous formez l’opération élémentaire $C_2\leftarrow C_2-C_3.$

$\begin{align*}
\det(xI-A)&=(x-6)\begin{vmatrix}
x-3 & 3 & 3\\
-1 & x-5 & 1\\
-2 & -4 & x-10
\end{vmatrix}\\
&=(x-6)\begin{vmatrix}
x-3 & 0 & 3\\
-1 & x-6 & 1\\
-2 & -x+6 & x-10
\end{vmatrix}\\
&=(x-6)^2\begin{vmatrix}
x-3 & 0 & 3\\
-1 & 1 & 1\\
-2 & -1 & x-10
\end{vmatrix}\\
\end{align*}$

Forcez l’apparition de deux zéros sur la colonne 2.
$L_3\leftarrow L_3+L_2$

$\begin{align*}
\det(xI-A) &= (x-6)^2\begin{vmatrix}
x-3 & 0 & 3\\
-1 & 1 & 1\\
-3 & 0 & x-9
\end{vmatrix}\\
&= (x-6)^2\begin{vmatrix}
x-3 & 3\\
-3 & x-9
\end{vmatrix}
\end{align*}$

Formez l’opération élémentaire $C_1\leftarrow C_1-C_2.$

$\begin{align*}
\det(xI-A) &= (x-6)^2\begin{vmatrix}
x-3 & 3\\
-3 & x-9
\end{vmatrix}\\
&= (x-6)^2\begin{vmatrix}
x-6 & 3\\
-x+6 & x-9
\end{vmatrix}\\
&= (x-6)^3\begin{vmatrix}
1 & 3\\
-1 & x-9
\end{vmatrix}\\
\end{align*}$

Puis forcez l’apparition d’un zéro sur la colonne 1 avec $L_2\leftarrow L_2+L_1$ et concluez.

$\begin{align*}
\det(xI-A) &= (x-6^3)\begin{vmatrix}
1 & 3\\
0 & x-6
\end{vmatrix}\\
&=(x-6)^4.
\end{align*}$

Prolongement

Procédez à la réduction de la matrice $A$, maintenant que vous savez qu’elle n’a que $6$ comme valeur propre.

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