Pourquoi calculer un déterminant ?
Considérez la matrice $A=\begin{pmatrix}
7&1&2&2\\
1&4&-1&-1\\
-2&1&5&-1\\
1&1&2&8
\end{pmatrix}.$
Pour parvenir à trouver une représentation plus simple de cette matrice, vous êtes plus ou moins amenés à déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de $A$, c’est-à-dire tous les réels $x\in\R$ de sorte qu’il existe un vecteur $X$ non nul tel que $AX=xX.$ Cette égalité amène à $(A-xI)X=0$ avec $X\neq 0$ autrement dit, le réel $x$ ne peut pas être choisi n’importe comment.
L’égalité $(A-xI)X = 0$ avec $X$ non nul force la matrice $A-xI$ a être singulière ou non inversible. Par conséquent le déterminant $\det(xI-A)$ est nul. Le choix de $xI-A$ au lieu de $A-xI$ pour le calcul du déterminant est motivé par le fait que, pour toute matrice réelle $T$ carrée d’ordre $n$, $\det(xI-T)$ est un polynôme unitaire de degré $n$, ce qui n’est pas le cas de $\det(A-xI)$ quand $n$ est impair.
Quels outils utiliser pour développer un déterminant ?
Un déterminant de taille $3\times 3$ peut être calculé avec la règle de Sarrus, ce qui donne 6 termes, ce qui est faisable, mais fastidieux… et puis si le déterminant de départ est de taille $4\times 4$ vous êtes ramenés à développer avec une formule à 24 termes. Il faut bannir ces utilisations-là.
Utilisez plutôt les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.
- Priorité 1 : cherchez à factoriser par un polynôme de degré 1.
- Priorité 2 : faites apparaître des zéros pour vous ramener à un déterminant de taille inférieure, et recommencez.
Calcul bien mené d’un déterminant $4×4$
Pour déterminer les valeurs propres de $A$, vous êtes amené à calculer :
\begin{aligned}
\det(xI-A)&=\begin{vmatrix}
x-7 & -1 & -2 & -2\\
-1 & x-4 & 1 & 1\\
2 & -1 & x-5 & 1\\
-1 & -1 & -2 & x-8
\end{vmatrix}
\end{aligned}
Le plus important ensuite c’est d’arriver à former une colonne qui soit factorisable par un polynôme de degré 1. Remplacez la colonne 1 avec l’opération élémentaire $C_1\leftarrow C_1+C_2-C_3.$
\begin{aligned}
\det(xI-A) &= \begin{vmatrix}
x-6 & -1 & -2 & -2\\
x-6 & x-4 & 1 & 1\\
0 & -1 & x-5 & 1\\
-x+6 & -1 & -2 & x-8
\end{vmatrix}\\
&=(x-6)\begin{vmatrix}
1 & -1 & -2 & -2\\
1 & x-4 & 1 & 1\\
0 & -1 & x-5 & 1\\
-1 & -1 & -2 & x-8
\end{vmatrix}.
\end{aligned}
Ensuite vous forcez l’apparition de trois zéros sur la première colonne avec les opérations élémentaires suivantes :
$L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_4\leftarrow L_4+L_1.$
\begin{aligned}
\det(xI-A)&=(x-6)\begin{vmatrix}
1 & -1 & -2 & -2\\
0 & x-3 & 3 & 3\\
0 & -1 & x-5 & 1\\
0 & -2 & -4 & x-10
\end{vmatrix}\\
&=(x-6)\begin{vmatrix}
x-3 & 3 & 3\\
-1 & x-5 & 1\\
-2 & -4 & x-10
\end{vmatrix}\\
\end{aligned}
Puis vous formez l’opération élémentaire $C_2\leftarrow C_2-C_3.$
\begin{aligned}
\det(xI-A)&=(x-6)\begin{vmatrix}
x-3 & 3 & 3\\
-1 & x-5 & 1\\
-2 & -4 & x-10
\end{vmatrix}\\
&=(x-6)\begin{vmatrix}
x-3 & 0 & 3\\
-1 & x-6 & 1\\
-2 & -x+6 & x-10
\end{vmatrix}\\
&=(x-6)^2\begin{vmatrix}
x-3 & 0 & 3\\
-1 & 1 & 1\\
-2 & -1 & x-10
\end{vmatrix}\\
\end{aligned}
Forcez l’apparition de deux zéros sur la colonne 2.
$L_3\leftarrow L_3+L_2$
\begin{aligned}
\det(xI-A) &= (x-6)^2\begin{vmatrix}
x-3 & 0 & 3\\
-1 & 1 & 1\\
-3 & 0 & x-9
\end{vmatrix}\\
&= (x-6)^2\begin{vmatrix}
x-3 & 3\\
-3 & x-9
\end{vmatrix}
\end{aligned}
Formez l’opération élémentaire $C_1\leftarrow C_1-C_2.$
\begin{aligned}
\det(xI-A) &= (x-6)^2\begin{vmatrix}
x-3 & 3\\
-3 & x-9
\end{vmatrix}\\
&= (x-6)^2\begin{vmatrix}
x-6 & 3\\
-x+6 & x-9
\end{vmatrix}\\
&= (x-6)^3\begin{vmatrix}
1 & 3\\
-1 & x-9
\end{vmatrix}\\
\end{aligned}
Puis forcez l’apparition d’un zéro sur la colonne 1 avec $L_2\leftarrow L_2+L_1$ et concluez.
\begin{aligned}
\det(xI-A) &= (x-6^3)\begin{vmatrix}
1 & 3\\
0 & x-6
\end{vmatrix}\\
&=(x-6)^4.
\end{aligned}
Prolongement
Procédez à la réduction de la matrice $A$, maintenant que vous savez qu’elle n’a que $6$ comme valeur propre.
Partagez !
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !