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093. Explorez un lien entre meilleure approximation et orthogonalité

Yannis TRIANTAPHYLIDES

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Précisez le contexte

Dans cet article, vous vous placez dans un $\R$-espace vectoriel $V$ muni d’un produit scalaire qui est noté $\langle\cdot, \cdot\rangle.$ La norme associée à ce produit scalaire est notée $\lVert\cdot\rVert.$

Note. Un tel espace est appelé espace préhilbertien.

Soient $W$ un sous-espace vectoriel de $V$ et $x$ un vecteur de $V.$ Il s’agit d’approximer le mieux possible le vecteur $x$ parmi tous les vecteurs de $W.$

Pour cela, vous considérez l’ensemble suivant :

E =\{\lVert x-w\rVert, w\in W\}.

Puisque le sous-espace $W$ contient le vecteur nul, il est non vide. Par conséquent, $E$ n’est pas vide. Comme, pour tout $w\in W\comma$ vous avez $\lVert x-w\rVert \geq 0\comma$ l’ensemble $E$ est minoré par $0.$ Comme $E$ est une partie de $\R\comma$ vous déduisez que $E$ admet une borne inférieure.

Définissez la notion de meilleure approximation du vecteur $x$

Lorsque la borne inférieure de $E$ est atteinte, la partie $E$ possède un plus petit élément. Il existe un vecteur $y\in W$ de sorte que $\forall w\in W, \lVert x-y\rVert \leq \lVert x-w\rVert.$ Un vecteur $y$ satisfaisant cette condition est appelé vecteur de meilleure approximation de $x.$

Explicitez une propriété d’un vecteur réalisant une meilleure approximation

Vous supposez qu’il existe un vecteur $y\in W$ réalisant une meilleure approximation du vecteur $x$ parmi tous les vecteurs de $W.$ Autrement dit, vous supposez qu’il existe un vecteur $y\in W$ tel que :

\forall w\in W, \lVert x-y \rVert \leq \lVert x-w \rVert.

Soit $w\in W.$ Alors :

\begin{align*} \lVert x-y\rVert&\leq \lVert x-w\rVert \\ \lVert x-y\rVert^2 &\leq \lVert x-w\rVert^2 \\ \lVert x \rVert^2+\lVert y\rVert^2-2\langle x,y\rangle&\leq \lVert x\rVert^2+\lVert w\rVert^2-2\langle x,w\rangle\\ \lVert y\rVert^2-2\langle x,y\rangle&\leq \lVert w\rVert^2-2\langle x,w\rangle\\ \lVert y\rVert^2+2\langle x,w-y\rangle -\lVert w\rVert^2&\leq 0. \end{align*}

Vous forcez l’apparition du vecteur $x-y$ en utilisant le fait que $x = (x-y)+y.$ Vous obtenez :

\begin{align*} \lVert y\rVert^2+2\langle (x-y)+y,w-y\rangle -\lVert w\rVert^2\leq 0\\ \lVert y\rVert^2+2\langle x-y,w-y\rangle + 2\langle y,w-y\rangle -\lVert w\rVert^2\leq 0\\ -\lVert y\rVert^2+2\langle x-y,w-y\rangle + 2\langle y,w\rangle -\lVert w\rVert^2\leq 0. \end{align*}

Cette inégalité fournit :

\begin{align*} 2\langle x-y,w-y\rangle \leq \lVert y\rVert^2 + \lVert w\rVert^2-2\langle y,w\rangle\\ 2\langle x-y,w-y\rangle \leq \lVert w-y\rVert^2. \end{align*}

Ainsi :

\forall w\in W, 2\langle x-y,w-y\rangle \leq \lVert w-y\rVert^2.

Soit $r$ un vecteur de $W.$

Soit $\lambda$ un réel strictement positif. En posant $w=y+\lambda r\comma$ vous avez $w\in W$ par combinaison linéaire. Donc :

\begin{align*} 2\langle x-y,\lambda r\rangle \leq \lVert \lambda r\rVert^2\\ 2\lambda \langle x-y, r\rangle \leq \lambda^2 \lVert r\rVert^2\\ \langle x-y, r\rangle \leq \frac{\lambda}{2} \lVert r\rVert^2. \end{align*}

Cette inégalité étant vraie quel que soit $\lambda \gt 0\comma$ vous déduisez, en faisant tendre $\lambda$ vers $0\comma$ que :

\langle x-y,r\rangle \leq 0.

Soit $\lambda$ un réel strictement positif. En choisissant $w = y-\lambda r\comma$ vous avez encore $w\in W\comma$ donc :

\begin{align*} 2\langle x-y,-\lambda r\rangle \leq \lVert -\lambda r\rVert^2\\ -2\lambda \langle x-y, r\rangle \leq \lambda^2 \lVert r\rVert^2\\ -2 \langle x-y, r\rangle \leq \lambda \lVert r\rVert^2\\ -\frac{\lambda}{2} \lVert r\rVert^2\leq \langle x-y, r\rangle. \end{align*}

Cette inégalité étant vraie quel que soit $\lambda \gt 0\comma$ vous déduisez, en faisant tendre $\lambda$ vers $0\comma$ que :

0\leq \langle x-y,r\rangle.

Vous avez donc obtenu que :

\forall r\in W, \langle x-y,r\rangle = 0.

Autrement dit, le vecteur $x-y$ est orthogonal à tous les vecteurs de $W\comma$ ce qui s’écrit $x-y\in W^{\perp}.$

Prolongement

Dans le cas où il existe deux vecteurs $y_1\in W$ et $y_2\in W$ tels que $y_1$ et $y_2$ soient deux vecteurs de meilleure approximation de $x\comma$ est-ce que les vecteurs $y_1$ et $y_2$ sont nécessairement égaux ?