Pour fixer les idées, soit $E$ une partie de $\C.$
Pour tout $x\in E$ et pour tout réel $r>0$, on note $B_x(r)$ la boule (au sens topologique) ouverte de centre $x$ et de rayon $r$, définie par l’ensemble $\{z\in\C, |z-x|<r\}.$
On appelle frontière de $E$, notée $\partial E$, la partie de $\C$ contenant les complexes $z\in\C$ dont toutes les boules ouvertes de centre $z$ rencontrent $E$ et $\C\setminus E.$ Avec une notation ensembliste, on écrit :
$\partial E = \left\{z\in\C, \forall r>0, \exists x\in E, \exists y\in \C\setminus E, (x,y)\in B_z(r)^2\right\}.$
Remarquez de cette définition que $\boxed{\partial (\C \setminus E) = \partial (E)}.$
Qu’est-ce que l’intérieur de $E$ ? Quel rapport avec la frontière de $E$ ?
On appelle intérieur de $E$, noté $\overset{\circ}{E}$ l’ensemble des points de $z\in E$ qui contiennent au moins un boule totalement incluse dans $E.$ Avec la notation ensembliste, on écrit :
$\overset{\circ}{E} = \left\{z\in E, \exists r>0, B_z(r) \subset E\right\}.$
Vous allez démontrer que $\overset{\circ}{E}$, l’intérieur de $E$, est égal à l’ensemble $E$ privé de sa frontière $\partial E$.
Autrement dit, $\boxed{\overset{\circ}{E} = E\setminus \partial E}.$
Pour y parvenir, vous procédez par double inclusion.
Première inclusion : $\overset{\circ}{E} \subset E\setminus \partial E$
Soit $x\in \overset{\circ}{E}.$ Par définition de l’intérieur de $E$, l’élément $x$ appartient à $E$ : $x\in E.$ Raisonnez par l’absurde en supposant que $x\in \partial E.$ Par définition de la frontière, toutes les boules ouvertes centrées en $x$ rencontrent un élément de $\C \setminus E.$ Comme $x$ est intérieur à $E$, il existe un réel $r>0$ tel que $B_x(r) \subset E.$ Or il existe $y\in \C \setminus E$ et que $y\in B_x(r)$. Vous en déduisez que $y\in E$, contradiction. Par conséquent $x\notin \partial E$. Du coup, $x\in E\setminus \partial E.$
Seconde inclusion : $E\setminus \partial E \subset \overset{\circ}{E} $
Soit $x\in E\setminus \partial E.$ En particulier $x\notin \partial E.$ En niant la proposition qui définit la frontière de $E$, vous déduisez qu’il existe un réel $r>0$, de sorte pour tout $a\in E$ et pour tout $b\in \C\setminus E$, $(a,b)\notin B_x(r)^2.$ Soit $y\in B_x(r)$. Supposez en raisonnant par l’absurde que $y\notin E$. Choisissez $a=x$ et $b=y$, vous déduisez que $(x,y)\notin B_x(r)^2.$ Or $x\in B_x(r)$ et $y\in B_x(r)$ donc $(x,y)\in B_x(r)^2$, contradiction. Donc $y\in E$ ce qui prouve l’inclusion $B_x(r)\subset E$ et finalement $x\in \overset{\circ}{E}.$
Qu’est-ce que l’adhérence de $E$ ? Quel rapport avec la frontière de $E$ ?
On appelle adhérence de $E$ l’ensemble noté $\overline{E}$ défini par le complémentaire de l’intérieur du complémentaire de $E$. Cette définition formelle s’écrit ainsi :$\overline{E} = \{z\in \C, z\notin \overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}} \}.$ Un élément $z\in\C$ appartient à l’adhérence de $E$, si et seulement si, il n’appartient pas à l’intérieur de $\C\setminus E.$
D’après ce qui a été fait sur la notion d’intérieur, $\overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}} = (\C\setminus E) \setminus \partial (\C\setminus E) = (\C\setminus E) \setminus \partial E.$ De là vous allez démontrer que $\boxed{\overline{E} = E\cup \partial E}.$
Première inclusion : $\overline{E} \subset E\cup \partial E$
Soit $x\in \overline{E}.$ Alors $x\notin (\C\setminus E) \setminus \partial E.$ Si $x\in E$ vous avez déjà $x\in E \cup \partial E$. Si $x\notin E$, alors $x\in \C\setminus E$. Par l’absurde, supposez que $x\notin \partial E.$ Alors $x\in (\C\setminus E)\setminus \partial E$, contradiction. Donc $x\in \partial E$ et donc $x\in E\cup \partial E.$
Seconde inclusion : $E\cup \partial E \subset \overline{E}$
Soit $x\in E\cup \partial E.$ Si $x\notin E$, alors $x\in \partial E$. Or $x\in \C\setminus E$, donc $x\notin (\C\setminus E) \setminus \partial E$, donc $x\in \overline{E}.$ Maintenant, si $x\in E$, alors $x\notin \C\setminus E$. Comme $(\C\setminus E) \setminus \partial E \subset \C\setminus E $ vous en déduisez que $x \notin (\C\setminus E) \setminus \partial E$, donc $x\in\overline{E}.$
Prolongement
Les notions d’adhérence, d’intérieur et de complémentaire s’étendent vers les notions de parties ouvertes et fermées, que vous pouvez lire dans le contenu rédigé dans l'article 104.
Tous ces éléments s’étendent vers le théorème de Kuratowski, qui est illustré dans le contenu rédigé dans l'article 391.
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