Pour fixer les idées, soit $E$ une partie de $\C.$
Pour tout $x\in E$ et pour tout réel $r>0$, on note $B_x(r)$ la boule (au sens topologique) ouverte de centre $x$ et de rayon $r$, définie par l’ensemble $\{z\in\C, |z-x|<r\}.$
On appelle frontière de $E$, notée $\partial E$, la partie de $\C$ contenant les complexes $z\in\C$ dont toutes les boules ouvertes de centre $z$ rencontrent $E$ et $\C\setminus E.$ Avec une notation ensembliste, on écrit :
$\partial E = \left\{z\in\C, \forall r>0, \exists x\in E, \exists y\in \C\setminus E, (x,y)\in B_z(r)^2\right\}.$
Remarquez de cette définition que $\boxed{\partial (\C \setminus E) = \partial (E)}.$
Qu’est-ce que l’intérieur de $E$ ? Quel rapport avec la frontière de $E$ ?
On appelle intérieur de $E$, noté $\overset{\circ}{E}$ l’ensemble des points de $z\in E$ qui contiennent au moins un boule totalement incluse dans $E.$ Avec la notation ensembliste, on écrit :
$\overset{\circ}{E} = \left\{z\in E, \exists r>0, B_z(r) \subset E\right\}.$
Vous allez démontrer que $\overset{\circ}{E}$, l’intérieur de $E$, est égal à l’ensemble $E$ privé de sa frontière $\partial E$.
Autrement dit, $\boxed{\overset{\circ}{E} = E\setminus \partial E}.$
Pour y parvenir, vous procédez par double inclusion.
Première inclusion : $\overset{\circ}{E} \subset E\setminus \partial E$
Soit $x\in \overset{\circ}{E}.$ Par définition de l’intérieur de $E$, l’élément $x$ appartient à $E$ : $x\in E.$ Raisonnez par l’absurde en supposant que $x\in \partial E.$ Par définition de la frontière, toutes les boules ouvertes centrées en $x$ rencontrent un élément de $\C \setminus E.$ Comme $x$ est intérieur à $E$, il existe un réel $r>0$ tel que $B_x(r) \subset E.$ Or il existe $y\in \C \setminus E$ et que $y\in B_x(r)$. Vous en déduisez que $y\in E$, contradiction. Par conséquent $x\notin \partial E$. Du coup, $x\in E\setminus \partial E.$
Seconde inclusion : $E\setminus \partial E \subset \overset{\circ}{E} $
Soit $x\in E\setminus \partial E.$ En particulier $x\notin \partial E.$ En niant la proposition qui définit la frontière de $E$, vous déduisez qu’il existe un réel $r>0$, de sorte pour tout $a\in E$ et pour tout $b\in \C\setminus E$, $(a,b)\notin B_x(r)^2.$ Soit $y\in B_x(r)$. Supposez en raisonnant par l’absurde que $y\notin E$. Choisissez $a=x$ et $b=y$, vous déduisez que $(x,y)\notin B_x(r)^2.$ Or $x\in B_x(r)$ et $y\in B_x(r)$ donc $(x,y)\in B_x(r)^2$, contradiction. Donc $y\in E$ ce qui prouve l’inclusion $B_x(r)\subset E$ et finalement $x\in \overset{\circ}{E}.$
Qu’est-ce que l’adhérence de $E$ ? Quel rapport avec la frontière de $E$ ?
On appelle adhérence de $E$ l’ensemble noté $\overline{E}$ défini par le complémentaire de l’intérieur du complémentaire de $E$. Cette définition formelle s’écrit ainsi :$\overline{E} = \{z\in \C, z\notin \overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}} \}.$ Un élément $z\in\C$ appartient à l’adhérence de $E$, si et seulement si, il n’appartient pas à l’intérieur de $\C\setminus E.$
D’après ce qui a été fait sur la notion d’intérieur, $\overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}} = (\C\setminus E) \setminus \partial (\C\setminus E) = (\C\setminus E) \setminus \partial E.$ De là vous allez démontrer que $\boxed{\overline{E} = E\cup \partial E}.$
Première inclusion : $\overline{E} \subset E\cup \partial E$
Soit $x\in \overline{E}.$ Alors $x\notin (\C\setminus E) \setminus \partial E.$ Si $x\in E$ vous avez déjà $x\in E \cup \partial E$. Si $x\notin E$, alors $x\in \C\setminus E$. Par l’absurde, supposez que $x\notin \partial E.$ Alors $x\in (\C\setminus E)\setminus \partial E$, contradiction. Donc $x\in \partial E$ et donc $x\in E\cup \partial E.$
Seconde inclusion : $E\cup \partial E \subset \overline{E}$
Soit $x\in E\cup \partial E.$ Si $x\notin E$, alors $x\in \partial E$. Or $x\in \C\setminus E$, donc $x\notin (\C\setminus E) \setminus \partial E$, donc $x\in \overline{E}.$ Maintenant, si $x\in E$, alors $x\notin \C\setminus E$. Comme $(\C\setminus E) \setminus \partial E \subset \C\setminus E $ vous en déduisez que $x \notin (\C\setminus E) \setminus \partial E$, donc $x\in\overline{E}.$
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