Pour fixer les idées, soit $E$ une partie de $\C.$

Pour tout $x\in E$ et pour tout réel $r>0\comma$ vous notez $B_x(r)$ la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r\comma$ définie par l’ensemble $\{z\in\C, \vert z-x \vert\lt r\}.$

On appelle frontière de $E$ l’ensemble noté $\partial E\comma$ qui est la partie de $\C$ contenant les nombres complexes $z$ dont toutes les boules ouvertes de centre $z$ rencontrent $E$ et $\C\setminus E.$ Avec une notation ensembliste, cela s’écrit :

Remarquez de cette définition que :

Définissez l’intérieur de $E$

On appelle intérieur de $E\comma$ noté $\overset{\circ}{E}\comma$ l’ensemble des nombres complexes $z \in E$ pour lesquels il existe au moins une boule ouverte centrée en $z$ qui soit entièrement contenue dans $E.$ Avec la notation ensembliste, vous avez :

Vous allez démontrer que $\overset{\circ}{E}\comma$ l’intérieur de $E\comma$ est égal à l’ensemble $E$ privé de sa frontière $\partial E.$ Autrement dit, il s’agit de montrer que :

Pour y parvenir, vous procédez par double inclusion.

Première inclusion : $\overset{\circ}{E} \subset E\setminus \partial E$

Soit $x\in \overset{\circ}{E}.$ Par définition de l’intérieur de $E\comma$ l’élément $x$ appartient à $E$ et vérifie $x\in E.$ Raisonnez par l’absurde en supposant que $x\in \partial E.$ Par définition de la frontière, toutes les boules ouvertes centrées en $x$ rencontrent un élément de $\C \setminus E.$ Comme $x$ est intérieur à $E\comma$ il existe un réel $r>0$ tel que $B_x(r) \subset E.$ Or il existe $y\in \C \setminus E$ tel que $y\in B_x(r).$ Vous en déduisez que $y\in E\comma$ contradiction. Par conséquent, $x\notin \partial E.$ Du coup, $x\in E\setminus \partial E.$

Seconde inclusion : $E\setminus \partial E \subset \overset{\circ}{E} $

Soit $x\in E\setminus \partial E.$ En particulier $x\notin \partial E.$ En niant la proposition qui définit la frontière de $E\comma$ vous déduisez qu’il existe un réel $r>0\comma$ de sorte pour tout $a\in E$ et pour tout $b\in \C\setminus E\comma$ $(a,b)\notin B_x(r)^2.$ Soit $y\in B_x(r).$ Supposez, en raisonnant par l’absurde, que $y\notin E.$ Choisissez $a=x$ et $b=y\comma$ vous déduisez que $(x,y)\notin B_x(r)^2.$ Or $x\in B_x(r)$ et $y\in B_x(r)$ donc $(x,y)\in B_x(r)^2\comma$ contradiction. Donc $y\in E$ ce qui prouve l’inclusion $B_x(r)\subset E\comma$ et finalement $x\in \overset{\circ}{E}.$

Définissez l’adhérence de $E$

On appelle adhérence de $E$ l’ensemble noté $\overline{E}$ défini par le complémentaire de l’intérieur du complémentaire de $E.$ Cette définition formelle s’écrit ainsi :

Un élément $z\in\C$ appartient à l’adhérence de $E\comma$ si et seulement si, il n’appartient pas à l’intérieur de $\C\setminus E.$

D’après ce qui a été effectué sur la notion d’intérieur, $\overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}} = (\C\setminus E) \setminus \partial (\C\setminus E) = (\C\setminus E) \setminus \partial E.$ De là, vous allez démontrer que :

Première inclusion : $\overline{E} \subset E\cup \partial E$

Soit $x\in \overline{E}.$ Alors $x\notin (\C\setminus E) \setminus \partial E.$ Si $x\in E$ vous avez déjà $x\in E \cup \partial E.$ Si $x\notin E\comma$ alors $x\in \C\setminus E.$ Par l’absurde, supposez que $x\notin \partial E.$ Alors $x\in (\C\setminus E)\setminus \partial E\comma$ contradiction. Donc $x\in \partial E$ et ainsi $x\in E\cup \partial E.$

Seconde inclusion : $E\cup \partial E \subset \overline{E}$

Soit $x\in E\cup \partial E.$ Si $x\notin E\comma$ alors $x\in \partial E.$ Or $x\in \C\setminus E\comma$ donc $x\notin (\C\setminus E) \setminus \partial E\comma$ donc $x\in \overline{E}.$ Maintenant, si $x\in E\comma$ alors $x\notin \C\setminus E.$ Comme $(\C\setminus E) \setminus \partial E \subset \C\setminus E\comma$ vous en déduisez que $x \notin (\C\setminus E) \setminus \partial E\comma$ donc $x\in\overline{E}.$

Prolongement

Les notions d’adhérence, d’intérieur et de complémentaire s’étendent vers les notions de parties ouvertes et fermées.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 104.

Tous ces éléments s’étendent vers le théorème de Kuratowski.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 391.