Il a été vu dans l’article précédent que si $E$ est une partie de $\C\comma$ alors l’intérieur de $E$ est égal à $\overset{\circ}{E} = E \setminus \partial E\comma$ c’est-à-dire à $E$ privé de sa frontière et l’adhérence de $E$ est égale à $\overline{E} = E \cup \partial E\comma$ c’est-à-dire à l’union de $E$ et de sa frontière.
Le complémentaire d’une adhérence est l’intérieur du complémentaire
Partez de $\overline{E} = E \cup \partial E.$
En prenant le complémentaire :
En résumé :
Le complémentaire d’un intérieur est l’adhérence du complémentaire
Partez de $\overset{\circ}{E} = E \setminus \partial E = E \cap (\C\setminus \partial E).$
En prenant le complémentaire :
En résumé :
Appliquez ces résultats aux ensembles ouverts et fermés
Définitions avec l’adhérence et l’intérieur
Vous adoptez les définitions suivantes. Une partie $E$ de $\C$ est fermée, si et seulement si, $E=\overline{E}.$ Une partie de $E$ de $\C$ est ouverte, si et seulement si, $E=\overset{\circ}{E}.$
Application 1 : le complémentaire d’un ouvert est un fermé
Soit $E$ une partie ouverte de $\C.$ Alors $\overline{\C \setminus E} = \C \setminus \overset{\circ}{E} = \C \setminus E $ puisque $E = \overset{\circ}{E}.$ Par conséquent, $\C\setminus E$ est une partie fermée de $\C.$
Application 2 : le complémentaire d’un fermé est un ouvert
Soit $E$ une partie fermée de $\C.$ Alors $\overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}} = \C \setminus \overline{E}.$ Or, $\overline{E}=E\comma$ donc $\overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}} =\C \setminus E$ et $\C \setminus E$ est une partie ouverte de $\C.$
Prolongements
La notion de frontière a déjà été détaillée.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 103.
Avec les définitions des parties ouvertes et fermées de $\C$ adoptées, vous pouvez démontrer ce qui suit.
Une partie $E$ de $\C$ est ouverte, si et seulement si, pour tout $x\in E\comma$ il existe $r>0$ tel que $B_x(r)$ soit inclus dans $E.$
Une partie $E$ de $\C$ est fermée, si et seulement si, quel que soit $x\in \C\comma$ si pour tout $r>0$ il existe un élément $y\in E$ appartenant à $B_x(r)\comma$ alors $x$ appartient à $E.$ Autrement dit, une partie $E\subset \C$ est une partie fermée de $\C$ si et seulement si, pour tout point de $\C$ pour lequel toute boule ouverte centrée en ce point contient au moins un élément de la partie $E\comma$ ce point appartient lui-même à la partie $E.$
Pour aller plus loin, allez vers le théorème de Kuratowski.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 391.