Il a été vu dans l’article précédent que si $E$ est une partie de $\C$, alors l’intérieur de $E$ est égal à $\overset{\circ}{E} = E \setminus \partial E$, c’est-à-dire à $E$ privé de sa frontière et l’adhérence de $E$ est égale à $\overline{E} = E \cup \partial E$, c’est-à-dire à l’union de $E$ et de sa frontière.
Le complémentaire d’une adhérence est l’intérieur du complémentaire
Partez de $\overline{E} = E \cup \partial E$.
En prenant le complémentaire :
\begin{aligned}
\C \setminus \overline {E} &= (\C \setminus E) \cap (\C \setminus \partial E)\\
&= (\C \setminus E) \setminus ( \partial E) \\
&= (\C \setminus E) \setminus ( \partial (\C \setminus E)) \\
&= \overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}}
\end{aligned}
En résumé, $\boxed{\C \setminus \overline {E} =\overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}}}. $
Le complémentaire d’un intérieur est l’adhérence du complémentaire
Partez de $\overset{\circ}{E} = E \setminus \partial E = E \cap (\C\setminus \partial E)$.
En prenant le complémentaire :
\begin{aligned}
\C \setminus \overset{\circ}{E} &= (\C \setminus E) \cup \partial E\\
&= (\C \setminus E) \cup ( \partial (\C\setminus E)) \\
&= \overline{\C \setminus E}.
\end{aligned}
En résumé, $\boxed{\C \setminus \overset{\circ}{E} =\overline{\C \setminus E}}. $
Application aux ensembles ouverts et fermés
Définitions avec l’adhérence et l’intérieur
Rappelez-vous des deux définitions suivantes :
- une partie $E$ de $\C$ est fermée, si et seulement si, $E=\overline{E}$ ;
- une partie de $E$ de $\C$ est ouverte, si et seulement si, $E=\overset{\circ}{E}.$
Application 1 : le complémentaire d’un ouvert est un fermé
Soit $E$ une partie ouverte de $\C$. Alors $\overline{\C \setminus E} = \C \setminus \overset{\circ}{E} = \C \setminus E $ puisque $E = \overset{\circ}{E}.$ Par conséquent $\C\setminus E$ est une partie fermée de $\C.$
Application 2 : le complémentaire d’un fermé est un ouvert
Soit $E$ une partie fermée de $\C$. Alors $\overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}} = \C \setminus \overline{E}.$ Mais $\overline{E}=E$, donc $\overset{\circ}{\widehat{\C\setminus E}} =\C \setminus E$ et $\C \setminus E$ est une partie ouverte de $\C.$
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