École AVOSZ

105. Décomposez une fraction rationnelle réelle en éléments simples (partie 3/5)

17 septembre 2020

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Vous allez voir qu’il est tout à fait possible de trouver la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle réelle en effectuant, dès le début, un changement de variable sur les éléments de seconde espèce.

Soit à trouver la décomposition en éléments simples dans $\R(X)$ de la fraction rationnelle $F$ définie par :

F(X) =\frac{X^4+1}{ X^2(X^2+X+1)^2}.

Vous posez $Y = X^2+X+1$ et vous allez écrire $F(X)$ comme un quotient de deux polynômes en $Y.$

Calculez le numérateur de la fraction rationnelle

Partez de la relation $X^2 = Y-X-1\comma$ cela fournit :

\begin{align*} X^3 &= XY-X^2-X\\ &=XY-(Y-X-1)-X\\ &=(-1+X)Y+1. \end{align*}

Puis :

\begin{align*} X^4 &= (-X+X^2)Y+X\\ &=(-X+Y-X-1)Y+X\\ &=(Y-2X-1)Y+X\\ &=Y^2+(-2X-1)Y+X. \end{align*}

Vous en déduisez que :

\boxed{F(X)=\frac{Y^2+(-2X-1)Y+(X+1)}{(Y+(-X-1))Y^2}.}

Effectuez une division selon les puissances croissantes

Vous divisez $Y^2+(-2X-1)Y+(X+1)$ par $Y+(-X-1)$ selon les puissances croissantes en $Y\comma$ de façon à obtenir un reste qui soit un multiple de $Y^2.$ Il vient :

\begin{array}{r|l} (X+1) +(-2X-1)Y +Y^2 & \underline{(-X-1) + Y} \\ \underline{(X+1) +(-1)Y} & -1\\ (-2X)Y +Y^2 \end{array}

Il a été possible d’éliminer le terme $(X+1)$ du dividende en choisissant $-1$ comme premier terme au quotient, mais éliminer le terme $-2XY$ semble plus délicat, étant donné que le quotient doit rester comme un polynôme appartenant à $(\R_1[X])[Y].$

Éliminez le terme du reste qui n’est pas un multiple de $Y^2$

Pour éliminer le terme $-2XY\comma$ vous cherchez à ajouter au quotient un terme de la forme $(aX+b)Y$ où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.

Soit $(a,b)$ un couple de deux nombres réels. Vous calculez le produit $(aX+b)(-X-1).$ Vous trouvez ce qui suit :

\begin{align*} (aX+b)(-X-1) &= -aX^2+(-a-b)X-b \\ &=-a(-1-X+Y)+(-a-b)X-b\\ &=(a-b)-bX-aY. \end{align*}

Vous choisissez $a$ et $b$ pour que $a-b = 0$ et $-b=-2.$ Vous prenez $a=b=2\comma$ ce qui conduit à l’égalité suivante :

(2X+2)(-X-1) = -2X-2Y.

Terminez la division

Vous obtenez :

\begin{array}{r|l} (X+1) +(-2X-1)Y +Y^2 & \underline{(-X-1) + Y}\\ \underline{(X+1) +(-1)Y} & -1 + (2X+2)Y\\ (-2X)Y +Y^2 &\\ \underline{-2XY-2Y^2+(2X+2)Y^2} &\\ (-2X+1)Y^2 \end{array}

Vous avez obtenu que :

\begin{align*} Y^2+(-2X-1)Y+(X+1) &= \bigl((-X-1)+Y\bigr)\bigl( -1+(2X+2)Y\bigr)\\ &\quad + (-2X+1)Y^2. \end{align*}

En divisant par $Y^2\bigl((-X-1)+Y\bigr)\comma$ vous aboutissez à la séparation de la partie polaire en $Y^2$ du reste :

\begin{align*} F(X)&=\frac{-1+(2X+2)Y}{Y^2}+\frac{-2X+1}{(-X-1)+Y} \\ &=\frac{2X+2}{Y}-\frac{1}{Y^2}+\frac{-2X+1}{(-X-1)+Y}\\ &= \frac{2X+2}{Y}-\frac{1}{Y^2}+\frac{-2X+1}{X^2}\\ &=\frac{2X+2}{Y}-\frac{1}{Y^2}-\frac{2}{X}+\frac{1}{X^2}. \end{align*}

Concluez

La décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle réelle $F$ est :

\boxed{ \begin{align*} F(X) &= \frac {X^4+1}{ X^2(X^2+X+1)^2} \\ &=\frac{2X+2}{X^2+X+1}-\frac{1}{(X^2+X+1)^2}-\frac{2}{X}+\frac{1}{X^2}. \end{align*} }