Calculez les puissances successives de $\alpha = \sqrt{2}+\sqrt{3}$
Pour calculer $\alpha^2\comma$ vous utilisez l’identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$
\alpha^2 = 5+2\sqrt{6}.
Pour calculer $\alpha^3\comma$ vous développez le produit $\alpha\times \alpha^2.$
\begin{align*}
\alpha^3 &= 5\sqrt{2}+5\sqrt{3}+4\sqrt{3}+6\sqrt{2}\\
&=11\sqrt{2}+9\sqrt{3}.
\end{align*}
Pour calculer $\alpha^4\comma$ il est plus rapide d’élever au carré $\alpha^2\comma$ avec l’identité remarquable affichée précédemment.
\begin{align*}
\alpha^4 &= 25+24+20\sqrt{6}\\
&=49+20\sqrt{6}.
\end{align*}
Éliminez $\sqrt{6}$ dans $\alpha^4$ et $\alpha^2$
Multipliez par $10$ la relation $\alpha^2 = 5+2\sqrt{6}$ pour obtenir $10\alpha^2 = 50+20\sqrt{6}.$
Comme $\alpha^4 = 49+20\sqrt{6}\comma$ par soustraction membre à membre, il vient $10\alpha^2-\alpha^4=1$ et par suite vous en déduisez que $\alpha$ est annulé par le polynôme $\boxed{P(X) = X^4-10X^2+1}$ à coefficients dans $\Z[X].$
Le nombre $\alpha$ est dit algébrique.
Prolongement : est-il possible d’annuler $\alpha$ avec un polynôme non nul $Q\in\Z[X]$ de degré inférieur ou égal à $3$ ?
Pourriez-vous répondre à cette question ?