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108. Les équations de Cauchy-Riemann

17/07/2020 - 0062

Soit $z$ un nombre complexe fixé et $f$ une fonction à valeurs complexes définie sur une partie ouverte $U\subset\C$ contenant $z.$ Le nombre $z$ est contenu dans une petite boule ouverte, elle-même contenue dans l’ouvert $U$. Cette notion est essentielle car elle précise que l’on peut calculer $f(z+h)$ quand $h$ est de module suffisamment petit.

Une boule ouverte contenue dans un ouvert U

Plus précisément, il existe un réel $r>0$ tel que, pour tout $h\in\C$, $|h|< r$ implique $z+h\in U.$ Notez $B$ l’ensemble des nombres complexes de module strictement inférieur à $r$, $B$ s’appelant la boule ouverte de centre $0$ et de rayon $r$. Notez que $B$ est non vide et que pour tout $h\in B$, le nombre complexe $z+h$ admet une image par la fonction $f$, ce que vous écrivez $z+h\in U.$

Qu’est-ce qu’une fonction dérivable au sens complexe ?

On dit que la fonction $f$ est dérivable au sens complexe en $z$, si et seulement si, la limite $\lim_{\substack{h\to 0 \\h\in \C}} \dfrac{f(z+h)-f(z)}{h}$ existe dans $\C.$

Plus précisément, cela signifie qu’il existe un nombre complexe $\ell \in\C$ tel que :

$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0, \forall h\in \C, 0< |h|<\delta \Longrightarrow \left( z+h\in U \text{ et } \left|\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} – \ell \right|<\varepsilon \right).$

Le nombre $\ell$ est unique et ne dépend que du choix de $z$ et de la fonction $f.$ Il se note $f'(z).$

Quel est le lien avec les dérivées partielles ?

Le lien entre la dérivabilité au sens complexe et le lien avec les dérivées partielles va être explicité dans ce paragraphe.

La fonction $f$, définie sur une partie $U$ ouverte de $\C$, n’est pas à proprement parler une fonction de deux variables. Il semble quelque peu abusif d’écrire $f(z) = f(x,y)$ où $x$ désigne la partie réelle de $z$ et $y$ sa partie imaginaire… tout simplement parce que $f$ est définie sur une partie de $\C$ et pas sur une partie de $\R^2.$ Il convient d’être précis.

Soit $z = x+iy$ où $(x,y)\in\R^2$ un nombre complexe appartenant à $U.$

Il existe un réel $r$ un réel strictement positif tel que la boule $B= \{c \in\C, \lvert c – z \rvert < r\}$ soit incluse dans $U.$

Il convient alors de noter que le domaine carré $D$ défini par :

$\begin{align*}D=\left\{x+iy+h+ik, (h,k)\in\left[\frac{-r\sqrt{2}}{2}, \frac{r\sqrt{2}}{2} \right]^2\right\}\end{align*}$
est inclus dans la boule $B$.

Ainsi il est maintenant légitime de considérer l’application $\widetilde{f}$ qui va de $D\subset \R^2$ dans $\C$, définie par $\forall (h,k)\in D, \widetilde{f}(h,k) = f(h+ik).$

Vous allez démontrer dans la suite le théorème suivant : si $f$ est dérivable au sens complexe en $z$, alors les dérivées partielles $\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x}(x,y)$ et $\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial y}(x,y)$ existent et vérifient la condition dite de Cauchy-Riemann :

$\begin{align*}\boxed{\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x}(x,y) + i \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial y}(x,y) = 0.}\end{align*}$

En effet, montrez d’abord que le nombre complexe $\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x}(x,y)$ existe bel et bien.

Etant donné que :

$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0, \forall h\in \C, 0< |h|<\delta \Longrightarrow \left( z+h\in U \text{ et } \left|\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} – f'(z) \right|<\varepsilon \right)$

vous allez pouvoir conclure.

Pour tout réel $h$ vérifiant la condition $0 < \lvert h \rvert < r$, vous avez :

$\begin{align*}
\frac{\widetilde{f}(x+h,y)-\widetilde{f}(x,y)}{h} &= \frac{f(x+h+iy)-f(x+iy)}{h}\\
&= \frac{f(z+h)-f(z)}{h}\\
\end{align*}$

Soit $\varepsilon >0$. Alors il existe $\delta >0$ tel que :

$\begin{align*}\forall h\in \C, 0< \lvert h\rvert <\delta &\Longrightarrow \left\lvert\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} – f'(z) \right\rvert<\varepsilon.
\end{align*}$

Posez $\delta’ = \mathrm{Min}(\delta, r).$

Alors :

$\begin{align*}\forall h\in \R, 0< \lvert h\rvert <\delta’ &\Longrightarrow \left\lvert\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} – f'(z) \right\rvert<\varepsilon \\
&\Longrightarrow \left\lvert\frac{\widetilde{f}(x+h,y)-\widetilde{f}(x,y)}{h} – f'(z) \right\rvert<\varepsilon.
\end{align*}$

Il est ainsi prouvé que $\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x}(x,y)$ existe et que $\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x}(x,y) = f'(z).$

Soit $h$ un réel tel que $0< \lvert h \rvert < \delta’.$

Pour l’autre dérivée partielle vous êtes amené à calculer :

$\begin{align*}
\frac{\widetilde{f}(x,y+h)-\widetilde{f}(x,y)}{h} &= \frac{f(x+iy+ih)-f(x,y)}{h}\\
&= \frac{f(z+ih)-f(z)}{h}\\
&= i \frac{f(z+ih)-f(z)}{ih}\\
\end{align*}$

Or :

$\begin{align*}\forall h\in \R, \lvert h\rvert < \delta’ &\implies \lvert ih\rvert < \delta’\leq \delta \\
&\implies\left\lvert\dfrac{f(z+ih)-f(z)}{ih} – f'(z) \right\rvert<\varepsilon\\
&\implies\left\lvert i\dfrac{f(z+ih)-f(z)}{ih} – i f'(z) \right\rvert<\varepsilon\\
&\implies\left\lvert \frac{\widetilde{f}(x,y+h)-\widetilde{f}(x,y)}{h} – i f'(z) \right\rvert<\varepsilon.
\end{align*}$

Il est ainsi prouvé que $\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial y}(x,y)$ existe et que $\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial y}(x,y) = if'(z).$

Par somme, il vient :

$\begin{align*}
\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x}(x,y) + i \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial y}(x,y) &= f'(z)+i(if'(z))\\
&= f'(z)-f'(z)\\
&=0.
\end{align*}$

Exemple avec la fonction $z\mapsto z^2$

Pour tout nombre complexe $z$, posez $f(z) = z^2.$

Fixez $z\in\C$. Pour tout $h\in\C$, quand vous calculez $f(z+h) = (z+h)^2 = z^2+2zh+h^2$, vous déduisez que pour tout nombre complexe $h\neq 0$, $\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} = 2z+h$ et par conséquent $f$ est dérivable au sens complexe en $z$ et $f'(z)=2z.$

Ecrivez $z = x+iy$ où $(x,y)\in\R^2$ avec $f(z)=(x+iy)^2 = (x^2-y^2)+i(2xy)$ si bien que $\widetilde{f}(x,y) = x^2-y^2 +2ixy.$

Alors :

$\begin{align*}
\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x}(x,y) + i \frac{\partial \widetilde{f}}{\partial y}(x,y) &= 2x+2iy+i(-2y+2ix)\\
&= 2x+2iy-2iy-2x\\
&=0.
\end{align*}$

Prolongement

Qu’en est-il de la réciproque ?

Si $f$ est une fonction à valeurs complexes définie sur un ouvert $U\in\C$ contenant $z$ et si les parties réelle et imaginaire de $f$ vérifient les équations de Cauchy-Riemann en $z$, peut-on conclure que $f$ est dérivable en $z$ au sens complexe ?

Vous souhaitez en savoir davantage ? Allez jeter un coup d’oeil dans l'article 185.

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