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108. Les équations de Cauchy-Riemann

17/07/2020 - 0062

Soit $z$ un nombre complexe fixé et $f$ une fonction à valeurs complexes définie sur une partie ouverte $U\subset\C$ contenant $z.$ Le nombre $z$ est contenu dans une petite boule ouverte, elle-même contenue dans l’ouvert $U$. Cette notion est essentielle car elle précise que l’on peut calculer $f(z+h)$ quand $h$ est de module suffisamment petit.

Une boule ouverte contenue dans un ouvert U

Plus précisément, il existe un réel $r>0$ tel que, pour tout $h\in\C$, $|h|< r$ implique $z+h\in U.$ Notez $B$ l’ensemble des nombres complexes de module strictement inférieur à $r$, $B$ s’appelant la boule ouverte de centre $0$ et de rayon $r$. Notez que $B$ est non vide et que pour tout $h\in B$, le nombre complexe $z+h$ admet une image par la fonction $f$, ce que vous écrivez $z+h\in U.$

Qu’est-ce qu’une fonction dérivable au sens complexe ?

On dit que la fonction $f$ est dérivable au sens complexe en $z$, si et seulement si, la limite $\dlim{\dsubstack{h\to 0 \\h\in B}} \dfrac{f(z+h)-f(z)}{h}$ existe dans $\C.$

Formellement, cette définition signifie qu’il existe un nombre complexe $a\in\C$ (qui correspond à la limite du taux de variation de $f$ en $z$ quand $h$ tend vers $0$) tel que :

$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0, \forall h\in B, |h|<\delta \Longrightarrow \left|\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} – a\right|<\varepsilon.$

Note : lorsque $f$ est dérivable au sens complexe en $z$, le nombre complexe $a$ est unique, ne dépend que de $z$ et se note $f'(z).$ La valeur de $f'(z)$ ne dépend pas non plus du choix de la boule ouverte $B$. Vous reformulez ainsi la dérivabilité : $f$ est dérivable au sens complexe en $z\in U$ si et seulement si, il existe un nombre $f'(z)\in\C$ tel que

$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0, \forall h\in \C, |h|<\delta \Longrightarrow \left( z+h\in U \text{ et } \left|\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} – f'(z)\right|<\varepsilon \right).$

Quand cette condition est satisfaite, on écrit $\dlim{h\to 0} \dfrac{f(z+h)-f(z)}{h}=f'(z),$ étant entendu que le nombre $h$ appartient à l’ensemble $\C.$

Quel est le lien avec les dérivées partielles ?

Comprendre la signification d’une dérivée partielle est un point essentiel dans l’étude des fonctions de plusieurs variables.

Supposez que $f$ soit dérivable au sens complexe en $z$ : $\dlim{\dsubstack{h\to 0 \\h\in \C}} \dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} = f'(z).$ L’appartenance de $h$ à l’ensemble $\C$ est rappelée parce que quand les dérivées partielles vont être étudiées, la variable $h$ sera réelle.

La fonction $f$, définie sur une partie de $\C$, n’est pas à proprement parler une fonction de plusieurs variables. Il semble quelque peu abusif d’écrire $f(z) = f(x,y)$ où $x$ désigne la partie réelle de $z$ et $y$ sa partie imaginaire… tout simplement parce que $f$ est définie sur une partie de $\C$ et pas sur une partie de $\R^2$. On pourra toujours affirmer que $\C$ et que $\R^2$ sont isomorphes, isométriques etc…

Dans l’étude proposée, vous décidez de considérer d’abord un accroissement de la variable $z$ selon sa partie réelle, autrement dit, de considérer la dérivée partielle de $f$ selon la première variable.

La limite $\dlim{\dsubstack{h\to 0 \\h\in \R}} \dfrac{f(z+h)-f(z)}{h}$ se note $\dfrac{\partial f}{\partial x}(z)$ ou plus simplement $\partial_1 f(z)$, elle correspond aussi à la limite $\dlim{\substack{h\to 0 \\ h\in\R}} \dfrac{f(x+h+iy)-f(x+iy)}{h}.$

Comme $f$ est dérivable au sens complexe en $z$, $\dlim{\dsubstack{h\to 0 \\h\in \C}} \dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} = f'(z) $ et par suite $\dlim{\dsubstack{h\to 0 \\h\in \R}} \dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} = f'(z)$ et par conséquent $ \boxed{f'(z)= \partial_1 f(z)}.$

Maintenant ,vous étudiez un accroissement de la variable $z$ selon sa partie imaginaire, autrement dit, vous considérez la dérivée partielle de $f$ selon la seconde variable.

Or, par définition, la seconde dérivée partielle de $f$ en $z$, notée $\dfrac{\partial f}{\partial y}(z)$ ou plus simplement $\partial_2 f(z)$ est $\dlim{\substack{h\to 0 \\ h\in \R}}\dfrac{f(z+ih)-f(z)}{h}$ ce qui s’écrit aussi$ \partial_2 f(z) = \dlim{\substack{h\to 0 \\ h\in \R}} \dfrac{f(x+iy+ih)-f(x+iy)}{h}.$

Comme $\dlim{\dsubstack{h\to 0 \\h\in \C}} \dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} = f'(z) $ et comme $\dlim{h\to 0} ih = 0$, vous en déduisez par composée que $\dlim{\dsubstack{h\to 0 \\h\in \C}} \dfrac{f(z+ih)-f(z)}{ih} = f'(z) $ et donc en multipliant par $i$, vous obtenez $\dlim{\dsubstack{h\to 0 \\h\in \C}} \dfrac{f(z+ih)-f(z)}{h} = i f'(z) $, du coup, en restreignant $h$ à $\R$, vous obtenez $\dlim{\dsubstack{h\to 0 \\h\in \R}} \dfrac{f(z+ih)-f(z)}{h} = i f'(z) $ et par suite $i f'(z) = \partial_2 f(z)$ soit $\boxed{f'(z) = -i \partial_2 f(z)}.$

Et les équations de Cauchy-Riemann

Combinez les deux relations $f'(z)= \partial_1 f(z)$ et $f'(z) = -i\partial_2 f(z)$ en éliminant $f'(z)$.

Vous obtenez la relation importante : $\boxed{\partial_1 f(z) + i\partial_2 f(z)} = 0.$

Cette équation ne comporte qu’une seule égalité. Pourquoi dit-on au pluriel “les équations” de Cauchy-Riemann ?

Si vous écrivez $f(z)$ avec sa partie réelle $R(z)$ et sa partie imaginaire $I(z)$, vous avez $f(z) = R(z) + iI(z)$ et les fonctions $R$ et $I$ admettent aussi des dérivées partielles… ! Ce point mérite un développement qui se sera pas fait ici.

$\partial_1f(z) = \partial_1R(z) + i\partial_1 I(z)$

$i\partial_2f(z) = i \partial_2R(z) – \partial_2 I(z)$

Par somme $0 = \left(\partial_1 R(z) -\partial_2 I(z)\right) + i\left(\partial_1 I(z) + \partial_2 R(z) \right).$

Les parties réelle et imaginaire étant des nombres réels, vous en déduisez les deux équations :

$\boxed{\left\{\begin{align*}
\partial_1 R(z) &= \partial_2 I(z) \\
\partial_2 R(z) &= – \partial_1 I(z).
\end{align*}\right.}$

Exemple avec la fonction $z\mapsto z^2$

Pour tout nombre complexe $z$, posez $f(z) = z^2.$

Fixez $z\in\C$. Pour tout $h\in\C$, quand vous calculez $f(z+h) = (z+h)^2 = z^2+2zh+h^2$, vous déduisez que pour tout nombre complexe $h\neq 0$, $\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h} = 2z+h$ et par conséquent $f$ est dérivable au sens complexe en $z$ et $f'(z)=2z.$

Ecrivez $z = x+iy$ où $(x,y)\in\R^2$ avec $f(z)=(x+iy)^2 = (x^2-y^2)+i(2xy)$ si bien que $R(z) = x^2-y^2$ et $I(z) = 2xy.$

Vous avez $\partial_1 R(z) = 2x = \partial_2 I(z)$ et $\partial_2 R(z) = -2y = -\partial_1 I(z)$, les équations de Cauchy-Riemann sont bien satisfaites.

Prolongement

Qu’en est-il de la réciproque ?

Si $f$ est une fonction à valeurs complexes définie sur un ouvert $U\in\C$ contenant $z$ et si les parties réelle et imaginaire de $f$ vérifient les équations de Cauchy-Riemann en $z$, peut-on conclure que $f$ est dérivable en $z$ au sens complexe ?

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