Reprenez la situation qui a été décrite dans dans l'article 118.
Vous partez de la figure ci-dessous comportant un carré et deux triangles équilatéraux.
Pour justifier que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés, vous allez ajouter trois points supplémentaires dans la figure.
Vous appelez $K$ le point d’intersection des droites $(DE)$ et $(BC)$, $I$ le milieu du segment $[BC]$. Comme le triangle $BCF$ est équilatéral, les droites $(FI)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. Soit $L$ le point de la droite $(CD)$ placé de sorte que le quadrilatère $CLFI$ soit un rectangle.
Utilisez une homothétie et calculez son rapport
Comme les points $C$, $K$ et $I$ sont alignés dans cet ordre, il existe une homothétie $h$ de centre $C$ et de rapport positif telle que $h(K)=I.$
Le rapport $k$ de l’homothétie s’obtient en calculant $k=\dfrac{CI}{CK}.$
Utilisez une projection et deux milieux
Comme $ABE$ est un triangle équilatéral, la perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $E$ coupe le segment $[AB]$ en son milieu $M$. Notez $p$ la projection sur la droite $(DK)$ parallèlement à la droite $(BC)$. Alors $p(A)=D$, $p(M)=E$ et $p(B)=K.$ Comme $p$ conserve les milieux, il en résulte que $E$ est le milieu du segment $[DK].$
Notez maintenant $N$ le milieu du segment $[DC]$ et $a$ le côté du carré $ABCD.$ La distance $EM$ est égale à $a\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et par conséquent $EN = a-a\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a}{2}(2-\sqrt{3}).$
Comme la droite $(EN)$ est la droite des milieux dans le triangle $DCK$, $CK = 2 EN = a(2-\sqrt{3}).$ Aussitôt :
\begin{aligned}
k &= \dfrac{CI}{CK}\\
&=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{a(2-\sqrt{3})}\\
&=\dfrac{a}{2a(2-\sqrt{3})}\\
&=\dfrac{1}{2(2-\sqrt{3})}\\
&=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2(4-3)}\\
&=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}.
\end{aligned}
Utilisez la composée d’une homothétie et d’une translation
Rappelez-vous que $h(C)=C$ et que $h(K)=I.$
Notez maintenant $t$ la translation de vecteur $\vv{IF}.$ Comme $IFLC$ est un rectangle, il vient $t(I)=F$ et $t(C)=L.$
Notez maintenant la composée $f = t\circ h.$ La composée d’une homothétie de rapport $k\neq 1$ et d’une translation est une homothétie de même rapport $k$. L’application $f$ est par conséquent une homothétie de rapport $k$ telle que $f(C) = t(h(C))=t(C)=L$ et $f(K)=t(h(K))=t(I)=F.$
Déterminez le centre de l’homothétie $f$
Le rapport de $f$ est connu, il est égal à $k=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}.$
Mais le rapport $\dfrac{DL}{DC}$ comme vous l’avez pressenti, est aussi égal à $k$.
En effet :
\begin{aligned}
\dfrac{DL}{DC}&=\dfrac{a+a\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{a}\\
&=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
&=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\\
&=k.
\end{aligned}
Comme les points $D$, $C$ et $L$ sont alignés dans cet ordre et que $k=\dfrac{DL}{DC}$, $D$ est le centre de l’homothétie $f$.
Concluez avec l’alignement des points $D$, $E$ et $F$
Comme $f$ est une homothétie de centre $D$ vérifiant $f(K)=F$, les points $D$, $K$ et $F$ sont alignés, donc $F$ appartient à la droite $(DK)$. Les droites $(DE)$ et $(DK)$ sont confondues donc $F$ appartient à la droite $(DE)$ et les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
Prolongement
Notez $E$ l’ensemble des homothéties et des translations du plan. Quelle est la structure algébrique de $E$ ? Dans quels autres exemples utilisez-vous ses propriétés ?
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