Reprenez la situation qui a été décrite dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 118.

Vous partez de la figure ci-dessous comportant un carré et deux triangles équilatéraux.

Pour justifier que les points $D\comma$ $E$ et $F$ sont alignés, vous allez ajouter trois points supplémentaires dans la figure.

Vous appelez $K$ le point d’intersection des droites $(DE)$ et $(BC)\comma$ $I$ le milieu du segment $[BC].$ Comme le triangle $BCF$ est équilatéral, les droites $(FI)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. Soit $L$ le point de la droite $(CD)$ placé de sorte que le quadrilatère $CLFI$ soit un rectangle.

Utilisez une homothétie et calculez son rapport

Comme les points $C\comma$ $K$ et $I$ sont alignés dans cet ordre, il existe une homothétie $h$ de centre $C$ et de rapport positif telle que $h(K)=I.$

Le rapport $k$ de l’homothétie s’obtient en calculant $k=\dfrac{CI}{CK}.$

Utilisez une projection et deux milieux

Comme $ABE$ est un triangle équilatéral, la perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $E$ coupe le segment $[AB]$ en son milieu $M.$ Notez $p$ la projection sur la droite $(DK)$ parallèlement à la droite $(BC).$ Alors $p(A)=D\comma$ $p(M)=E$ et $p(B)=K.$ Comme $p$ conserve les milieux, il en résulte que $E$ est le milieu du segment $[DK].$

Notez maintenant $N$ le milieu du segment $[DC]$ et $a$ le côté du carré $ABCD.$ La distance $EM$ est égale à $a\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et par conséquent $EN = a-a\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a}{2}(2-\sqrt{3}).$

Comme la droite $(EN)$ est la droite des milieux dans le triangle $DCK\comma$ $CK = 2 EN = a(2-\sqrt{3}).$ Aussitôt :

Utilisez la composée d’une homothétie et d’une translation

Rappelez-vous que $h(C)=C$ et que $h(K)=I.$

Notez maintenant $t$ la translation de vecteur $\vv{IF}.$ Comme $IFLC$ est un rectangle, il vient $t(I)=F$ et $t(C)=L.$

Notez maintenant la composée $f = t\circ h.$ La composée d’une homothétie de rapport $k\neq 1$ et d’une translation est une homothétie de même rapport $k.$ L’application $f$ est par conséquent une homothétie de rapport $k$ telle que $f(C) = t(h(C))=t(C)=L$ et $f(K)=t(h(K))=t(I)=F.$

Déterminez le centre de l’homothétie $f$

Le rapport de $f$ est connu, il est égal à $k=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}.$

Mais le rapport $\dfrac{DL}{DC}\comma$ comme vous l’avez pressenti, est aussi égal à $k.$

En effet :

Comme les points $D\comma$ $C$ et $L$ sont alignés dans cet ordre et que $k=\dfrac{DL}{DC}\comma$ $D$ est le centre de l’homothétie $f.$

Concluez avec l’alignement des points $D\comma$ $E$ et $F$

Comme $f$ est une homothétie de centre $D$ vérifiant $f(K)=F\comma$ les points $D\comma$ $K$ et $F$ sont alignés, donc $F$ appartient à la droite $(DK).$ Les droites $(DE)$ et $(DK)$ sont confondues donc $F$ appartient à la droite $(DE)$ et les points $D\comma$ $E$ et $F$ sont alignés.

Prolongement

Notez $\mathscr{H}$ l’ensemble des homothéties et des translations du plan. Quelle est la structure algébrique de cet ensemble ? Dans quels autres exemples utilisez-vous ses propriétés ?