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120. Aire sous la parabole

Considérez la courbe $\cc$ d’équation $y=x^2$, lorsque $x$ parcourt l’intervalle $[0,1].$

On note $\aa$ l’aire du domaine compris entre la courbe $\cc$, l’axe des abscisses et la droite verticale d’équation $x=1.$

Comment trouver la valeur de $\aa$ ?

Minorez la valeur de $\aa$ par des rectangles

Soit $n$ un entier naturel non nul. Considérez la subdivision $x_0 < \dots < x_n$ de l’intervalle $[0,1]$ en posant, $\forall i \in\llbracket 0,n\rrbracket, x_i = \frac{i}{n}.$

Pour tout $i$ compris entre $0$ et $n-1$, vous considérez le rectangle formé par, d’un côté, la longueur de l’intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ et pour l’autre côté, la valeur de $\inf\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} = \frac{i^2}{n^2}.$

26/02/2021 - Img 3857

La somme des aires de ces rectangles minore $\aa$, c’est-à-dire que :

$\begin{align*}
\sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i)\inf\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} &\leq \aa\\
\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n}\frac{i^2}{n^2} &\leq \aa\\
\frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1} i^2 &\leq \aa.
\end{align*}$

26/02/2021 - Img 3858

Avant de pouvoir poursuivre, vous vous retrouvez confronté à un problème technique : comment calculer la somme des carrés $\sum_{i=0}^{n-1} i^2$ et plus généralement, comment calculer $\sum_{i=0}^{n} i^2$ ?

Utilisez le triangle de Pascal

Etonnamment, les coefficients binomiaux permettent de régler cette question.

Pour tout entier naturel $n$ et pour tout entier naturel $k$ inférieur ou égal à $n$, on note $\binom{n}{k} = \frac{n !}{k !(n-k) !}$ le coefficient binomial appelé $k$ parmi $n$.

Le lemme fondamental est la relation de Pascal : $\forall n\in\N, \forall k\in\llbracket 0,n-1 \rrbracket, \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}.$

Pour prouver ce résultat, vous fixez $n\in\N$ et $k\in\llbracket 0,n-1 \rrbracket.$

$\begin{align*}
\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} &= \frac{n !}{k !(n-k) !}+\frac{n !}{(k+1) !(n-k-1) !}\\
&= \frac{n !(k+1)}{(k+1) !(n-k) !}+\frac{n !(n-k)}{(k+1) !(n-k) !}\\
&= \frac{n !(k+1+n-k)}{(k+1) !(n-k) !}\\
&=\frac{(n+1) !}{(k+1) !(n-k) !}\\
&=\frac{(n+1) !}{(k+1) !(n+1-k-1) !}\\
&=\binom{n+1}{k+1}.
\end{align*}$

Calculez la somme des entiers $1+2+\cdots+n$

La relation de Pascal permet de montrer par récurrence sur $n$ que $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}.$

En effet, pour tout entier naturel $n\geq 1$, notez $P(n)$ la propriété : $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}.$

Pour $n=1$, $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \sum_{i=1}^1 \binom{i}{1} = \binom{1}{1}=1.$
Or $\binom{1+1}{2} = 1.$ Donc $P(1)$ est vérifiée.

Soit $n\geq 1$. Supposez $P(n)$. Alors $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}$, d’où $\sum_{i=1}^{n+1} \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2} + \binom{n+1}{1} = \binom{n+2}{2}$ donc $P(n+1)$ est vérifiée.

Ainsi, vous obtenez $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}$ ce qui s’écrit $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n i = \frac{(n+1)n}{2}$ d’où $\forall n\geq 0, \sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}.$

Calculez la somme des carrés $1^2+2^2+\cdots+n^2$

De même, la relation de Pascal permet de montrer par récurrence sur $n$ que $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}.$

En effet, pour tout entier naturel $n\geq2$, notez $P(n)$ la propriété : $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}.$

Pour $n=2$, $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \sum_{i=2}^2 \binom{i}{2} = \binom{2}{2}=1.$
Or $\binom{2+1}{3} = 1.$ Donc $P(2)$ est vérifiée.

Soit $n\geq 2$. Supposez $P(n)$. Alors $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}$, d’où $\sum_{i=2}^{n+1} \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3} + \binom{n+1}{2} = \binom{n+2}{3}$ donc $P(n+1)$ est vérifiée.

Ainsi, vous obtenez $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}$ ce qui s’écrit $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \frac{i(i-1)}{2} = \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$ d’où $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n i(i-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{3}$ et donc $\forall n\in\N, \sum_{i=0}^n i(i-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{3}.$

Concluez.

$\begin{align*}
\sum_{i=0}^n i^2 &=\sum_{i=0}^n i(i-1) + \sum_{i=0}^n i \\
&= \frac{(n+1)n(n-1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}\\
&=\frac{(n+1)n(2n-2)}{6} + \frac{3n(n+1)}{6}\\
&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
\end{align*} $

Minorez la valeur de $\aa$

De l’inégalité $\frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1} i^2 \leq \aa$, valable pour tout $n\geq 1$, vous déduisez $\frac{1}{(n+1)^3}\sum_{i=0}^{n} i^2 \leq \aa$, inégalité valable pour tout $n\geq 0$, soit $\forall n\in\N, \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n+1)^3} \leq \aa.$ Quand $n\to+\infty$, le numérateur est équivalent à $2n^3$ et le dénominateur à $6n^3.$ Il s’ensuit, en passant à la limite quand $n\to +\infty$ que $\frac{1}{3}\leq \aa.$

Majorez la valeur de $\aa$

Vous formez une somme de rectangles en changeant la borne inférieure par la borne supérieure.

Pour tout $i$ compris entre $0$ et $n-1$, vous considérez le rectangle formé par, d’un côté, la longueur de l’intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ et pour l’autre côté, la valeur de $\sup\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} = \frac{(i+1)^2}{n^2}.$

Ainsi vous majorez $\aa$ par une somme d’aires de rectangles ayant pour largeur $\frac{1}{n}$ et pour hauteur $\frac{(i+1)^2}{n^2}.$

La suite est laissée au lecteur qui pourra montrer, comme pour la minoration après un passage à la limite quand $n\to \infty$, que $\frac{1}{3}\geq \aa.$

Concluez

L’aire $\aa$ a une valeur précise égale à $\frac{1}{3}.$

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