Considérez la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,1]$ par $f(x)=x^2$ et notez $\cc$ sa courbe représentative.

Vous notez $\aa$ l’aire du domaine compris entre la courbe $\cc\comma$ l’axe des abscisses et la droite verticale d’équation $x=1.$

Comment trouver la valeur de cette aire ?

Minorez la valeur de $\aa$ par des rectangles

Soit $n$ un entier naturel non nul. Considérez la subdivision $x_0 \lt \dots \lt x_n$ de l’intervalle $[0,1]$ en posant, $\forall i \in\llbracket 0,n\rrbracket, x_i = \frac{i}{n}.$

Pour tout $i$ compris entre $0$ et $n-1\comma$ vous considérez le rectangle formé par, d’un côté, la longueur de l’intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ et pour l’autre côté, la valeur de $\inf\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} = \frac{i^2}{n^2}.$

La somme des aires de ces rectangles minore $\aa\comma$ c’est-à-dire que :

Avant de pouvoir poursuivre, vous vous retrouvez confronté à un problème technique : comment calculer la somme des carrés $\sum_{i=0}^{n-1} i^2$ et, plus généralement, la somme des carrés des premiers entiers naturels ?

Utilisez le triangle de Pascal

Étonnamment, les coefficients binomiaux permettent de régler cette question.

Pour tout entier naturel $n$ et pour tout entier naturel $k$ inférieur ou égal à $n\comma$ vous notez $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ le coefficient binomial appelé $k$ parmi $n.$

Le lemme fondamental est la relation de Pascal : $\forall n\in\N, \forall k\in\llbracket 0,n-1 \rrbracket, \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}.$

Pour prouver ce résultat, vous fixez $n\in\N$ et $k\in\llbracket 0,n-1 \rrbracket.$

Calculez la somme des entiers $1+2+\cdots+n$

La relation de Pascal permet de montrer par récurrence sur $n$ que $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}.$

En effet, pour tout entier naturel $n\geq 1\comma$ notez $P(n)$ la propriété : $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}.$

Pour $n=1\comma$ $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \sum_{i=1}^1 \binom{i}{1} = \binom{1}{1}=1.$
Or $\binom{1+1}{2} = 1.$ Donc $P(1)$ est vérifiée.

Soit $n\geq 1.$ Supposez $P(n).$ Alors $\sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}\comma$ d’où $\sum_{i=1}^{n+1} \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2} + \binom{n+1}{1} = \binom{n+2}{2}$ donc $P(n+1)$ est vérifiée.

Ainsi, vous obtenez $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n \binom{i}{1} = \binom{n+1}{2}$ ce qui s’écrit $\forall n\geq 1, \sum_{i=1}^n i = \frac{(n+1)n}{2}$ d’où $\forall n\geq 0, \sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2}.$

Calculez la somme des carrés $1^2+2^2+\cdots+n^2$

De même, la relation de Pascal permet de montrer par récurrence sur $n$ que $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}.$

En effet, pour tout entier naturel $n\geq2\comma$ notez $P(n)$ la propriété : $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}.$

Pour $n=2\comma$ $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \sum_{i=2}^2 \binom{i}{2} = \binom{2}{2}=1.$
Or $\binom{2+1}{3} = 1.$ Donc $P(2)$ est vérifiée.

Soit $n\geq 2.$ Supposez $P(n).$ Alors $\sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}\comma$ d’où $\sum_{i=2}^{n+1} \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3} + \binom{n+1}{2} = \binom{n+2}{3}$ donc $P(n+1)$ est vérifiée.

Ainsi, vous obtenez $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \binom{i}{2} = \binom{n+1}{3}$ ce qui s’écrit $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n \frac{i(i-1)}{2} = \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$ d’où $\forall n\geq 2, \sum_{i=2}^n i(i-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{3}$ et donc $\forall n\in\N, \sum_{i=0}^n i(i-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{3}.$

Concluez.

Minorez la valeur de $\aa$

De l’inégalité $\frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1} i^2 \leq \aa\comma$ valable pour tout $n\geq 1\comma$ vous déduisez $\frac{1}{(n+1)^3}\sum_{i=0}^{n} i^2 \leq \aa\comma$ inégalité valable pour tout $n\geq 0\comma$ soit $\forall n\in\N, \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n+1)^3} \leq \aa.$ Quand $n\to+\infty\comma$ le numérateur est équivalent à $2n^3$ et le dénominateur à $6n^3.$ Il s’ensuit, en passant à la limite quand $n\to +\infty\comma$ que $\frac{1}{3}\leq \aa.$

Majorez la valeur de $\aa$

Vous formez une somme de rectangles en changeant la borne inférieure par la borne supérieure.

Pour tout $i$ compris entre $0$ et $n-1\comma$ vous considérez le rectangle formé par, d’un côté, la longueur de l’intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ et pour l’autre côté, la valeur de $\sup\left\{f(x), x\in[x_i, x_{i+1}]\right\} = \frac{(i+1)^2}{n^2}.$

Ainsi vous majorez $\aa$ par une somme d’aires de rectangles ayant pour largeur $\frac{1}{n}$ et pour hauteur $\frac{(i+1)^2}{n^2}.$

La suite vous est laissée. Vous pourrez montrer, comme pour la minoration et après un passage à la limite quand $n\to +\infty\comma$ que $\aa\leq \frac{1}{3}.$

Concluez

L’aire $\aa$ a une valeur précise égale à $\frac{1}{3}.$