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121. Racines cubiques et racines carrées emboîtées

Vous allez démontrer que le nombre $a=\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}}$ est égal à $3.$

Quels outils seront utilisés ?

Vous allez utiliser le développement d’une somme au cube : $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$

Vous allez utiliser une factorisation : $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).$

Vous allez utiliser des propriétés de la racine cubique. C’est une fonction définie sur $\R$, multiplicative et impaire :

$\forall (x,y)\in\R^2, \sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}$ et $\forall x\in\R, \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}.$

Tentez de simplifier en élevant au cube

Pour calculer $a^3$, il sera commode de poser $u=18+\sqrt{325}$ et $v=18-\sqrt{325}.$ Remarquez que $u+v=36.$

$\begin{align*}
a^3 &= \left(\sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v}\right)^3 \\
&= u + 3\sqrt[3]{v}\left(\sqrt[3]{u}\right)^2+3\sqrt[3]{u}\left(\sqrt[3]{v}\right)^2+v\\
&= 36 + 3\sqrt[3]{v u^2}+3\sqrt[3]{u v^2}.
\end{align*}$

Pour évaluer $vu^2$ vous calculez $(vu)u = (18^2-325)u = (324-325)u = -u.$ De même, $uv^2 = (uv)v = -v.$

Du coup,

$\begin{align*}
a^3 &= 36+ 3\sqrt[3]{-u} + 3\sqrt[3]{-v} \\
&= 36 – 3\sqrt[3]{u} – 3\sqrt[3]{v}\\
&= 36-3a.
\end{align*}$

Il en résulte que $a^3+3a-36=0.$

Concluez

Cette équation de degré 3 est polynomiale et possède le nombre $3$ pour solution.

En effet, $3^3+3\times 3 – 36$ est bien égal à $0.$

Vous en déduisez successivement :

$\begin{align*}
a^3+3a-36 &= 3^3+3\times 3 – 36\\
a^3-3^3+3(a-3)&=0\\
(a-3)(a^2+3a+9)+3(a-3)&=0\\
(a-3)(a^2+3a+12)&= 0.
\end{align*}$

Le discriminant du trinôme $x^2+3x+12$ est égal à $9-48$, il est strictement négatif, l’équation $x^2+3x+12 = 0$ n’admet pas de solution réelle, donc $a^2+3a+12 \neq 0$ et par conséquent $a-3=0$ et $a=3$, d’où :

$$\sqrt[3]{18+\sqrt{325}}+\sqrt[3]{18-\sqrt{325}} = 3.$$

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